ECUACIONES POLINOMIALES Y ALGORITMOS

Profesora: Alicia Dickenstein

 

OPTATIVA SEGUNDO CUATRIMESTRE 2015  

 

Para Licenciatura en Mat. Pura y Aplicada y Profesorado (4 puntos);   Doctorado en Cs. Matemáticas (2 puntos). Para Licenciatura y Doctorado en Cs. de la Computación, consultar el puntaje en el Dto. de Computación.

 

Las clases comenzarán en la semana del 10 de agosto.  

Consultas: alidick (arroba) dm.uba.ar

      

 Horario propuesto: 4 horas de teórica y 2 de consultas por semana dentro de la franja de 10 a 13 hs los martes y viernes

 

 Este curso es una introducción a la geometría algebraica y el álgebra conmutativa computacionales. Veremos  algunas técnicas actuales para el manejo efectivo de sistemas de ecuaciones polinomiales, fundamental-mente relacionadas con la teoría de bases de Gröbner, y sus aplicaciones.

Pueden ver aquí un resumen de los temas y cuestiones que trataremos: Notas del Minicurso dictado en la UMA


Práctica 1       Práctica 2       Práctica 3       Práctica 4       Práctica 5      

Práctica 6       Práctica 7       Práctica 8

Ejercicios para entregar de las prácticas



Programa sintético:


1) Polinomios en una variable. Máximo común divisor, factorización. Raíces reales. Algoritmos de Descartes y Sturm. Ideales.

 

2) Polinomios en varias variables. Factorización única. Polinomios y funciones polinomiales. Ideales.  Variedades algebraicas afines.

 

2) Bases de Groebner. Ordenes monomiales, algoritmo de división. Lema de Dickson. Teorema de la base de Hilbert. Algoritmo de Buchberger.

 

3) Eliminación. La geometría de la eliminación. Teoremas de eliminación y extensión.  Resultantes.

 

4) Nullstellensatz de Hilbert. Correspondencia entre ideales radicales y variedades afines. Suma, producto e intersección de ideales. Clausura de Zariski. Cocientes por ideales. Variedades irreducibles e ideales primos.

 

5) Aplicaciones de bases de Groebner (problemas en robótica, demostración automática de teoremas geométricos, teoría de invariantes de grupos finitos, aplicaciones polinomiales inversibles, estados de equilibrio de redes de reacciones bioquímicas con cinética de acción de masas, etc.)

 

6) Variedades proyectivas. Clausura proyectiva. Teorema de Bézout.

 

7)  Variedades cero dimensionales.  Caracterizaciones equivalentes. Bases del cociente vía bases de Groebner. Cálculos efectivos.

 

8) La dimensión de una variedad afín.  Dimensión y función de Hilbert. Dimensión e independencia algebraica.

 

Correlativas: Algebra Lineal (se esperan alumnos con 8 materias rendidas).


Bibliografía:

 

Adams W., Loustaunau P. : An introduction to Gröbner Bases. Graduate Studies in Mathematics, AMS, 1994.

Becker T. - Weispfenning V. : Gr¨obner bases. A computational Approach to Commutative Algebra. Springer-Verlag, 1993.

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Cox D. - Little J. - O’Shea D. : Using Algebraic Geometry. Graduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag, 1998.
Dickenstein, A. y Emiris, I (eds.):
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Greuel G-M. - Pfister G. : A Singular introduction to Commutative Algebra. Springer-Verlag, 2000.

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Mishra, B. : Algorithmic Algebra. Springer-Verlag, 1993.

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