Anillos y sus categorías de representaciones
Anillos y sus categorías de representacionesSi usted bajó el archivo, le agradeceré si me envía un e-mail ( mfarinat@dm.uba.ar) avisando. De esa manera satisface mi curiosidad, y por otro lado puedo avisarle cuando haya versiones posteriores corregidas.
Para una descripción del libro, reproducimos aquí la introducción y el índice general:
Este libro surgió luego del dictado, en diversas oportunidades, del curso para la licenciatura en Cs. Matemáticas de la FCEyN-UBA "Álgebra II", que es la tercer materia de álgebra que cursan los alumnos. La escasez de bibliografía en castellano sobre los temas abarcados por esta materia fue uno de las principales motivaciones para escribir este libro.
En el proceso de redacción, varios temas fueron profundizados mas allá de lo que se suele dictar en clase, con la idea de que el alumno interesado cuente no sólo con una guía de los contenidos de la materia, sino también con material de consulta que lo prepare antes de abordar directamente literatura especializada.
Un curso semestral de estructuras algebraicas debería contar con los contenidos completos de los capítulos 1,2,3 y 4 como esqueleto sobre el cual desarrollar con mayor o menor profundidad los contenidos de los otros capítulos.
El capítulo sobre grupos (capítulo 1) fue encarado como un capítulo introductorio a estructuras, con los contenidos mínimos sobre grupos que se necesitarán en el resto del libro. La razón de esta minimalidad es por un lado que el punto de vista general del libro es el categórico, y el modelo de categoría elegido por nosotros sobre el cual aprender álgebra es el de categoría abeliana. Esto nos llevó a centrar el curso en categorías de módulos sobre un anillo en vez de la categoría de grupos. Por otra parte, la bibliografía a disposición de los alumnos sobre grupos, o grupos finitos, es mucho mas abundante que sobre módulos, con lo que un nuevo libro detallado sobre este tema no se presenta comparativamente tan necesario.
El capítulo de teoremas de estructura (capítulo 6) está formado por dos partes a la vez muy diferentes y análogas. Se trata de los teoremas de estructura de módulos sobre un anillo semisimple, y sobre un dominio principal. Si bien las categorías semisimples tienen un comportamiento muy diferente al de las categorías de módulos sobre un dominio principal, ambas son ejemplos de categorías en donde se tiene una clasificación ``completa'' de sus objetos. Mientras que en anillos semisimples el ejemplo que se tuvo en mente fue el de un álgebra de grupo, los ejemplos modelo que tomamos de dominios principales son Z (obteniendo así el teorema de estructura de grupos abelianos finitamente generados) y el anillo de polinomios con coeficientes en un cuerpo: k[x]. Este último ejemplo tiene como aplicación, en el caso que k sea algebraicamente cerrado, la descomposición en formas de Jordan. Dada la importancia de esta aplicación, la hemos descripto separadamente como última sección de este capítulo.
El capítulo sobre categorías (capítulo 9) puede considerarse también como un apéndice. Durante el dictado de la materia, las nociones categóricas no fueron dadas ni todas juntas, ni al final, sino de a poco, cuando las necesidades de lenguaje así lo indicaban. Generalmente este tema resulta muy difícil de asimilar si no se cuenta con ejemplos concretos de categorías sobre las que se haya trabajado. Por esta razón no recomendamos leer directamente este capítulo si no se está familiarizado con teoremas básicos o definiciones habituales de estructuras algebraicas, como los teoremas de isomorfismo, o las definiciones de suma directa, o de objeto proyectivo.
El capítulo sobre los teoremas de Morita (capítulo 8) es un punto ideal hacia donde confluir en un curso de álgebra, pues integra nociones de todos los otros capítulos (equivalencias de categorías, módulos proyectivos, generadores, producto tensorial) y a la vez provee resultados muy concretos, como cálculos de subespacios de conmutadores, o relaciones entre propiedades de un anillo A y del anillo de matrices Mn(A).
Por razones evidentes, varias áreas importantes de la teoría de anillos y de la teoría de módulos no son cubiertas por este texto. Mencionamos por ejemplo las herramientas de homología, la teoría de anillos conmutativos, o aspectos de la teoría de representaciones de grupos como caracteres, fórmulas de inducción, etc.
Este libro está principalmente destinado a alumnos de un curso de teoría de módulos. Como tales, asumimos que tienen un profesor, y por lo tanto hemos evitado todo lo que molesta a la comprensión de un texto matemático como largas explicaciones técnicas (que los alumnos difícilmente comprenden y que los profesores no necesitan leer) o una presentacion estrictamente secuencial.
Finalmente, queremos agradecer los comentarios, sugerencias y correcciones de los alumnos que cursaron Algebra II en los últimos cuatrimestres que contaron con versiones previas de este manuscrito. Queremos agradecer también a Mariano Suárez Álvarez por su ayuda con el LaTeX.
Marco A. Farinati - Andrea L. Solotar
Buenos Aires, 23 de agosto de 2001.
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