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\overfullrule5pt

\Materia{Álgebra II}
\Cuatrimestre{Primer Cuatrimestre --- 2014}
\Practica{9}
\Titulo{Álgebra homológica}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Abreviaturas
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% proclaiming things
\theoremseparator{.}
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\theoremindent\parindent
\newtheorem*{Teorema}{Teorema}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}

\maketitle

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{ejercicios}

\item Ver si las sucesiones de $A$-m\'odulos dadas son complejos y, en caso afirmativo, calcular su homolog\'ia.
\begin{ejitems}\label{complejos}
 \item $A=\ZZ$, $C_i=0$ para los $i<0$, $C_i=\ZZ_8$ para los $i\geq 0$, $d_i:C_i\to C_{i-1}$ dados por $d_i(x)=2x$.
 \item Igual que el inciso anterior, pero con $d_i(x)=4x$.
 \item $A=\RR$, $$C: \ \ \ \cdots \to\RR[X] \to\RR[X] \to\RR[X] \to\RR[X] \to\RR[X] \to\cdots,$$ $d_{n}:C_{n}\to C_{n-1}$ dados por $d_{2i}(p)=p(0)$ y $d_{2i+1}(p)=Xp$.
 \item $A=\ZZ$, $$C: \ \ \ \cdots \to\ZZ^{\NN}\to\ZZ^{\NN} \to\ZZ^{\NN} \to\ZZ^{\NN} \to\ZZ^{\NN} \to \cdots ,$$$d_n:C_{n}\to C_{n-1}$ dados por 
 \[
  d_{2i}((a_1,a_2,a_3, \dots))=(0,a_2,a_3,\dots) \quad\text{y}\quad
  d_{2i}((a_1,a_2,a_3, \dots))=(5a_1, 0, 0, \dots).
 \]
 \item $A=\ZZ$, $$C: \ \ \ \cdots\to\ZZ_4\stackrel{\mu_3}{\longrightarrow}\ZZ_6\stackrel{\mu_2}{\longrightarrow}\ZZ_6\stackrel{\mu_2}{\longrightarrow}\ZZ_4\stackrel{\mu_3}{\longrightarrow}\ZZ_6\stackrel{\mu_2}{\longrightarrow}\ZZ_6\stackrel{\mu_2}{\longrightarrow}\ZZ_4\to \cdots$$
 \item $A=\ZZ$, $$C: \ \ \ \cdots \to \ZZ\to\ZZ\to\ZZ\to \ZZ\to\ZZ\to \cdots$$ con $d_{2i}(x)=nx, d_{2i-1}(x)=0$.
\end{ejitems}

% \item Sean $(C_*,d_*)$ y $(C'_*, d'_*)$ dos complejos de $A$-m\'odulos, y sea $f$ un \textit{morfismo de complejos} entre ellos, es decir, una familia de funciones $f_i:C_i\to C'_i$ tales que $fd=d'f$ ($f_{i-1}d_i=d'_if_i$ para todo $i$). Probar que $f$ induce un morfismo en las homolog\'ias, es decir, una familia de funciones $\overline{f}_i:H_i(C)\to H_i(C')$.

\item Ver si son morfismos de complejos.
\begin{ejitems}
 \item $C=C'$ el primer complejo del ejercicio \ref{complejos}, $\{f_i\}$ dada por $f_{2i}(x)=2x$, $f_{2i+1}(x)=4x$.
 \item Los mismos complejos, pero con $f_{2i}(x)=x$, $f_{2i+1}(x)=3x$.
\end{ejitems}

% \item \textit{Lema de los 5}. Considerar el siguiente diagrama de $A$-m\'odulos de filas exactas.
% 
% \[
% \xymatrix{
% M_1 \ar[d]^a \ar[r] & M_2 \ar[d]^b \ar[r] & M_3 \ar[d]^c \ar[r] & M_4 \ar[d]^d \ar[r] & M_5 \ar[d]^e\\
% N_1 \ar[r] & N_2 \ar[r] & N_3 \ar[r] & N_4 \ar[r] & N_5
% }
% \]
% 
% Probar lo siguiente.
% \begin{ejitems}
%  \item Si $b$ y $d$ son monomorfismos y $a$ es epimorfismo, entonces $c$ es monomorfismo.
%  \item Si $b$ y $d$ son epimorfismos y $e$ es monomorfismo, entonces $c$ es epimorfismo.
%  \item Si $a,b,d,e$ son isomorfismos, entonces $c$ es isomorfismo.
% \end{ejitems}

