Programa Oficial de la Materia

1. Funciones aritméticas: ejemplos (las funciones d(n) y $\sigma(n)$, $\varphi$ de Euler y $\mu$ de Möbius). La convolución de Dirichlet. La fórmula de inversión de Moëbius. Medias de funciones aritméticas. Fórmulas de sumación de Euler y de Abel.

2. Métodos elementales para estudiar la distribución de los números primos: Funciones de Chevishev. Distintas formas equivalentes del teorema de los números primos.

3. Funciones generatrices. Teoría aditiva: particiones. Teoría multiplicativa: Series de Dirichlet. Productos de Euler. Ejemplos.

4. Algunos temas de variable compleja (necesarios para estudiar la función zeta y las L-series de Dirichlet): Funciones enteras de orden finito. Fórmula de Jensen. Teorema de factorización de Hadamard. Función Gama.

5. La función zeta de Riemann. Su prolongación al plano complejo como función meromorfa. Ecuación funcional. Región clásica libre de ceros de la función zeta y demostración del teorema de los números primos.

6. Relación entre la distribución de los ceros de la función zeta y la distribución de los números primos (``fórmulas explícitas''). Teorema de los números primos con error. Hipótesis de Riemann.

7. Caracteres de grupos abelianos finitos. Los caracteres de Dirichlet y sus sumas de Gauss. L-Series de Dirichlet: prolongación analítica y ecuación funcional. Teorema de Dirichlet sobre la infinitud de los primos en progresiones aritméticas.