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\overfullrule5pt

\Materia{Álgebra II}
\Cuatrimestre{Primer Cuatrimestre --- 2014}
\Practica{7}
\Titulo{Módulos II}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Abreviaturas
\newcommand\CC{\mathbb{C}}
\newcommand\RR{\mathbb{R}}
\newcommand\QQ{\mathbb{Q}}
\newcommand\ZZ{\mathbb{Z}}
\newcommand\NN{\mathbb{N}}
\newcommand\FF{\mathbb{F}}
\newcommand\HH{\mathbb{H}}
\newcommand\GG{\mathbb{G}}
\newcommand\II{\mathbb{I}}

\newcommand\ot{\otimes}
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\renewcommand\S[1]{[\![#1]\!]}
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\newcommand\notdivides{\nmid}
\renewcommand\emptyset{\varnothing}
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\newcommand\q{\mathfrak{q}}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% proclaiming things
\theoremseparator{.}
\newtheorem*{Definicion}{Definición}
\theoremindent\parindent
\newtheorem*{Teorema}{Teorema}
\newtheorem*{Proposicion}{Proposición}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}

\maketitle

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Módulos libres, proyectivos e inyectivos}

\begin{ejercicios}

%%%%%%%%%%
\item $\QQ$ no es un $\ZZ$-módulo libre. 

%%%%%%%%%%
\item Muestre que el grupo abeliano $\ZZ^\NN$ no es libre.

\begin{Indicacion}
Sea $M\subset\ZZ^\NN$ el subgrupo de todos los elementos
$x=(x_i)_{i\in\NN}\in\ZZ^\NN$ tales que 
para todo $n\in\NN$, $\abs{\{i\in\NN:2^n\nmid x_i\}}<\infty$.
Entonces si $\ZZ^\NN$ es libre, $M$ es libre de rango no numerable. Analice
ahora el grupo abeliano $M/2M$.
\end{Indicacion}

%%%%%%%%%%
\item\header{Bases duales} Sea $A$ un anillo y $P$ un $A$-módulo a izquierda.
Una \emph{base dual} para $P$ es un par $((x_i)_{i\in I}, (f_i)_{i\in I})$ tal
que $x_i\in P$ para todo $i\in I$, $f_i\in\hom_A(P,A)$ para todo $i\in I$ y se
tiene que
\begin{enumerate}[label=(\roman*)]
\item para todo $x\in P$, $\abs{\{i\in I:f_i(x)\neq0\}}<\infty$, y
\item para todo $x\in P$, es $x=\sum_{i\in I}f_i(x)x_i$.
\end{enumerate}
Nótese que en la segunda condición la suma tiene sentido por la primera
condición.
\begin{ejitems}
\item Muestre que un $A$-módulo $P$ es proyectivo sii posee una base dual.
\item Muestre que un $A$ módulo $P$ es proyectivo y finitamente generado sii
posee una base dual finita.
\end{ejitems}
  
%%%%%%%%%%
\item Sea $A$ un anillo, $S\subset A$ un subconjunto multiplicativamente
cerrado y sea $M$ un $A$-módulo a izquierda. 
\begin{ejitems}
\item Si $M$ es libre, entonces $M_S$ es libre como $A_S$-módulo.
\item Si $M$ es proyectivo, entonces $M_S$ es proyectivo como $A_S$-módulo.
\item Si $M$ es finitamente generado, entonces $M_S$ es finitamente generado
como $A_S$-módulo.
\end{ejitems}

%%%%%%%%%%
\item\header{Resoluciones proyectivas} Sea $A$ un anillo.
\begin{ejitems}
\item Para cada $A$-módulo $M$ existe un diagrama
  \[\xymatrix@C-10pt{
  \cdots \ar[r]
    & P_p \ar[r]
    & P_{p-1} \ar[r]
    & \cdots \ar[r]
    & P_1 \ar[r]
    & P_0 \ar[r]
    & M \ar[r]
    & 0
  }\]
de $A$-módulos y homomorfismos de $A$-módulos que es exacto y en el que cada
$P_p$, $p\geq0$, es proyectivo. Llamamos a este diagrama una \emph{resolución
proyectiva} de $M$.

\item De hecho, los $A$-módulos $P_p$, $p\geq0$, pueden elegirse libres.

\item Si $A$ es noetheriano a izquierda y $M$ es finitamente generado, entonces
los $A$-módulos $P_p$, $p\geq0$, pueden elegirse finitamente generados.

