Evaluacion :  Habrá dos parciales. Uno a mitad de cuatrimestre y uno al finalizar el curso.
Cada parcial tendrá un recuperatorio. Los recuperatorios del primer y segundo parcial
serán al final del cuatrimestre.

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ANÁLISIS REAL
   

MEDIDA DE LEBESGUE EN Rn.
Medida de intervalos y de conjuntos s-elementales. Medida exterior. Conjuntos medibles. Medida de Lebesgue.
 Sucesiones monótonas de conjuntos medibles. Conjuntos despreciables. Conjuntos de clase G-delta y
conjuntos de clase F-sigma. Estructura de los conjuntos
 medibles. Algebras y s-álgebras. Conjuntos borelianos. Invariancia bajo translaciones. Conjuntos no medibles.

FUNCIONES MEDIBLES.
 Operaciones algebraicas y sucesiones de funciones medibles. Funciones simples. Funciones borelianas. Propiedades válidas en casi todo punto. Convergencia en medida. Teorema de Egoroff.

 INTEGRAL DE LEBESGUE.
 Integral de funciones no negativas. Integral de funciones simples. Teoremas de Beppo-Levi y de Fatou. Integral de funciones con valores de signo distinto. Linealidad. Teorema de la convergencia mayorada. Integral de funciones con valores complejos. Integrabilidad absoluta. Teorema de Lebesgue. Invariancia bajo translaciones. Continuidad absoluta. Comparación con la integral de Riemann. Teoremas de Tonelli y de Fubini. Función de distribución.

ESPACIOS Lp.
Desigualdades de Holder y de Minkowski. Completitud. Clases de funciones densas en Lp. Separabilidad. Módulo de continuidad.

TEORIA DE LA DIFERENCIACION.
Lema simple de Vitali. Función maximal de hardy-Littlewood. Teorema de diferenciación de la integral: puntos de Lebesgue y puntos de diferenciación. Teorema de cubrimiento de Vitali. Derivabilidad de las funciones monótonas y de las funciones de variación acotada. Funciones sbsolutamente continuas. Cambio de variable en integrales sobre R. Cambio de varaible en integrales múltiples en Rn.

 MEDIDAS E INTEGRACION EN ESPACIOS ABSTRACTOS.
 Medidas positivas. Integral con respecto a una medida positiva. Medidas signadas y  medidas complejas. Variación de una medida sobre un conjunto. Variación total. Descomposición de Jordan-Hahn. Medidas absolutamente continuas y  medidas singulares. Teorema de Radón-Nikodym.  

TEORIA de la DIMENSION.
Medidas de Hausdorff. Medidas autosimilares. Dimension de Hausdorff.. Medidas Packing
 

BIBLIOGRAFIA

     Wheeden and Zygmund. Measure and Integral. Marcel Dekker Inc. 1977.

     Fava N. Y Zo, F. Medida e Integral de Lebesgue. Red Olimpica 1996

     Royden, H.L. Real Analysis. Mc Millan 1968.

     Rudin, W. Real and Complex Analysis. Mc-Graw.
 

Dr. Carlos Cabrelli                            2do . Cuatrimestre 2003.

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