Álgebra Lineal

Definición. Subespacios. Sistemas de generadores. Sistemas de ecuaciones lineales homogéneos y no homogéneos. Independencia lineal. Bases y dimensión. Coordenadas. Matriz de cambio de base. Suma de subespacios. Teorema de dimensión de la suma. Suma directa.

Definición. Matriz de una transformación lineal. Núcleo, imagen, epimorfismo, monomorfismo e isomorfismo. Teorema de la dimensión para transformaciones lineales.

Definición. Base dual. Anulador. Dimensión del espacio anulador. Ecuaciones para un subespacio en una base. Cambios de bases duales a partir de las bases originales. Anulador de la suma y de la intersección de subespacios. Función transpuesta.

Funciones multilineales alternadas por columnas definidas en matrices cuadradas. Signo de una permutación. Existencia y unicidad del determinante fijando el valor en la identidad. Fórmula del determinante usando permutaciones. Determinante de un producto de matrices. Determinante de la transpuesta. Determinante de una matriz a partir del de sus bloques. Desarrollo del determinante por filas y por columnas. Efectos de la triangulación sobre el determinante. Matriz adjunta. Aplicación del determinante para decidir inversibilidad. Regla de Cramer.

Diagonalización de matrices. Polinomio característico de una matriz cuadrada. Teorema de Hamilton-Cayley. Polinomio minimal. Teorema de descomposición primaria. Criterios de diagonalización basados en el polinomio característico y en el minimal. Subespacios invariantes.

Fórmula para el número de bloques de Jordan de cada tamaño dado que aparecen el la forma de Jordan de una matriz. Cálculo de la base de Jordan. Aplicaciones: criterios para establecer semejanza de matrices en $\mathbb{C}^{n \times n}$. Potencias de una matriz en $\mathbb{C}^{n \times n}$.

Matriz de un producto interno en una base. Proceso de Gram-Schmidt. Proyección ortogonal. Adjunta de un operador. Operadores unitarios, autoadjuntos y normales. Teorema de triangulabilidad de operadores. Diagonalización de operadores normales. Caso real autoadjunto.