\item Si $f:M\to N$ es un morfismo de $A$-módulos y 
  \begin{gather*}
  \xymatrix@C-10pt{
  \cdots \ar[r]
    & P_p \ar[r]
    & P_{p-1} \ar[r]
    & \cdots \ar[r]
    & P_1 \ar[r]
    & P_0 \ar[r]
    & M \ar[r]
    & 0
  } \\
\shortintertext{y}
  \xymatrix@C-10pt{
  \cdots \ar[r]
    & Q_p \ar[r]
    & Q_{p-1} \ar[r]
    & \cdots \ar[r]
    & Q_1 \ar[r]
    & Q_0 \ar[r]
    & N \ar[r]
    & 0
  } 
  \end{gather*}
son resoluciones proyectivas de $M$ y $N$, respectivamente, entonces existen
morfismos $f_p:P_p\to Q_p$ para cada $p\geq0$ que hacen conmutar el siguiente
diagrama:
  \[
  \xymatrix@C-10pt{
  \cdots \ar[r]
    & P_p \ar[r] \ar[d]^-{f_p}
    & P_{p-1} \ar[r] \ar[d]^-{f_{p-1}}
    & \cdots \ar[r] 
    & P_1 \ar[r] \ar[d]^-{f_1}
    & P_0 \ar[r] \ar[d]^-{f_0}
    & M \ar[r] \ar[d]^-{f}
    & 0
    \\
  \cdots \ar[r]
    & Q_p \ar[r]
    & Q_{p-1} \ar[r]
    & \cdots \ar[r]
    & Q_1 \ar[r]
    & Q_0 \ar[r]
    & N \ar[r]
    & 0
  } 
  \]

\item Encuentre resoluciones proyectivas para 
\begin{enumerate}[label=(\roman*)]
\item un $A$-módulo proyectivo;
\item el $\ZZ$-módulo $\ZZ/n\ZZ$ para cada $n\in\ZZ$;
\item el $k[X]$-módulo $S=k[X]/(X)$.
\end{enumerate}
\end{ejitems}

%%%%%%%%%%
\item Para cada $A$-módulo a izquierda $M$, sea $M^*=\hom_A(M,A)$ con su
estructura de $A$-módulo a derecha obtenida de la estructura de $A$-bimódulo de
$A$. Muestre que $M$ es un proyectivo finitamente generado sii $M^*$ lo es.

%%%%%%%%%%
\item $\ZZ$ no es un $\ZZ$-módulo inyectivo.

%%%%%%%%%%
\item Si $A$ es un dominio de integridad y $K$ es su cuerpo de fracciones,
entonces $K$ es un $A$-módulo inyectivo.

%%%%%%%%%%
\item Sea $G$ un grupo finito y $k$ un cuerpo tal que $\abs{G}$ es inversible en
$k$. Mustrar que todo $k[Q]$-módulo es proyectivo e inyectivo. ¿Todo
$k[G]$-módulo es necesariamente libre?

%%%%%%%%%%
\item Si $A$ un un anillo de división, todo $A$-modulo es inyectivo y
proyectivo.

\end{ejercicios}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{Productos tensoriales}

\begin{ejercicios}

%%%%%%%%%%
\item Muestre que $\QQ\ot_\ZZ\QQ\cong\QQ$.

%%%%%%%%%%
\item Sea $A$ un anillo y $M_A$ y ${}_AM$ $A$-módulos. Muestre que $M\ot_AN$ es
un $\End_A(M)$-$\End_A(N)$-bimódulo.

%%%%%%%%%%
\item Sean $A$ y $B$ anillos y $M{}_A$, ${}_AN{}_B$ y ${}_BP$ módulos. Muestre
que hay un isomorfismo natural
  \[
  M\ot_A(N\ot_BP)\cong(M\ot_AN)\ot_BP.
  \]

%%%%%%%%%%
\item Sea $A$ un anillo conmutativo, $\a\subset A$ un ideal y $M$ un $A$-módulo.
Muestre que hay un isomorfismo natural $A/\a\ot_AM\cong M/\a M$.

%%%%%%%%%%
\item Sea $A$ un anillo, $M{}_A$ y ${}_AN$ módulos y supongamos que
$M=\sum_{i\in I}M_i$ es suma de una familia de submódulos $\{M_i\}_{i\in I}$.
Si $M_i\ot_AN=0$ ara todo $i\in I$, entonces $M\ot_AN=0$.

%%%%%%%%%%
\item Sea $A$ un anillo y $M$ un $A$-módulo playo. Si $N\subset M$ es un sumando
directo, entonces $N$ es playo.

