BUENOS AIRES UNIVERSITY - ARGENTINE

FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES

SCHOOL  OF  SCIENCES

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

MUSEO INTERACTIVO DE MATEMÁTICA
(interactive mathematical museum)

  ZONA VIRTUAL

Imágenes, software interactivo,
   esquemas para la comprensión.

para descargar el programa toque la imagen
for download the software touch the image-->

para descargar el programa toque la imagen
for download the software touch the image-->

para descargar el programa toque la imagen
for download the software touch the image-->

para descargar el programa toque la imagen
for download the software touch the image-->

a)- Weierstrass-Minkowski, b)- Poincaré y c)- Klein, cuyas formulaciones de transformación recíproca están indicadas más abajo. Entrando interactivamente un segmento de geodésica en el disco de Poincaré el programa traza sus equivalentes en los otros dos modelos. Las geodésicas hiperbólicas en el espacio de Minkowski están dadas por las trazas de corte del hiperboloide por planos pasantes por el origen.

para descargar el programa toque la imagen
for download the software touch the image-->

para descargar el programa toque la imagen
for download the software touch the image-->

1- Las transformaciones de Lorenz aplicadas sobre una foliación invariante de hiperboloides del espacio (modelo de Minkowski)  y 
2- Las transformaciones de Moebius sobre el plano complejo que dejan invariante al círculo de Poincaré, estas  son isometrías para la geometría hiperbólica correspondiente. 

    Dichas relaciones están tramitadas por las fórmulas de pasaje entre sistemas de representación de la geometría hiprbólica en modelos de Klein, Poincaré y Weierstrass-Minkowski, ilustrados más arriba y explicitadas aquí. 
Tocar la imagen para agrandar-->

para descargar el programa toque la imagen
for download the software touch the image-->

para descargar el programa toque la imagen
for download the software touch the image-->

para descargar el programa toque la imagen
for download the software touch the image-->

para descargar el programa toque la imagen
for download the software touch the image-->

para descargar el programa toque la imagen  for download the software touch the image-->

para descargar el programa toque la imagen 
for download the software touch the image-->

para descargar el programa toque la imagen  for download the software touch the image-->

para descargar el programa toque la imagen  for download the software touch the image-->

para descargar el programa toque la imagen  for download the software touch the image-->

  El software interactivo dibuja curvas que por construcción de Lagrange aproximada (con cuatro puntos de control) son en general cúbicas (polinómicas de tercer grado). Estas funciones se derivan automáticamente obteniéndose en tiempo real los dibujos de sus funciones derivadas primera y segunda. Se ilustran para su discusión los casos en que la cúbica en general se particulariza reduciéndose a una parábola o a rectas.
 

El programa software interactivo, y los casos particulares para su estudio con una discusión más extensa se encuentra en los links activados al tocar las figuras.

 Se deforma  interactivamente la curva roja ubicada sobre el eje de abcisas indicándose el conjunto de los rectángulos cuyas áreas se suman para obtenerse la suma inferior como aproximación de la integral de la función en el intervalo ilustrado.  Al tener tres puntos de control y utilizar la fórmula de Lagrange esta curva es en general una parábola cuadrática. 
  Se dibujan más abajo en las ventanas del soft: 
1- en verde la curva integral exacta obtenida de la
expresión de la fórmula de Lagrange para tres puntos de control,  2- en blanco los puntos de áreas acumuladas sucesivas.

Nótese que:
- mientras haya menos rectángulos en la partición la diferencia entre los puntos blancos y la curva integral exacta es mayor. Comparar entre programas.

- mientras la curva roja sea más diferente de una recta también la diferencia entre los puntos blancos y la curva integral exacta es mayor. Comparar dentro de los propios programas.

 Al tocar la ventana con el cursor del mouse puede deformarse a voluntad la curva roja que está
representando la función a integrar. La curva amarilla representa la integral de la función roja desde el límite inferior -a- hasta el valor de abcisa correspondiente.  El algoritmo para su cálculo es numérico y aproxima la función integral sumando las áreas de 30 rectángulos consecutivos y adyacentes ubicados entre la curva y el eje de abcisas.

