Teoría de Números

Finales

Lucas de Amorin

Título: El teorema de las normas de Hasse

Resumen: En 1931, Hasse probó que un elemento es una norma si lo es, esencialmente, módulo potencias de primos. En la charla daremos un enunciado preciso de este teorema y una idea sobre la demostración. Con este fin, introduciremos brevemente a los números p-ádicos y discutiremos sobre la igualdad fundamental para extensiones cíclicas.

Referencias: “Algebraic Number Fields”, G. Janusz, secciones V.1 - V.4.

Leonardo Lanciano – Josefina Villar

Título: Teorema de Riemann-Roch Aritmético.

Resumen: Dada una superficie de Riemann compacta X, el Teorema de Riemann-Roch permite calcular la dimensión del espacio de funciones meromorfas en X que tienen un conjunto de ceros y polos dado. Este fenómeno fue inicialmente estudiado por Riemann para el caso de la ecuación P(x,y) = 0, con P un polinomio con coeficientes complejos, utilizando técnicas analíticas. Por otra parte, Dedekind y Weber desarrollaron la teoría de ideales y obtuvieron resultados análogos en un contexto puramente algebraico. Para ese entonces, la analogía no parecía ser tan profunda ya que faltaba incorporar la noción del infinito, presente en la teoría de funciones y no así en la de ideales. Este vacío fue llenado con la teoría de valuaciones, en particular vía las valuaciones arquimedianas. En esta charla nos proponemos enunciar y demostrar una versión (aritmética) del Teorema de Riemann-Roch para un cuerpo de números K.

En la primera parte daremos una breve introducción a la teoría de valuaciones y lugares. Definiremos el diferente y estudiaremos su relación con la teoría de ramificación y el discriminante. Demostraremos que un primo p ramifica sii divide al discriminante.

En la segunda parte introduciremos la noción de divisor repleto, dándole una interpretación geométrica a la teoría de lugares. Definiremos los invariantes que aparecen en la fórmula del teorema de Riemann-Roch aritmético (género y característica de Euler) y culminaremos con la demostración de dicho teorema, junto con una versión aritmética de la fórmula de Riemann-Hurwitz.

Referencias: “Algebraic Number Theory”, J. Neukirch – Chapter 2,3.

Gonzalo Gallart – Numa Grinberg

Título: Leyes de reciprocidad

Resumen: Empezamos repasando la ley de reciprocidad cuadrática, dando dos demostraciones distintas. Después pasamos a estudiar la reciprocidad cúbica, que requiere un cambio de enfoque, y damos una demostración que generaliza una de las del caso cuadrático. Por último damos aplicaciones, que incluyen leyes misteriosas como “2 es un residuo cúbico mod p si y sólo si p es de la forma 4k + 3 o p se puede escribir como a² + 27b²”.

Mateo Mauri

Título: Teorema de Chebotarev, caso ciclotómico.

Resumen: El teorema de Chebotarev da información sobre la densidad (de Dirichlet) de ciertos conjuntos de primos, relacionados con el grupo de Galois de una extensión finita. En esta ocasión, voy a demostrar el teorema reduciendo al caso ciclotómico, utilizando algunas herramientas analíticas. Este caso no es menor, ya que se puede deducir una demostración del teorema general (para extensiones de Galois finitas) partiendo de este y con un poco de teoría de Galois.

Julián Feldman – Camila Mildiner

Título: Primos de la forma x² + ny²

Resumen: Dado un n natural, ¿Cuáles son los primos p que se pueden expresar de la forma p = x² + ny², con x, y enteros?

Con teoría de reciprocidad cuadrática y cúbica, formas cuadráticas o teoría de genus se puede responder esta pregunta para muchos n, pero no resuelve el problema en general. Como siguiente paso, debemos usar teoría de cuerpos de clases, que, si bien no nos resuelve el problema para todo n, nos da información para infinitos de ellos. Finalmente, se puede concluir que para cualquier n hay un algoritmo que responde nuestra pregunta.

Nosotros vamos a trabajar la segunda parte, la cual usa el cuerpo de clases de Hilbert (es decir, la extensión maximal de un cuerpo que es abeliana y no ramificada). Esto nos permitirá probar el siguiente resultado:

Sea n ≡ 1,2 mod 4 un entero positivo libre de cuadrados. Entonces existe un polinomio irreducible fₙ(x) ∈ ℤ[x] tal que dado un primo p que no divide ni a n ni al discriminante de fₙ(x) vale que:

p=x²+ny² sii {(-n/p)=1 y fₙ(x) ≡ 0 mod p tiene una solución entera}.

Veremos que fₙ(x) es el polinomio minimal de un elemento primitivo del cuerpo de clases de Hilbert L de K = ℚ(sqrt(-n)), y estudiaremos un ejemplo de cómo aplicar el teorema, que será para el caso n=14.

Iván Polasek – Camilo Vera

Título: Cotas para el número de divisores

Resumen: En ℤ, la cantidad de divisores de un número n se puede controlar con un resultado clásico. Este resultado usa, de manera más o menos implícita, dos propiedades de ℤ que no valen para cualquier anillo de enteros: que en ℤ hay factorización única, y que el grupo de unidades de ℤ es finito. En esta exposición presentaremos una noción adaptada de “cantidad de divisores” que tenga sentido en contextos generales, y mostraremos un resultado que permite controlar la “cantidad de divisores” de un elemento de un anillo de enteros cualquiera, recuperando el espíritu del resultado clásico.

Ayelén Alcántar – Carlos Antunes

Título: El teorema del índice de Dedekind

Resumen: Dado un cuerpo de números de la forma K=ℚ(a) para algún entero algebraico a, una de las herramientas básicas para estudiar cómo se factorizan los primos en O_K es el Teorema de Dedekind-Kummer, que dice que la factorización de un primo racional p “imita” la factorización en irreducibles del polinomio minimal de a, bajo la hipótesis de que p no divida al índice [O_K: ℤ[a]]. En esta charla hablaremos de un criterio debido a Dedekind para decidir cuándo vale esa hipótesis y algunas conexiones con las preguntas sobre la monogenicidad del anillo de enteros O_K.

Ignacio Córdoba – Cecilia Duhau

Título: Cotas para la densidad de cuerpos de números cúbicos

Resumen: Una conjetura del folklore de los cuerpos de números, atribuida a Linnik por L. Pierce en [1], afirma que la cantidad de cuerpos de números de grado n y discriminate acotado por X, contada a menos de isomorfismo, se comporta como una constante por X. Se conocen resultados completos para n = 2 (Gauss), n = 3 (Davenport - Heilbronn), n = 4 (Cohen, Diaz y Diaz, Olivier, Bhargava) y n = 5 (Bhargava).

El objetivo de este final es exponer un resultado probado por Davenport y Heilbronn en [2], que precedió al caso n = 3, en el cual se acota inferior y superiormente la densidad de cuerpos cúbicos. Las técnicas son de geometría de números y teoría de cuerpos de clases.

Referencias:

Tomás Paternó

Título: Demostraciones Euclídeas del Teorema de Dirichlet para Progresiones Aritméticas

Resumen: El objetivo de esta charla es estudiar cuando es posible dar una demostración del teorema de Dirichlet, que dice que hay infinitos primos en cada progresión aritmética módulo m, que sea “Euclídea”: buscamos una demostración que refleje la de la infinitud de primos de Euclides. Veremos que la existencia de una demostración de este estilo impone ciertas condiciones sobre la progresión aritmética elegida, y luego veremos que estas condiciones son suficientes para que exista una demostración de esta forma.