% \item \textit{Lema de la serpiente}. Considerar el siguiente diagrama de $A$-m\'odulos de filas exactas.
% 
% \[
% \xymatrix{
% & M_1 \ar[d]^a \ar[r] & M_2 \ar[d]^b \ar[r] & M_3 \ar[d]^c \ar[r] & 0\\
% 0 \ar[r] & N_1 \ar[r] & N_2 \ar[r] & N_3
% }
% \]
% 
% Probar lo siguiente.
% \begin{ejitems}
%  \item El diagrama induce una sucesi\'on exacta $$\ker a \to \ker b \to \ker c \stackrel{\partial}{\rightarrow} \coker a \to \coker b \to \coker c.$$
%  \item Si $M_1\to M_2$ es monomorfismo, tambi\'en lo es $\ker a \to \ker b$.
%  \item Si $N_2\to N_3$ es epimorfismo, tambi\'en lo es $\coker b \to \coker c$.
% \end{ejitems}

% \item Probar que una sucesi\'on exacta corta de complejos $0\to M\stackrel{f}{\rightarrow} N\stackrel{g}{\rightarrow} T\to 0$ induce una \textit{sucesi\'on exacta larga} de homolog\'ia $$\cdots \stackrel{\partial_{n+1}}{\longrightarrow} H_n(M)\stackrel{f_n}{\rightarrow} H_n(N) \stackrel{g_n}{\rightarrow} H_n(T) \stackrel{\partial_n}{\rightarrow} H_{n-1}(M)\stackrel{f_{n-1}}{\rightarrow} H_{n-1}(N) \stackrel{g_{n-1}}{\rightarrow}\cdots$$

\item Dados dos complejos de $A$-m\'odulos $C=(C_i,d_i)$ y $C'=(C'_i,d'_i)$, probar que $C\oplus C'=(C_i\oplus C'_i, d_i\oplus d'_i)$ es un complejo, y que $H_*(C\oplus C')=H_*(C)\oplus H_*(C')$.

% \item Dados dos morfismos de complejos $f,g:C\to C'$, una \textit{homotop\'ia} $\varphi:f\simeq g$ es una familia de morfismos $\varphi: C_n\to C'_{n+1}$ tales que $d'_{n+1}\varphi_n +\varphi_{n-1}d_n=f_n-g_n$ para todo $n$. Probar lo siguiente.
% 
% \begin{enumerate}
%  \item La relaci\'on $\simeq$ es de equivalencia en el conjunto de morfismos de $C$ en $C'$.
%  \item Si $f\simeq g$, entonces inducen el mismo morfismo en la homolog\'ia.
% \end{enumerate}

\item \textit{Homolog\'ia de un grafo}. Sea $\Gamma$ un grafo orientado finito con v\'ertices $V=\{v_0,\dots, v_m\}$ y aristas $X=\{a_0,\dots, a_n\}$. Dado un anillo $A$, se considera el siguiente complejo $C$. $C_0$ es el $A$-m\'odulo libre con base $V$, $C_1$ es el $A$-m\'odulo libre con base $X$, $C_k=0$ para $k\neq 0,1$, $d_1$ definido en la base por $d_1(a_s)=a_s^f-a_s^i$, donde $a_s^i$ y $a_s^f$ denotan respectivamente el v\'ertice inicial y final de la arista $a_s$.

Probar que si $\Gamma$ es conexo, la homolog\'ia del complejo $C$ es $0$ salvo $H_0(C)$ y $H_1(C)$ que son $A$-m\'odulos libres de dimensiones $1$ y $1-m+n$ respectivamente.

\item Se dice que un complejo de $A$-m\'odulos $C$ \textit{se parte} si existe una familia de morfismos $s_n:C_n\to C_{n+1}$ tales que $d=dsd$.
\begin{ejitems}
 \item Sea $C$ el siguiente complejo de $\ZZ_4$-m\'odulos $$\cdots \to\ZZ_4\to\ZZ_4\to\ZZ_4\to\ZZ_4\to\ZZ_4\to\cdots \ ,$$ donde los morfismos son todos la multiplicaci\'on por $2$. Probar que el complejo es ac\'iclico pero no se parte.
 \item Probar que todo complejo ac\'iclico de $A$-m\'odulos libres acotado inferiormente se parte.
 \item Probar que todo complejo ac\'iclico de $\ZZ$-m\'odulos libres de tipo finito se parte.
\end{ejitems}

(Un complejo $C$ se dice \textit{acotado inferiormente} si $\exists \ n_0 :  C_n=0 \ \forall  \ n\leq n_0$.)

