Programa

1. Introducción. Factorización de la ecuación de Fermat, y su solución en el “caso DFU”.
2. Prerrequisitos algebraicos. Extensiones algebraicas de cuerpos, norma y traza, discriminantes. Resultados básicos de la teoría de Galois.
3. Cuerpos de números. Anillos de enteros. Bases enteras. Bases para una composición. Discriminantes. Extensiones cuadráticas. La ecuación de Pell.
4. Dominios de Dedekind. Ideales fraccionarios y el grupo de clases. Factorización de ideales como productos de primos a potencias.
5. Factorización en extensiones. Teoría general en el escenario AKLB, y particularidades de los casos cuadrático y ciclotómico.
6. Teoría de la ramificación de Hilbert. Factorización en extensiones de Galois. Cuerpos de descomposición y de inercia. Automorfismo de Frobenius. Ley de reciprocidad cuadrática.
7. Espacio de Minkowski. Geometría (euclídea) de los cuerpos de números. Retículos, teorema de Minkowski. Teorema de Hermite. Finitud del número de clases. Primos regulares, y el último teorema de Fermat.
8. El grupo de unidades. Teorema de Dirichlet, sistemas de unidades fundamentales. El regulador. Unidades en cuerpos cuadráticos.
9. La función zeta de Dedekind. Equidistribución de ideales en clases. Fórmula para el residuo. El caso abeliano. L-series de caracteres de Dirichlet. Densidades polar y de Dirichlet de conjuntos de primos. El teorema de primos en progresiones aritméticas.
10. Introducción a la teoría de cuerpos de clases. Módulos, grupos de clases generalizados. Enunciados principales: teorema de reciprocidad de Artin, conductor de una extensión, teorema de existencia. Aplicaciones: teorema de Kronecker-Weber, cuerpo de clases de Hilbert, teorema de reciprocidad débil. Ley de reciprocidad cuadrática.