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\author{Nombre Apellido}
\title{Hiperplanos y Esferas}

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\begin{document}%

\begin{abstract}
Probamos, para todo $n \ge 1$, que toda intersección entre la esfera $S^n \subset \R^{n+1}$ y un hiperplano afín es o bien vacía, o bien un punto, o bien homeomorfa a $S^{n-1}$. Como aplicación damos una demostración alternativa de que $S^n$ es arcoconexo para todo $n \ge 1$.
\end{abstract}

\maketitle

Fijemos $n \ge 1$. Un \emph{hiperplano} $H \le \R^{n+1}$ es un subespacio de dimensión $n$. Un \emph{hiperplano afín}
es un conjunto de la forma
\[
H+p = \{h+p : h \in H\}
\]
donde $H$ es un hiperplano y $p \in \R^{n+1}$. 

\begin{obs} \label{obs:hiper}
Si $H \le \R^{n+1}$ es un hiperplano y $S$
es un subespacio complementario de $H$, 
entonces todo vector $p$ se escribe como 
$p = h + s$ con $h \in H$ y $s \in S$ únicos. Se sigue que
\[
H +p = (H + h) + s = H + s.
\]
\end{obs}

El objetivo de esta nota es probar que para todo hiperplano $H$ y $p \in \R^{n+1}$, el conjunto $(H+p) \cap S^n$
es o bien vacío o bien 
homeomorfo a $S^{n-1}$. Lo probamos primero para el caso de un hiperlano 
de la forma 
\[
X_\alpha = \{x \in \R^{n+1} : x_{n+1} = \alpha\} 
= \langle e_1,\ldots, e_n \rangle + \alpha e_{n+1}, \qquad \alpha \in \R.
\]


\begin{lem} \label{lem:plander}
Sea $\alpha \in \R$.
\begin{enumerate}[(i)]
    \item Si $\alpha = 1$, entonces $X_\alpha \cap S^n = \{e_{n+1}\}$.
    \item Si $\alpha = -1$, entonces $X_\alpha \cap S^n = \{-e_{n+1}\}$.
    \item Si $|\alpha| > 1$, entonces $X_\alpha \cap S^n = \emptyset$.
    \item Si $|\alpha| < 1$, entonces
    $X_\alpha \cap S^n \equiv S^{n-1}$.
\end{enumerate}
\end{lem}
\begin{proof} Un punto $x \in \R^{n+1}$
pertenece a $S^n$ si
$x_1^2 + \cdots  + x_{n+1}^2 = 1$. Si además $x \in X_\alpha$, esta ecuación resulta
\begin{align}\label{eq:1-a}
    x_1^2 + \cdots  + x_{n}^2 = 1-\alpha^2
\end{align}
y luego
\[
X_\alpha \cap S^n = \{(x_1,\dots,x_n) \in \R^n : x_1^2 + \cdots  + x_{n}^2 = 1-\alpha^2\} \times \{\alpha\}.
\]
En lo que sigue de la prueba veremos, esencialmente, que el primer factor de este producto es vacío, un sólo punto, u homeomorfo a la $(n-1)$-esfera.

Como el lado izquierdo de \eqref{eq:1-a} es no-negativo, para que se satisfaga la ecuación necesariamente $|\alpha| \le 1$; esto prueba (III). Si $|\alpha| = 1$, entonces
$x_1 = \cdots = x_n = 0$ y $x_{n+1} = \alpha = \pm 1$, lo cual prueba (I) y (II).

