ECUACIONES POLINOMIALES Y ALGORITMOS
Profesora: Alicia Dickenstein
OPTATIVA SEGUNDO CUATRIMESTRE 2015
Para Licenciatura en Mat. Pura y Aplicada y Profesorado (4
puntos); Doctorado en Cs. Matemáticas (2 puntos). Para Licenciatura y Doctorado en Cs.
de la Computación, consultar el puntaje en el Dto. de
Computación.
Las
clases comenzarán en la semana del 10 de agosto.
Consultas: alidick (arroba) dm.uba.ar
Horario propuesto: 4
horas de teórica y 2 de consultas por semana dentro de la franja de 10 a 13 hs los martes y viernes
Pueden ver aquí un resumen de los temas
y cuestiones que trataremos: Notas del Minicurso dictado en la UMA
Práctica
1 Práctica 2
Práctica
3 Práctica 4
Práctica
5
Práctica
6 Práctica 7
Práctica
8
Ejercicios para
entregar de las prácticas
Programa sintético:
1) Polinomios en una variable. Máximo común divisor, factorización.
Raíces reales. Algoritmos de Descartes y Sturm. Ideales.
2) Polinomios en varias
variables. Factorización única. Polinomios y funciones polinomiales.
Ideales. Variedades algebraicas afines.
2) Bases de Groebner.
Ordenes monomiales, algoritmo de división. Lema de Dickson. Teorema de la base de Hilbert.
Algoritmo de Buchberger.
3) Eliminación. La geometría de
la eliminación. Teoremas de eliminación y extensión. Resultantes.
4) Nullstellensatz
de Hilbert. Correspondencia entre ideales radicales y
variedades afines. Suma, producto e intersección de ideales. Clausura de Zariski. Cocientes por ideales. Variedades irreducibles e
ideales primos.
5) Aplicaciones de bases de Groebner (problemas en robótica, demostración automática de
teoremas geométricos, teoría de invariantes de grupos finitos, aplicaciones polinomiales inversibles, estados
de equilibrio de redes de reacciones bioquímicas con cinética de acción de
masas, etc.)
6) Variedades proyectivas.
Clausura proyectiva. Teorema de Bézout.
7) Variedades cero dimensionales. Caracterizaciones equivalentes. Bases del
cociente vía bases de Groebner. Cálculos efectivos.
8) La dimensión de una variedad
afín. Dimensión y función de Hilbert. Dimensión e independencia algebraica.
Correlativas: Algebra Lineal (se esperan
alumnos con 8 materias rendidas).
Bibliografía:
– Adams W., Loustaunau P. : An introduction to Gröbner Bases. Graduate Studies in Mathematics, AMS, 1994.
– Becker T. - Weispfenning V. : Gr¨obner
bases. A computational Approach to Commutative Algebra.
Springer-Verlag, 1993.
– Cox D. - Little J. - O’Shea D. : Ideals , Varieties and Algorithms: An introduction
to Computational Algebraic Geometry and Commutative Algebra. Undergraduate
Texts in Mathematics. Springer-Verlag,
3a. edición, 2007.
– Cox D. - Little J. - O’Shea D. : Using Algebraic Geometry. Graduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag, 1998.
- Dickenstein, A. y Emiris, I (eds.): Solving Polynomial Equations: Foundations, Algorithms, and Applications. Algorithms and Computation in Mathematics 14, Springer-Verlag, 2005.
– von zur Gathen J. -
Gerhard J. : Modern Computer Algebra. Cambridge
University Press, 1999.
– Greuel G-M. - Pfister G. : A Singular introduction to
Commutative Algebra. Springer-Verlag,
2000.
– Lejeune-Jalabert M. : Effectivité
des Calculs Polynomiaux. Cours de DEA.
Institut Fourier, Univ. Grenoble 1, 1986.
– Mignotte M. :
Mathématiques pour le Calcul
Formel. Presses Universitaires
Francaises, 1986.
– Mignotte M., Stefanescu D. : Polynomials, An Algorithmic
Approach. Springer-Verlag, 1999.
– Mishra, B. :
Algorithmic Algebra. Springer-Verlag, 1993.
–
Van der Waerden,
B.L. :
Modern Algebra. Ungar Publishing Co., New York,
1969.