Notas de las clases

• clase 1 (26/3) Presentación de la materia. La función zeta de Riemann. La serie $\sum_{p} \frac{1}{p}$ diverge. Funciones aritméticas: ejemplos (Las funciones d(n) y $\sigma(n)$, $\varphi$ de Euler y $\mu$ de Möbius. La convolución de Dirichlet. La fórmula de inversión de Möbius.

• clase 2 (31/3) Propiedades de $\varphi$. Funciones multiplicativas y completamente multiplicativas Series de Dirichlet: semiplano de convergencia absoluta. Teorema de unicidad. Relación de la convolución de Dirichlet con el producto de series de Dirichlet.

• clase 3 (7/4) Ejermplos de funciones generatrices. Derivada de una serie de Dirichlet. La función de Mangoldt. Productos infinitos. Productos de Euler.

• clase 4 (14/4) Medias de funciones aritméticas: fórmula de sumación de Euler. Fórmulas asintóticas elementales. Prolongación analítica de la función zeta a $Re(s)>0$ (salvo un polo simple en $s=1$). Método de la hipérbola de Dirichlet. Orden medio de $d(n)$ y $\varphi(n)$.

• clase 5 (16/4 Versión más refinada del método de la hipérbola de Dirichlet. Funciones de Chebyshev, y métodos elementales para estudiar la distribución de los números primos.

• clase 6 (21/4) Equivalencias del teorema de los números primos. Otras consecuencias de las cotas de Chebyshev. Fórmula de sumación de Abel. Teorema de Mertens. Aplicación a la cantidad de factores primos de un número.

• clase 7 (23/4) (apunte parcial): Otro teorema de Mertens. La no anulación de la función zeta en la recta $\hbox{Re}(s)=1$.

• clases 8 y 9 (28/4 y 30/4): Expusimos la prueba de D. J. Newman del teorema de los números primos siguiendo las notas de R. Ash y R. Novinger

• clase 10 (5/5): Aplicaciones del teorema de los números primos al estudio de las crecimiento de las funciones d(n) y $\phi(n)$ [Apostol, Capítulo sección 13.10 y sección 13.11 (teoremas 13.12 y 13.14)].

• clase 11 (12/5/2009) (7/5/2009) Teorema de Fermat-Euler, $\mathbb{Z}_p$ es cíclico, restos y no-restos cuadráticos, símbolo de Legendre, aplicación del teorema chino del resto a la estructura de $\mathbb{Z}_n^*$.

• clase 12 (12/5/2009) $\mathbb{Z}_{p^k}$ es cíclico si $p$ es un primo impar. Caracteres de grupos abelianos finitos. Caracteres de Dirichlet.

• clase 13 (14/5): Más sobre caracteres de Dirichlet: relaciones de ortogonalidad. L-series. Producto de Euler. Formulas para 1/L y L'/L

• clase 14 (19/5): Estructura de $\mathbb{Z}_{2^k}$ (Apostol, teoremas 10.3 y 10.11). Más sobre caracteres y L-series.

• clase 15 (21/5): La no anulación de las L-series de Drichlet en la recta $\hbox{Re}(s)=1$. (Para los caracteres reales y $s=1$ utilizamos el argumento de Apostol, teorema 6.20).

• clase 16 (26/5): Prueba del teorema de Dirichlet sobre la infinitud de los primos en progresiones aritméticas (ver por ejemplo C. Ivorra, Funciones de Variable compleja (con aplicaciones a la teoría analítica de números)., teorema 7.34) , y del teorema de los primos para progresiones aritmeticas (ver el apunte parcial de la clase o el artículo de I. Soprounov A short proof of the Prime Number Theorem for Arithmetic Progressions. )

• clase 17 (28/5): Sumas de Gauss asociadas a los caracteres de Dirichlet. Caracteres primitivos.

• clase 18 (2/6) números y polinomios de Bermoulli. Aplicaciones: fórmula de Euler-Maclaurin. Valores de la función zeta en los enteros pares.

• clase 19: (4/6) La función theta de Jacobi. La identidad modular: vimos una prueba basada en el análisis complejo debida a W. Cowenberg ). Alternativamente la identidad modular puede demostrarse utilizando análisis de Fourier, ver por ejemplo las (notas de Been Green).

• clase 20 (9/6): La función Gama. Su desarrollo en producto infinito.

• clase 21 (11/6): La ecuación funcional para la zeta de Riemann. Productos infinitos: teorema de Weierstrass sobre factorización de las funciones enteras.

• clases 22 y 23 (16/6 y 23/6): Funciones enteras de orden finito. Teorema de Hadamard sobre su factorización en producto infinito.

• clases 24 y 25 (23/6 y 25/6): Aplicación a la función zeta: Desarrollo en fracciones simples para su derivada logarítimica. Región clásica libre de ceros.

• clase 26 (30/6): La fórmula de Perron. Teorema de los números primos con error.

• clase 27 (2/6): Breve introducción a la teoría algebraica de números, y sus conexiones con la teoría analítica (la función zeta de Dedekind).