De aquí en más supongamos que $|\alpha| < 1$. Luego $0 < 1-\alpha^2 < 1$, por lo cual es posible considerar $\beta = \frac{1}{\sqrt{1-\alpha^2}}$. Esto permite reescribir \eqref{eq:1-a}; diviendo por $1-\alpha^2 = \beta^2$ obtenemos
\[
\Bigg(\frac{x_1}{\beta}\Bigg)^2 + \cdots  + \Bigg(\frac{x_{n}}{\beta}\Bigg)^2 = 1.
\]
Podemos considerar luego la función
\[
f \colon S^{n-1} \to X_\alpha \cap S^n, \qquad f(x_1,\dots,x_n) = (\beta x_1, \dots,\beta x_n, \alpha),
\]
que es biyectiva por construcción y continua pues proviene de (co)restringir una función continua de $\R^n$ en $\R^{n+1}$. Como $S^{n-1}$ es compacto, se sigue que $f$ es un homeomorfismo. Esto concluye la prueba del ítem (IV).
\end{proof}

\begin{prop} \label{main}
Si $H \le \R^{n+1}$ es un hiperplano y $p \in \R^{n+1}$, entonces
$S^n \cap (H+p)$ es o bien vacío, o bien
un único punto, o bien homeomorfo a $S^{n-1}$.
\end{prop}
\begin{proof} Consideraremos en $\R^{n+1}$
su producto interno canónico $\langle x,y\rangle= x_1y_1 + \cdots +x_{n+1}y_{n+1}$.
Sea $\{v_1,\ldots, v_n\}$ una base ortonormal de $H$ y $H^\perp$ su complemento ortogonal. Como $H$ es un hiperplano, se sigue que $H^\perp$ tiene diemnsión $1$; sea $ \{w\}$ un generador de norma $1$. Notar que $\{v_1, \ldots, v_n, w\}$ es base ortonormal de $\R^{n+1}$. Por la Observación \ref{obs:hiper}, tenemos que $p = h+\alpha w$ para ciertos 
$h \in H$, $\alpha \in \R$, y $H+p = H+\alpha w$.

Consideremos a continuación el isomorfismo lineal $T \colon \R^{n+1} \to \R^{n+1}$ que envía $v_i$ a $e_i$
para cada $i \in \{1,\dots, n\}$, y $w$ a $e_{n+1}$. 
Como $T$ envía una base ortonormal en otra base ortonormal, 
es de hecho una trasformación ortonormal. En particular $T$ preserva la norma y por lo tanto $T(S^n) = S^n$. Por otro lado,
\[T(H+p) = T(H+\alpha w) = T(H)+\alpha T(w) = \langle e_1,\dots, e_n \rangle + \alpha e_{n+1} = X_\alpha.\]

Dado que $T$ es un isomorfismo lineal, resulta un homeomorfismo. Se sigue de ello que $S^n \cap (H+p)$ es homeomorfo a $T(S^n) \cap T(H+p) = S^n \cap X_\alpha$. Aplicando el Lema \ref{lem:plander} obtenemos la conclusión buscada.
\end{proof}

\begin{coro} Si $n \ge 1$, entonces $S^n$ es arcoconexo.
\end{coro}
\begin{proof} Haremos inducción en $n$. 
Si $n = 1$, entonces $S^1$ es la imagen de la función continua
\[
g \colon [0,1] \to \R^2, \qquad g(t) = (\cos(2\pi t), \sen(2 \pi t)).
\]
Como $[0,1]$ es arcoconexo, entonces $g([0,1]) = S^1$ también lo es.

Supongamos ahora que $n \ge 2$ y que $S^{n-1}$ es arcoconexo. Dados $x,y \in S^n$ puntos distintos, consideramos $H$ un hiperplano que los contenga\footnote{Explícitamente: podemos extraer una base de $S=\langle x, y\rangle$, extenderla a un conjunto $B$ linealmente independiente de $n$ elementos y tomar $H = \langle B \rangle$.}. Como $x,y \in H \cap S^n$, 
sabemos que $S^n \cap H$ tiene al menos dos puntos. 
Usando la hipótesis inductiva y aplicando la Proposición \ref{main}, obtenemos que el subespacio $S^n \cap H$
es homeomorfo a $S^{n-1}$. En particular este subespacio resulta arcoconexo y debe existir un arco entre $x$ e $y$ cuya imagen está contenida en $S^n \cap H \subset S^n$. Esto prueba que todo par de puntos de la $n$-esfera se conecta a través de un arco.
\end{proof}

\end{document}