%%%%%%%%%%
\item Si $A$ es un anillo conmutativo y $M$, $N$ son $A$-módulos playos,
entonces $M\ot_AN$ es un $A$-módulo playo.

%%%%%%%%%%
\item Sea $A$ un anillo y $S\subset A$ un subconjunto multiplicativamente
cerrado.
\begin{ejitems}
\item Si $M$ es un $A$-módulo izquierdo, entonces hay un isomorfismo
$A_S\ot_AM\cong M_S$.
\item El $A$-módulo derecho $A_S$ es playo.
\end{ejitems}

%%%%%%%%%%
\item* Sea $A$ un anillo y $M$ un $A$-módulo izquierdo. Entonces $M$ es playo sii
para todo ideal $\a\subset A$ finitamente generado, la aplicación
  \[
  a\ot m\in \a\ot_AM\mapsto am\in \a M
  \]
es un isomorfismo.

%%%%%%%%%%
\item Sea $A$ un anillo. Las siguientes afirmaciones son equivalentes:
\begin{enumerate}[label=(\roman*)]
\item Todo $A$-módulo a izquierda es playo.
\item Todo $A$-módulo a derecha es playo.
\item Para todo $a\in A$, existe $x\in A$ tal que $a=axa$.
\item Todo ideal izquierdo principal está generado por un idempotente.
\item Todo ideal derecho principal está generado por un idempotente.
\end{enumerate}

%%%%%%%%%%
\item\header{Criterio local de platitud} Sea $A$ un anillo conmutativo y $M$ un
$A$-modulo. Las siguientes afirmaciones son equivalentes:
\begin{enumerate}[label=(\roman*)]
\item $M$ es playo;
\item para cada $\p\in\Spec A$, $M_\p$ es un $A_\p$-módulo playo;
\item para cada ideal maximal $\m\subset A$, $M_\m$ es un $A_\m$-módulo playo.
\end{enumerate}

%%%%%%%%%%
\item Un anillo conmutativo $A$ es \emph{absolutamente playo} si todos sus
módulos son playos. 
\begin{ejitems}
\item Muestre que las siguientes afirmaciones son equivalentes:
\begin{enumerate}
\item $A$ es absolutamente playo.
\item Todo ideal principal de $A$ es idempotente.
\item Todo ideal finitamente generado de $A$ es un sumando directo de $A$.
\end{enumerate}
\item Muestre que un anillo booleano es absolutamente playo.
\item Si $A$ es un anillo conmutativo absolutamente playo y $S\subset A$ es un
subconjunto multiplicativamente cerrado, entonces $A_S$ es absolutamente playo.
\end{ejitems}


%%%%%%%%%%
\item\header{Producto tensorial de álgebras} Sea $k$ un cuerpo y sean $A$ y $B$
$k$-álgebras. Muestre que $A\ot_kB$ es un álgebra de forma tal que el producto
está dado por
  \[
  a\ot b\cdot a'\ot b=(aa')\ot (bb').
  \]

%%%%%%%%%%
\item Sea $k$ un cuerpo, $A$ una $k$-álgebra y $n$, $m\in\NN$. Muestre que hay
isomorfismos naturales de álgebras
  \begin{gather*}
  A[X]\cong k[X]\ot_kA,\\
  \M_n(A)\cong\M_n(k)\ot_kA,\\
\shortintertext{y}
  \M_{nm}(A)\cong\M_n(A)\ot_k\M_m(A).
  \end{gather*}

\end{ejercicios}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Productos de torsión}

\begin{ejercicios}

\item Sean $M$ y $N$ grupos abelianos. Consideremos el conjunto
  \[
  G(M,N)=\{(m,k,n)\in M\times\ZZ\times N: km=0, kn=0\},
  \]
sea $L(M,N)$ el $\ZZ$-módulo libre generado por $G(M,N)$ y sea $R(M,N)$ el
subgrupo de $L(M,N)$ generado por los elementos
  \begin{align*}
  &(m+m',k,n)-(m,k,n)-(m',k,n),
    && \text{si $km=km'=0$ y $km=0$;} 
    \\
  &(m,k,n+n')-(m,k,n)-(m,k,n'),
    && \text{si $km=0$ y $kn=kn'=0$;}
    \\
  &(m,kk',n)-(mk,k',n),
    && \text{si $kk'm=0$ y $k'n=0$;}
    \\
  &(m,kk',n)-(m,k,k'n),
    && \text{si $km=0$ y $kk'n=0$.}
  \end{align*}
Definimos $M\odot N=L(M,N)/G(M,N)$.
\begin{ejitems}

\item Si $M$ ó $N$ no posee elementos de orden finito, $M\odot N=0$

\item Hay un isomorfismo $M\odot N\cong N\odot M$.

