Dados dos puntos no encimados verticalmente encontrar la curva que los une, por la que al descender resbalando libremente una masa por efecto de la gravedad lo haga de la forma más breve, en el menor tiempo posible.

Si se suelta una masa dentro de un campo gravitatorio y sea cual fuera su trayectoria en cada momento su velocidad sera proporcional a la raíz cuadrada de la altura desde la que cae.

Por lo que se observa que pueden establecerse "capas" horizontales dentro de las que los objetos móviles por acción gravitatoria tendrán igual velocidad de movimiento.

El modelo plantea que bajo las condiciones señaladas, para pasar de una capa a otra con tiempo mínimo, la línea de trayectoria no puede ser recta, ella debe quebrarse. A este modelo se lo denomina "óptico" pues es el mismo que explica la refracción de la luz, fácilmente observable al tomar en cuenta que el rayo de luz debe quebrarse para optimizar su tiempo de recorrido entre dos medios físicos con índices diferentes (velocidades de la luz diferentes).

Y esto puede explicarse con la ayuda de un esquema de transporte de un pueblo a otro en el menor tiempo. Al ser diferentes las velocidades en las regiones --la recta-- que une los pueblos --no es-- la que permite el viaje en tiempo mínimo.

Se realizan cálculos ilustrativos de tiempos empleados según trayectorias diversas, notando que hay un trayecto quebrado que emplea tiempo mínimo (4.0). Las sumas aproximadas son de tiempos empleados para los diversos trayectos en cada zona de velocidad constante.

Esto que obliga a quebrar lineas rectas en lo local discretizado, en lo global produce trayectorias curvas. Las curvas discretizadas en cada tramo cumplen con las condiciones para que haya localmente minimalidad -aproximada-. Pero analíticamente (mediante el cálculo de variaciones) se llega a deducir la expresión exacta de la curva que cumple la condición de minimalidad.

La deducción analítica encuentra una curva minimal parecida a un arco de circunferencia que se llama cicloide y que se genera trazándola con la trayectoria de un punto por rodamiento de un círculo sobre una horizontal.

Se muestran en una simulación aproximada las series de posiciones sucesivas de caída por recta y por cicloide.

La cicloide es tautocrona, es decir que no dependen los tiempos de caída de la altura desde donde parta, siempre son iguales, o lo mismo, las masas llegan al punto más bajo en el mismo tiempo, no importando desde qué punto de la curva se las haya soltado.

Y otra propiedad geométrica interesante de la cicloide es que al estar un hilo adherido a la curva cicloide, traza otra cicloide igual al desenrollarse.

Es decir que la cicloide es evolvente y evoluta de sí misma, por lo que si un péndulo oscila recostado sobre un trozo de cicloide su trayectoria será la de una cicloide.

Y como la cicloide es tautocrona, es decir que no dependen los tiempos de caída de la altura desde donde parta o llegue, en el sistema del péndulo ello implica que el período de las oscilaciones no dependerá de la amplitud, por lo que se la denomina isochrona. Christiaan Huygens descubrió esta propiedad y la utilizó para construir relojes de péndulo isocronos, o sea que no cambiaban el ritmo de marcha (período) según la amplitud. Los péndulos comunes conservan períodos prácticamente iguales hasta los 6 grados de amplitud.