\item Un complejo se dice \textit{contr\'actil} si el morfismo identidad es homot\'opico al morfismo nulo. Probar que un complejo $C$ es contr\'actil sii es ac\'iclico y se parte.

\item Dado un morfismo de complejos $f:C\to C'$, se define el \textit{cono} de $f$ de la siguiente manera. $M_n=C_{n-1}\oplus C'_n$, \ $\delta_n:C_{n-1}\oplus C'_n\to C_{n-2}\oplus C'_{n-1}, \  \delta_n(c,c')=(-d_{n-1}(c),d'_n(c')-f_{n-1}(c))$.

Probar lo siguiente.
\begin{ejitems}
 \item $M(f)=(M_n,\delta_n)$ es un complejo para todo morfismo $f$.
 \item $M(1)$ es ac\'iclico y se parte, donde $1$ es la identidad de un complejo $C$. Sugerencia: tomar $s_n(c,c')=(-c',0)$.
\end{ejitems}


\item Sea $f:C\to C'$ un morfismo de complejos. Probar que $f\simeq 0$ sii $f$ se extiende a un morfismo $(-s,f):M(1_C)\to C'$, donde $1_C$ es la identidad del complejo $C$.

\item Dado un morfismo de complejos $f:C\to C'$, se define el \textit{cilindro} de $f$ de la siguiente manera. $T_n=C_n\oplus C_{n-1}\oplus C'_n$, $$\delta:C_n\oplus C_{n-1}\oplus C'_n\to C_{n-1}\oplus C_{n-2}\oplus C'_{n-1}, \ \ \ \ \delta_n(x,y,z)=(d(x) + y , -d(y), d'_n(z)-f(y)).$$

Probar lo siguiente.
\begin{ejitems}
 \item $T(f)=(T_n,\delta_n)$ es un complejo para todo morfismo $f$.
 \item Dados dos morfismos $f,g:C\to C'$, $f\simeq g$ sii se extienden a un morfismo $(f,s,g):T(1)\to C'$, donde $1$ es la identidad de $C$.
\end{ejitems}

% \item Dado $f:C\to C'$ un morfismo de complejos, considerar la sucesi\'on exacta corta de complejos $$0 \to C' \stackrel{\alpha}{\rightarrow} M(f)\stackrel{\beta}{\rightarrow} C[-1] \to 0 ,$$
% donde $\alpha(c')=(0,c'), \ \beta(c,c')=-c$.
% Teniendo en cuenta que $H_{n+1}(C[-1])\simeq H_n(C)$, la sucesi\'on larga de homolog\'ia inducida es de la forma $$\cdots\to H_{n+1}(M(f)) \stackrel{\beta_*}{\rightarrow} H_n(C) \stackrel{\partial}{\rightarrow} H_n(C') \stackrel{\alpha_*}{\rightarrow} H_n(M(f))\stackrel{\beta_*}{\rightarrow} H_{n-1}(C) \to \cdots$$
% 
% Probar que $\partial$ es el morfismo inducido por $f$ en la homolog\'ia.
% 
% \item Sea $P_*$ un complejo de $A$-m\'odulos proyectivos, con $P_i=0$ para todo $i<0$. Probar que dar morfismo $\varepsilon:P_0\to M$ tal que $(P_i)_{i\geq 0}$ es una resoluci\'on proyectiva de $M$ es lo mismo que dar un morfismo de complejos $P_*\to M_*$ que induce isomorfismos en las homolog\'ias, donde $M_*$ es el complejo que tiene m\'odulos nulos salvo en $M_0=M$.
% 
% \item Sea $P_*\stackrel{\varepsilon}{\rightarrow} M$ una resoluci\'on proyectiva de un $A$-m\'odulo $M$ y sea $f:M\to N$ un morfismo de $A$-m\'odulos.
% \begin{ejitems}
%  \item Probar que para toda resoluci\'on $Q_*\stackrel{\eta}{\rightarrow} N$ de $N$ existe un morfismo de complejos $f_*:P_*\to Q_*$ tal que $f\varepsilon=\eta f_0$.
%  \item Probar que $f_*$ es \'unico salvo homotop\'ia.
% \end{ejitems} 
\end{ejercicios}


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\foto{Eilenberg}{Samuel Eilemberg\\1913--1998, Polonia.}{%
La topología fue su principal interés: trabajó en el tratamiento axiomático
de la teoría de la homología con Norman Steenrod, y en el álgebra homológica
con Saunders MacLane, escribió un libro sobre el tema anterior con Henri Cartan
que llegó a ser un clásico, y tomó parte en los encuentros del grupo Bourbaki.}
\end{document}
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