Dado un marco lineal de forma cerrada, curva y/o recta por tramos, pueden extenderse
desde él muchas superficies que lo adopten como su borde simple. De todas estas
superficies habrán algunas con más o menos área, pero entre todas puede encontrarse
una superficie de área mínima.
Materialmente puede ilustrarse el tema con películas o films jabonosos producidos
al sumergir el marco de borde en sustancias tensoactivas (jabones-detergentes)
que extienden dentro del marco unas superficies transparentes similares a las
pompas de jabón.
Una película de jabón puede ser llamada superficie mínima, es decir, una superficie
que tiene el área más pequeña posible entre todas las superficies con
el mismo contorno, pues la película líquida se comporta como una superficie elástica
que busca minimizar su área y, por lo tanto, minimizar la energía de tensión por
unidad de área.
Las superficies regulares situadas en nuestro espacio usual tienen varias
variables específicas que las caracterizan, dentro de ellas se encuentran
las curvaturas superficiales. Dada una superficie localmente pueden
determinarse dos curvaturas, la máxima y la mínima (Cmax y Cmin)
que se establecen sobre dos planos perpendiculares de corte de la
superficie por el punto local, y que sus valores se calculan
según cuán curvadas ("dobladas") estén, y hacia qué cara superficial
apunten (signos según esto).
Tomando dichos valores de curvatura con sus signos pueden generarse
otras dos variables que informan sobre la forma local de la superficie:
-Cgauss- curvatura de gauss que se obtiene por el producto de Cmax y Cmin
-Cmedia- curvatura media que es el promedio de Cmax y Cmin
Al abordarse el problema de las superficies mínimas extendidas dentro de contornos
dados, analíticamente se encuentra una propiedad general interesante:
curvatura superficial minimal-->>> curvatura media nula -->>> ó Cmax=Cmin=0 ó Cmax=-Cmin
es decir que
Cgauss=0 - ambas curvaturas son cero, es decir que es localmente un plano (superficie mínima más simple)
Cgauss<0 - ambas curvaturas son iguales en valor pero opuestas en signo (forma local de silla de montar)
Resumiendo las posibilidades locales con Cmedia=0
---->>> Cgauss=0 (plano local) ó Cgauss<0 (silla de montar local)
------VIDEO ILUSTRATIVO SOBRE CURVAS Y SUPERFICIES------