\item Dados $f:M\to M'$ y $g:N\to N'$ son morfismos de grupos abelianos, es
posible construir un morfismo de grupos abelianos $f\odot g:M\odot N\to M'\odot
N'$ de manera que se cumplan las siguientes condiciones:
\begin{enumerate}[label=(\roman*)]
\item Si $f:M\to M'$, $f':M'\to M''$, $g:N\to N'$ y $g:N'\to N''$ son morfismos
de grupos abelianos, entonces 
  \[
  (f'\odot g')\circ(f\odot g)=(f'\circ f)\odot(g'\odot g).
  \]
\item Si $f, f':M\to M'$ y $g$, $g':N\to N'$ son morfismos de grupos abelianos,
entonces 
  \begin{gather*}
  (f+f')\odot g=f\odot g+f'\odot g
\shortintertext{y}
  f\odot(g+g')=f\odot g+f\odot g'.
  \end{gather*}
\item Si $M$ y $N$ son grupos abelianos, es $\id_M\odot\id_N=\id_{M\odot N}$.
\end{enumerate}

\item Si $f:M\to M'$ y $g:N\to N'$ son isomorfismos, entonces el morfismo
$f\odot g:M\odot N\to M'\odot N'$ es un isomorfismo.

\item Si $M$, $M'$, $N$ y $N'$ son grupos abelianos, entonces hay isomorfismos
naturales 
  \begin{gather*}
  (M\oplus M')\odot N\cong (M\odot N)\oplus(M'\odot N)
\shortintertext{y}
  M\odot(N\oplus N')\cong (M\odot N)\oplus M\odot(M\odot N').
  \end{gather*}

\item Sea 
  \[\xymatrix{
  0 \ar[r]
    & M' \ar[r]^-f
    & M \ar[r]^-g
    & M'' \ar[r]
    & 0
  }\]
una sucesión exacta de grupos abelianos y sea $N$ un grupo abeliano. Entonces
hay una sucesión exacta
  \begin{multline*}
  \xymatrix@C+5pt{
    0 \ar[r]
      & M'\odot N \ar[r]^-{f\odot\id_N}
      & M\odot N \ar[r]^-{g\odot\id_N}
      & M''\odot N \ar[r]^-\partial
      & {}
    } \\
  \xymatrix@C+5pt{
    {} \ar[r]
      & M'\ot N \ar[r]^-{f\ot\id_N}
      & M\ot N \ar[r]^-{g\ot\id_N}
      & M''\ot N \ar[r]
      & 0
    }
  \end{multline*}
para un cierto morfismo $\partial:M''\odot N\to M'\ot N$.

\item Si $M$ es un grupo abeliano y $n\in\NN$, calcule $M\odot\ZZ_n$.

\item Si $M$ es un grupo abeliano, sea $T(M)\subset M$ el subgrupo de los
elementos de torsión. Muestre que hay un isomorfismo $M\odot\QQ/ZZ\cong T(M)$.

\item Sea $p$ un número primo y $S=\{p^i:i\in\NN_0\}$. Se trata de un conjunto
multiplicativamente cerrado en $\ZZ$, así que podemos considerar la localización
$\ZZ_S$. Si $M$ es un grupo abeliano, describa el grupo $M\odot\ZZ_S$.

\item Sean $M$ y $N$ grupos abelianos tales que si $m\in M$ tiene orden finito
$k$ y $n\in N$ tiene orden finito $l$, entonces $(k,l)=1$. Muestre que $M\odot
N=0$.

\item Muestre que si $M$ y $N$ son grupos abelianos finitos, entonces $M\ot
N\cong M\odot N$.

\end{ejitems}

\end{ejercicios}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Condiciones de cadena}
\begin{ejercicios}
\item\header{Anillos de matrices} Sea $n\in\NN$. 
\begin{ejitems}
\item Un anillo $A$ es noetheriano a izquierda sii $M_n(A)$ es noetheriano a
izquierda.

\item Un anillo $A$ es noetheriano a izquierda sii $M_n(A)$ es noetheriano a
izquierda.

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%
\item Un dominio integro artiniano es un cuerpo.

