Las clases comenzaron en la semana del 15 de agosto.  

 

Este curso es una introdución a la geometría algebraica y el álgebra conmutativa computacionales. Veremos  algunas técnicas actuales para el manejo efectivo de sistemas de ecuaciones polinomiales, fundamentalmente relacionadas con la teoría de bases de Gröbner, y sus aplicaciones.

Pueden ver aquí un resumen de los temas y cuestiones que trataremos: Notas del Minicurso dictado en la UMA

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Programa sintético:

1) Polinomios en una variable. Máximo común divisor, factorización. Raíces reales. Algoritmos de Descartes y Sturm. Ideales.

 

2) Polinomios en varias variables. Factorización única. Polinomios y funciones polinomiales. Ideales.  Variedades algebraicas afines.

 

2) Bases de Groebner. Ordenes monomiales, algoritmo de división. Lema de Dickson. Teorema de la base de Hilbert. Algoritmo de Buchberger.

 

3) Eliminación. La geometría de la eliminación. Teoremas de eliminación y extensión.  Resultantes.

 

4) Nullstellensatz de Hilbert. Correspondencia entre ideales radicales y variedades afines. Suma, producto e intersección de ideales. Clausura de Zariski. Cocientes por ideales. Variedades irreducibles e ideales primos.

 

5) Aplicaciones de bases de Groebner (problemas en robótica, demostración automática de teoremas geométricos, teoría de invariantes de grupos finitos, aplicaciones polinomiales inversibles, estados de equilibrio de redes de reacciones bioquímicas con cinética de acción de masas, etc.)

 

6) Variedades proyectivas. Clausura proyectiva. Teorema de Bézout.

 

7)  Variedades cero dimensionales.  Caracterizaciones equivalentes. Bases del cociente vía bases de Groebner. Cálculos efectivos.

 

8) La dimensión de una variedad afín.  Dimensión y función de Hilbert. Dimensión e independencia algebraica.

 

Correlativas: Algebra Lineal (se esperan alumnos con 8 materias rendidas).

Bibliografía:

 

– Adams W., Loustaunau P. : An introduction to Gröbner Bases. Graduate Studies in Mathematics, AMS, 1994.

– Becker T. - Weispfenning V. : Gr¨obner bases. A computational Approach to Commutative Algebra. Springer-Verlag, 1993.

– Cox D. - Little J. - O’Shea D. : Ideals , Varieties and Algorithms: An introduction to Computational Algebraic Geometry and Commutative Algebra. Undergraduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag, 3a. edición, 2007.

– Cox D. - Little J. - O’Shea D. : Using Algebraic Geometry. Graduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag, 1998.
-  Dickenstein, A. y Emiris, I (eds.): Solving Polynomial Equations: Foundations, Algorithms, and Applications. Algorithms and Computation in Mathematics 14, Springer-Verlag, 2005.

– von zur Gathen J. - Gerhard J. : Modern Computer Algebra. Cambridge University Press, 1999.

– Greuel G-M. - Pfister G. : A Singular introduction to Commutative Algebra. Springer-Verlag, 2000.

– Lejeune-Jalabert M. : Effectivit´e des Calculs Polynomiaux. Cours de DEA. Institut Fourier, Univ. Grenoble 1, 1986.

– Mignotte M. : Mathématiques pour le Calcul Formel. Presses Universitaires Francaises, 1986.

– Mignotte M., Stefanescu D. : Polynomials, An Algorithmic Approach. Springer-Verlag, 1999.

– Mishra, B. : Algorithmic Algebra. Springer-Verlag, 1993.

– Van der Waerden, B.L. : Modern Algebra. Ungar Publishing Co., New York, 1969.