Este encuentro tuvo lugar en Montevideo,
Centro de Matemática, Facultad de Ciencias.
El calendario de actividades fue:
| Viernes 9 | Sábado 10 | ||||
| 9:30 a 11:00 | Sonia Natale | Curso: Clasificación de álgebras de Hopf semisimples I. | 9:00 a 10:30 | Sonia Natale | Curso: Clasificación de álgebras de Hopf semisimples II |
| 11:30 a 13:00 | Álvaro Rittatore | Curso: Teoría de invariantes I. | 10:45 a 12:15 | Álvaro Rittatore | Curso: Teoría de invariantes II |
| 15:00 a 16:00 | Iván Pan | Clasificación de las transformaciones de Cremona cuadráticas de P3 | 13:30 a 14:30 | Fernando Szechtman | Cuándo y cómo es posible realizar una representación R:G-->GL(n,F) sobre un cuerpo más pequeño K? |
| 16:15 a 17:15 | Matías Graña | Álgebras de Nichols | 14:45 a 15:45 | Guillermo Cortiñas | Geometría no conmutativa y corchetes de Poisson |
| 17:30 a 18:30 | Jorge Devoto | La cohomología elíptica de los espacios clasificantes de grupos aritméticos | 16:00 a 17:00 | Fernando Cukierman | Límites de sistemas lineales lineales en curvas algebraicas.. |
Algebras de Hopf semisimples
Se puede bajar el archivo postcript Hopf.ps.gz con los contenidos del curso. El resumen es:
Bibliografia:
Sugiero tambien como referencias las que se incluyen en las que siguen:
Álgebras de Hopf:
[S. Montgomery] Hopf algebras and their actions on rings,
CBMS 82, Amer. Math. Soc., 1993.
[H.J. Schneider, Lectures on Hopf algebras,
Trabajos de Matematica 31/95, Fa.M.A.F., 1995, disponible en
http://www.mate.uncor.edu/andrus/articulos.html.
[M. Sweedler] Hopf algebras, Benjamin, NY, 1969.
[Y. Sommerhäuser] On Kaplansky's conjectures,
preprint Nr. gk-mp-9806/55, München, 1998.
Clasificacion de algebras de Hopf:
[N. Andruskiewitsch] About finite dimensional Hopf algebras,
preprint 1999, disponible en
http://www.mate.uncor.edu/andrus/articulos.html.
[S. Montgomery] Classifying finite dimensional semisimple Hopf
algebras, Contemp. Math. 229, Amer. Math. Soc., 1998.
Extensiones:
[A. Masuoka] Extensions of Hopf algebras, Notas de Matematica 41/99, Fa. M.A.F., 1999. (*).
Biproductos:
[Y. Sommerhäuser] Yetter-Drinfel'd Hopf algebras over groups of prime order, preprint Nr. gk-mp-9905/59, München, 1999.
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Teoría de invariantes. El 14avo problema de Hilbert.
1ra charla: Presentacion del 14avo problema de Hilbert; su importancia. Acciones de un grupo algebraico sobre una variedad; cocientes. Existencia de cocientes y generacion finita de invariantes.
2da charla: Respuestas al 14avo problema de Hilbert. Grupos algebraicos reductivos. Contruccion de un contraejemplo al problema (siguiendo a Steinberg).
Bibliografía:
[Humpreys, J.E.] Hilbert's fourteenth problem. Amer. Math. Monthly
85 (1978), 341--353.
[Popov, V.L., Vinberg, E.B.] Invariant theory. In, Algebraic Geometry
IV, Parshin y Shafarevich eds. Springer-Verlag, 1994.
[Borel, A.] Linear algebraic groups, 2nd enl. ed. Springer-Verlag GTM
126, 1991.
[Steinberg, R.] Nagata's example. In Algebraic groups and Lie groups,
Lehrer ed. Austr. Math Soc. Lect. Series 9, Cambridge Univ. Press, 1997.