La curva amarilla indica el área entre la curva roja y el eje de abcisas desde el límite inferior -a- hasta el valor de abcisa correspondiente.  En particular si se toma hasta -b- (límite superir del intervalo) indica el área total entre la curva y el eje de abcisas.  La recta horizontal verde representa el valor medio de la integral entre -a- y -b- de la función indicada por la curva roja, es decir que el valor del área entre la recta verde y el eje de abcisas es igual al área total (con signo) bajo la curva roja desde -a- hasta -b-.

imagen con link para descargar programa soft

links a videos explicativos del tema aplicado 
al fenómeno de la cocción en YouTube

---cocción 1----

---cocción 2---

imagen con link para descargar programa soft

----link a video en YouTube 
sobre grafos coloreados----

  Este programa interactivo genera helicoespirales según parámetros variables y hace posible su observación desde ángulos diversos a través del movimiento del mouse.

Este programa informático obtiene aproximadamente a la cicloide como la curva de trayectoria solución que minimiza el tiempo de caída de un móvil entre dos puntos no encimados y a diferente altura. Este problema clásico se denomina problema de la brachistochrona. El algoritmo utilizado es el de gradiente descendente aplicado sobre las posiciones de puntos intermedios de los que se varía su posición en función de hacer decrecer el tiempo total. 

Planteando las ecuaciones de cálculo de variaciones de obtiene como solución a la cicloide como curva de trayectoria solución para minimizar el tiempo de caída de un móvil entre dos puntos no encimados y a diferente altura.

Este programa informático calcula numéricamente las superficies mínimas extendidas entre circunferencias paralelas en el espacio, y entre cuatro de las aristas de un tetraedro con lo que respectivamente se obtienen las superficies aproximadas de un Catenoide (una porción de ella) y la de Schwarz

En tres planillas de cálculo simbólico se desarrollan tres soluciones distintas para la superficie de Schwarz: 1- por simple minimización de area, utilizando el método del gradiente descendente, 2- por resolución de una ecuación discretizada de curvatura nula, 3- por cálculo numérico de su representación de Weierstrass.-
 
 
 
 

El programa software accesible ilustra la coincidencia espacial aproximada de la soluciones numéricas en los casos 1- y 3- indicados más arriba.

imagen con link para bajar el programa soft

los coeficientes E,F y G de las formas fundamentales de ambas superficies con parametrizaciones correspondientes son iguales para puntos correspondientes, por lo que pueden deformarse la una en la otra manteniendo la distancias entre sus propios puntos, simplemente plegándose. Lo mismo corre para las curvaturas gaussianas de puntos respectivos de cada superficie. Estas superficies son a la vez las dos minimales en el sentido de tener su curvatura media nula.  Las planillas de cálculo simbólico muestran estas propiedades entre ambas superficies, y el programa soft ilustra el helicoide.

Como aproximación didáctica se muestra una reconstrucción de una figura convexa a través de la composición de sus anchos para cada ángulo de inclinación, de un modo similar, pero interesando el interior de las figuras, opera la tomografía en el sentido de reconstruir una figura a partir de datos de sus diversas visiones angulares. El programa software muestra interactivamente el proceso de reconstrucción convexa de la forma exterior de la figura (convexa) dada.

Para una dirección dada se tiene una banda filtrada,  de valores de transmitancia de rayos X a través del área de observación y análisis. Ahora ella se extiende "barriendo" o "untando" un cuadrado y haciendo que los puntos del mismo tomen su gris del correspondiente tramo gris de la banda. 
Cada uno de estos cuadrados-imagen de retroproyección, con  una inclinación relativa a la del objeto bajo observación, se compone con los demás de otras inclinaciones por suma promediada de valores de grises, reconstruyéndose entonces la imagen de la forma bajo estudio.
 Esto implica una aproximación al proceso exacto de reconstrucción con particulares fines didácticos.
 

Se ilustra, por medio de el programa interactivo, el efecto de suavizado de las superficies trianguladas por medio del promediado de normales de iluminación, dando ilusoriamente la apariencia de continuidad suave entre las caras de los triángulos que conforman realmente la superficie.

Se producen ondulaciones en una superficie plana por medio de un mapeo de normales periódico y móvil, al observarse el plano de canto se verifica que el efecto es de iluminación gráfica y no de deformación geométrica.

Se ilustran los principios de la iluminación fotorrealística de formas espaciales por medio de la asignación de normales a los triángulos de la subdivisión reticulada de la superficie a mostrar. 
Con una asignación de direcciones de normales paralelas entre sí, al girar el objeto puede hacérselo desaparecer cuando las normales trngan la misma dirección que la superficie de fondo igualmente coloreada.