%%%%%%%%%%
\item\begin{ejitems}
\item Un grupo abeliano artiniano es de torsión.
\item Un grupo abeliano es artiniano y noetheriano sii es finito.
\end{ejitems}

%%%%%%%%%%
\item\header{Extensiones finitas de anillos}  Sea $B$ un subanillo de un anillo
$A$ tal que $A$ es finitamente generado como $B$-módulo a izquierda. Si $B$ es
noetheriano a izquierda, entonces $A$ es noetheriano a izquierda.

%%%%%%%%%%
\item\header{Algebras de matrices} Sean $A$ y $B$ anillos y $M$ y $N$ un
$A$-$B$-bimódulo y un $B$-$A$-bimódulo, respectivamente. Sea 
  \[
  T=\begin{pmatrix} A & M \\ N & B \end{pmatrix}
  \]
el álgebra de matrices. Entonces $T$ es noetheriana a derecha sii $A$ y $B$ son
anillos noetherianos a derecha y $M$ es un $B$-módulo noetheriano y $N$ es un
$A$-módulo noetheriano.

%%%%%%%%%%
\item\header{Polinomios de Laurent} Sea $k$ un cuerpo y sea $A=k[X,X^{-1}]$ el
anillo de polinomios de Laurent con coeficientes en $k$. Muestre que $A$ es
noetheriano.

\begin{Indicacion}
Imite la demostración del teorema de Hilbert para $k[X]$.
\end{Indicacion}

%%%%%%%%%%
\item\header{Extensiones de Ore} Sea $A$ un anillo y sea $\sigma:A\to A$ un 
homomorfismo de anillos. 
\begin{ejitems}

\item Muestre que existe exactamente una estructura de anillo sobre el grupo
abeliano $B=A[X]$ de polinomios con coeficientes a izquierda en $A$ en una
variable $X$ tal que
  \[
  Xa=\sigma(a)X, \qquad\forall a\in A.
  \]
Escribimos $A[X;\sigma]$ al anillo correspondiente.

\item Si $\sigma$ es inyectivo y $A$ es un dominio, entonces $A[X;\sigma]$ es un
dominio.

\item Si $\sigma$ es inyectivo y $A$ es un anillo de división, entonces
$A[X;\sigma]$ es un dominio de ideales principales.

\item Si $\sigma$ es automorfismo y $A$ es noetheriano a izquierda (derecha), entonces
$A[X;\sigma]$ es noetheriano a izquierda (derecha).

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%
\item\header{Extensiones de Ore, II} Sea $A$ un anillo y sea $\sigma:A\to A$ un
homomorfismo de anillos. Una \emph{$\sigma$-derivación} de $A$ es un
homomorfismo de grupos $\delta:A\to A$ que satisface
  \[
  \delta(ab)=\delta(a)\sigma(b)+a\delta(b), 
  \qquad\forall a,\,b\in A.
  \]
Si $\sigma=\id_A$, decimos simplemente que $\delta$ es una \emph{derivación}
de~$A$.
\begin{ejitems}

\item Muestre que existe exactamente una estructura de anillo sobre el grupo
abeliano $B=A[X]$ de polinomios con coeficientes a izquierda en $A$ en una
variable $X$ tal que
  \[
  Xa=\sigma(a)X + \delta(a), \qquad\forall a\in A.
  \]
Escribimos $A[X;\sigma,\delta]$ al anillo correspondiente.

\item Si $\sigma$ es inyectivo y $A$ es un dominio, entonces
$A[X;\sigma,\delta]$ es un dominio.

\item Si $\sigma$ es inyectivo y $A$ es un anillo de división, entonces
$A[X;\sigma,\delta]$ es un dominio de ideales principales.

\item Si $\sigma$ es automorfismo y $A$ es noetheriano a izquierda (derecha),
entonces $A[X;\sigma,\delta]$ es noetheriano a izquierda (derecha).

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%
\item Sea $A=k[X]$, $\sigma=\id_A:A\to A$ y $\delta=\frac{\partial}{\partial
X}:A\to A$. 
\begin{ejitems}

\item Muestre que $\delta$ es una derivación de $A$.

\item Muestre que el álgebra de Weyl $A_1$ es isomorfa a $A[X;\sigma,\delta]$.
En particular, concluya que $A_1$ es noetheriana.

\end{ejitems}
\end{ejercicios}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\foto{Baer}{Reinhold Baer\\1902--1979, Alemania y Suiza}{%
Los trabajos más importantes de Baer fueron en teoría de grupos. En 1940
introdujo el concepto de módulo inyectivo.}

\end{document}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% vim: tw=80 fileencoding=latin1
