Topología Diferencial - 2026
Profesor: Gabriel Minian
Correlativas:
- Topología
- Geometría Diferencial (puede cursarse al mismo tiempo que esta materia)
Horarios
Clases teóricas : Martes de 14 a 16hs (Aula 1207 pab 0) y Viernes 14 a 16hs (Aula 1303 Pab 0)Consultas y ejercicios : Cada semana vamos a ir alternando -entre antes y después de las clases teóricas- para ejercicios y consultas, así todos pueden tener la posibilidad de consultar y hacer ejercicios.
Guías de Ejercicios:
- Práctica Uno: Primeras aplicaciones de Sard y transversalidad
- Primera lista de ejercicios para entregar y ejercicios adicionales
- Práctica Dos: Intersección módulo 2 y grado módulo 2
- Práctica Tres: Teoría de Morse
- Práctica Cuatro: Cohomología de de Rham
Material extra
- Documental sobre Perelman y la conjetura de Poincaré
- Grassmann: Las ideas principales sobre formas diferenciales se basan en trabajos de Grassmann (de mitad del siglo XIX). Esas ideas fueron retomadas por Élie Cartan en el siglo XX (1920-1930 más o menos) y son parte fundamental en el desarrollo de la Geometría Diferencial. Grassmann se adelantó más de 50 años a su época. Su trabajo fue muy poco valorado y comprendido mientras vivía y recién fue rescatado varias décadas después por Cartan. En este link pueden encontrar una biografía de Grassman y en este otro link parte de un prefacio que escribió en una edición de su libro. Ese prefacio contiene 4 o 5 renglones imperdibles para leer, que resumen lo que él sentía con respecto a su trabajo.
- Este link contiene la Sección 1 del volumen 28 "Geometría I- Geometría Diferencial" de la Enciclopedia Rusa de Matemática "Algebra y Geometría: la dualidad del intelecto".
- Esferas exóticas
- R. Bott, L. Tu. Differential forms in algebraic topology. GTM, Springer.
- Guillemin, Polack. Differential Topology. MIT Prentice-Hall.
- M. Hirsch. Differential topology. Springer.
- Madsen, Tornehave. From Calculus to Cohomology. Cambridge University Press.
- J. Milnor. Topology from the differentiable viewpoint. University Press of Virginia.
- J. Milnor. Lectures on the h-cobordism theorem. Princeton University Press.
- J. Milnor. Morse Theory. Princeton University Press.
- G. Minian, K. Piterman. Notas de topología diferencial.
- W. Raymond Lickorish. An introduction to knot theory. GTM, Springer.
- D. Rolfsen. Knots and Links. AMS Chelsea Publishing.
Programa:
1. Valores críticos y regulares. Teorema de Sard y aplicaciones. Transversalidad. Teoría de intersección (módulo 2 y caso orientable).2. Teoría de Morse. Puntos críticos no degenerados y funciones de Morse. Lema de Morse (forma local de las funciones de Morse). Tipos homotópicos en término de los valores críticos. Desigualdades de Morse. Teorema de Reeb. Caracterización de esferas y discos.
3. Grado de funciones e índice de campos. Teorema del índice de Poincaré-Hopf y aplicaciones.
4. Cohomología. Dualidad de Poincaré. Prehaces, haces y Teorema de de Rham.
5. Cobordismo. Cirugía y teoría de manijas. Introducción al h-cobordismo y conjetura (teorema) de Poincaré.
6. Nudos y links. El grupo de un link. Superficies de Seifert. Linking number. Caracterización del nudo trivial mediante su grupo (loop theorem). Asfericidad de nudos (sphere theorem).