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Clasificación de Transformaciones birracionales cuadráticas en P3
Una transformación birracional de Pn de grado d es una aplicación racional F:Pn --> Pn de la forma F=[f0,...,fn] donde f0,...,fn son polinomios homogeneos de grado d sin factores comunes no triviales, que posee una inversa tambien racional. Por otro lado, se define el conjunto Hd de transformaciones birracionales modulo cambio de variables lineales en el codominio: es el conjunto de sistemas lineales de superficies de grado d que son homaloidales. En esta charla, mostramos que ciertos sistemas homaloidales son los puntos de una variedad secante a una variedad de grado minimal. Luego mostramos que en el caso n=3 e d=2 todo elemento de H2 puede obtenerse de esta forma, lo que permite dar una descripción detallada de este conjunto. Finalmente, observamos que el grupo general lineal (sobre los complejos) GL(4) opera de forma natural sobre H2: mostramos que esta acción tiene 30 órbitas cuyos representantes puedes ser descitos geometricamente a partir de condiciones de incidencia entre los elementos del sistema lineal.
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Álgebras de Nichols
Dado un espacio vectorial V, un morfismo (lineal) c: V\otimes V --> V\otimes V satisface la Ecuación de Trenzas si
(c \otimes\id)(\id\otimes c)(c\otimes\id) = (\id\otimes c)(c\otimes\id)(\id\otimes c): V^{\otimes 3}--> V^{\otimes 3}.
De manera análoga a como se construye el álgebra simétrica de V, se puede construir a partir de los datos (V,c) el "Álgebra Simétrica Cuantica", o ÁSC, (usando, en lugar del grupo simétrico, el grupo de trenzas). Si el par (V,c) satisface una hipótesis adicional de "rigidez", el ÁSC se llama ``Álgebra de Nichols" y es un algebra de Hopf trenzada. Casos particulares de esta construcción son el álgebra simétrica (tomando c(x\otimes y)=y\otimes x) y el álgebra antisimétrica (tomando c(x\otimes y)=-y\otimes x).
En la charla se mostrará la construccion de estas álgebras, se darán ejemplos no tan conocidos y se intentará explicar su utilidad en la clasificación de las álgebras de Hopf punteadas.
En la dirección http://mate.dm.uba.ar/~matiasg se encuentran disponibles electrónicamente archivos de mis publicaciones relacionadas con álgebras de Nichols.
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La cohomologia eliptica de los espacios clasificantes de grupos aritmeticos
En esta charla vamos a describir la cohomología ellíptica de los espacios clasificantes de una clase de grupos discretos que comprende entre otros casos de interes los grupos aritméticos y los productos amalgamados.
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Cuándo y cómo es posible realizar una representación
R:G--> GLn(F) sobre un cuerpo más pequeño K?
Sea F/K una extensión finita y separable de cuerpos
y sea S un conjunto de matrices n\times n
con coeficientes en F. Estamos interesados en el
siguiente
Problema: Cuándo y cómo es S realizable sobre K?
Es decir, bajo qué condiciones es posible exhibir una matriz
A\in GL(n,F) tal que A-1SA\in Mn(K) para toda
S\in S.
Cuando S=R(G), donde R:G--> GL(n,F) es una
representación absolutamente irreducible de un grupo finito
G, nuestra pregunta se convierte en un problema clásico.
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Geometria no conmutativa y corchetes de Poisson
La charla versará sobre el modelo geometría algebraica no conmutativa introducido por Kapranov. En este modelo los anillos de funciones de abiertos son cuantizaciones de álgebras de Poisson. Comentaremos los resultados de Kapranov y propios acerca de las nociones de esquemas no singular y de cohomología de de Rham en este modelo.
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Limites de sistemas lineales en curvas algebraicas
El objetivo de esta charla es dar una introducción al clasico "método de
degeneración". La idea básica es que para demostrar un enunciado referente a
una variedad algebraica completa no singular general X, se considera una
familia Xt de variedades dependiendo de un parametro t, tal que la
fibra central X0 es una variedad singular, usualmente union
transversal de variedades no singulares con invariantes numéricos (p. ej.
genero) menores que los de la fibra general. Se trata entonces de interpretar
el enunciado en el límite X0, demostrarlo alli por inducción, y
luego remontar a la fibra general. Cada uno de estos tres pasos puede ser mas
o menos dificil, dependiendo de la situación considerada.
Vamos a tratar una instancia particular del metodo de degeneración, que es la
teoría de Series Lineales Límite de Eisenbud-Harris (Inv. Math. 85, 1986).
Aquí se trata de estudiar sistemas lineales en superficies de Riemann via
degeneración a curvas estables de tipo compacto.
Primeramente planeamos revisar algunas definiciones como sistemas lineales,
puntos de ramificación y curvas estables. Luego enunciaremos algunos teoremas y
aplicaciones de esta teoría.
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