Medidas de Gibbs y transición de fase

Docente

Pablo Groisman

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Horario

Martes 13.30 a 15.30, teórica.

Jueves 14 a 16, teórica.

Jueves de 16 a 18, práctica/consultas.

Correlatividades

Probabilidades y Estadística.

Se recomienda haber cursado Análisis Real/Medida y Probabilidad.

Medidas de Gibbs en membranas lipídicas. Ver artículo.

De qué trata

Las medidas de Gibbs son distribuciones de probabilidad que aparecen naturalmente en muchísimos problemas de mecánica estadística. Un ejemplo simple e ilustrador es el Modelo de Ising, donde se estudian medidas de probabilidad en {−1, +1}^L (L es típicamente el retículado Z^2) que verifican que la probabilidad de que dos sitios vecinos (p. ej. el origen y el (0, 1)) tengan distinto signo es proporcional a e^{−β} , dada por la distribución de Boltzmann. El parámetro β > 0 es el inverso de la temperatura. Una pregunta natural es la existencia de estas medidas, que puede ser probada con argumentos de compacidad simples pero no constructivos y que por lo tanto dan poca información sobre las mismas. El siguiente interrogante es sobre la cantidad de medidas que verifican esta propiedad. La existencia de más de una medida es interpretada como una transición de fase y tiene un significado físico especial: un sistema físico con este tipo de interacciones puede alcanzar distintos equilibrios. El modelo de Ising es un modelo simplficado para un material ferromagnético y la existencia de una o más medidas está directamente relacionada con las propiedades ferromagnéticas del mismo. En este video se puede ver cómo cambian las propiedades ferromagnéticas de un material con la temperatura Daremos pruebas rigurosas de la existencia de más de una medida para temperaturas bajas y de una única medida para temperaturas altas. De forma similar estudiaremos otros modelos más complicados para analizar la exsitencia o ausencia de transición de fase, las propiedades de las medidas de Gibbs asociadas y el problema de la simulación de estas distribuciones. También estudiaremos estos fenómenos fuera de equilibrio. Si bien los modelos que estudiaremos tienen una fuerte motivación física, formularemos problemas estríctamente matemáticos por lo que no será necesario tener conocimientos de física para poder entender, estudiar e involucrarse con los problemas que trataremos.

Prácticas.

Libros y notas recomendados

Phase transition and percolation in Gibbsian particle models.

The random geometry of equilibrium phases.

Lecture notes Gibbs measures and phase transitions. Part 1.

Links

Simulación del modelo de Ising.

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