Catenaria como curva minimal de funcion de energía potencial.

Se trata de minimizar la suma de productos de altura de elemento

de cadena por la longitud de tal elemento.

Notar la similitud con el problema del catenoide superficie mínima de revolución.

Consultar archivo teórico al respecto.

Planteo por cálculo de variaciones:

Por Euler-Lagrange simplificada

f-diff(f, )* =a

Quedando para resolver:

> restart;

> z:='z';

> f:=(y(x)+lambda)*sqrt((1+z^2));

> f-diff(f,z)*z=a;

> z:=diff(y(x),x);

Pegando el resultado de arriba y activando se sustituye....

> (y(x)+lambda)*sqrt(1+z^2)-(y(x)+lambda)*z^2/(sqrt(1+z^2)) = a;

> restart;

> ode := simplify((y(x)+lambda)*sqrt(1+diff(y(x),x)^2)-(y(x)+lambda)*diff(y(x),x)^2/(sqrt(1+diff(y(x),x)^2))) = a;

>

> expand((y(x)+lambda)^2)=expand(a^2*(diff(y(x),x)^2+1));

> ode:=y(x)^2+2*y(x)*lambda+lambda^2 = a^2+a^2*diff(y(x),x)^2;

> ans:= dsolve(ode1);

Warning, computation interrupted

No resuelve en tiempo adecuado a la sencillez de la ecuacion.....

Se pasa a integrar directamente.....

> restart;

> ode:=y(x)^2+2*y(x)*lambda+lambda^2 = a^2+a^2*diff(y(x),x)^2;

> ode13:=sqrt((1/a^2)*(y(x)^2+2*y(x)*lambda+lambda^2-a^2))=diff(y(x),x);

En estas integrales quedaria pendiente una constante de integracion....

> lambda:=2;a:=1;

> x1:=int(sqrt((y^2+2*y*lambda+lambda^2-a^2)/(a^2))^(-1),y);

> x2:=-int(sqrt((y^2+2*y*lambda+lambda^2-a^2)/(a^2))^(-1),y);

> x1;x2;

Verificacion grafica de catenaria coincidente....

> with(plots):

> p1:=plot(x1,y=-1..4,color=green):p2:=plot(arccosh(y+2),y=-1..4,style=point):

> p3:=plot(x2,y=-1..4,color=green):p4:=plot(-arccosh(y+2),y=-1..4,style=point):display([p1,p2,p3,p4]);

>