\documentclass[a4paper,oneside,fleqn,10pt]{article}
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\Materia{Álgebra II}
\Cuatrimestre{Primer Cuatrimestre --- 2014}
\Practica{5}
\Titulo{Localización}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Abreviaturas
\newcommand\CC{\mathbb{C}}
\newcommand\RR{\mathbb{R}}
\newcommand\QQ{\mathbb{Q}}
\newcommand\ZZ{\mathbb{Z}}
\newcommand\NN{\mathbb{N}}
\newcommand\FF{\mathbb{F}}
\newcommand\HH{\mathbb{H}}
\newcommand\GG{\mathbb{G}}
\newcommand\II{\mathbb{I}}

\newcommand\Grp{\mathrm{Grp}}
\newcommand\op{\mathrm{op}}
\newcommand\id{\mathsf{id}}
\newcommand\Id{\mathsf{Id}}
\newcommand\Z{\mathsf{Z}}
\newcommand\N{\mathsf{N}}
\newcommand\C{\mathsf{C}}
\renewcommand\O{\mathcal{O}}
\renewcommand\S[1]{[\![#1]\!]}
\newcommand\eps{\varepsilon}
\newcommand\abs[1]{\lvert#1\rvert}
\newcommand\absx[1]{\left\lvert#1\right\rvert}
\newcommand\gen[1]{\left\langle#1\right\rangle}
\newcommand\gens[1]{\langle#1\rangle}
\newcommand\divides{\mid}
\newcommand\notdivides{\nmid}
\renewcommand\emptyset{\varnothing}
\def\dash---{\thinspace---\hskip.16667em\relax}
\newcommand\p{\mathfrak{p}}
\newcommand\q{\mathfrak{q}}
\newcommand\m{\mathfrak{m}}

\DeclareMathOperator{\GL}{GL}
\DeclareMathOperator{\AGL}{AGL}
\DeclareMathOperator{\SL}{SL}
\DeclareMathOperator{\End}{End}
\DeclareMathOperator{\Aut}{Aut}
\DeclareMathOperator{\Inn}{Inn}
\DeclareMathOperator{\Out}{Out}
\DeclareMathOperator{\im}{im}
\DeclareMathOperator{\Spec}{Spec\;}
\DeclareMathOperator{\nil}{nil}
\DeclareMathOperator{\cl}{cl}
\DeclareMathOperator{\charact}{char}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% proclaiming things
\theoremseparator{.}
\newtheorem*{Definicion}{Definición}
\theoremindent\parindent
\newtheorem*{Teorema}{Teorema}
\newtheorem*{Proposicion}{Proposición}

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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}

\maketitle

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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Localización}
\begin{center}
\itshape En estos ejercicios los anillos son conmutativos.
\end{center}


\begin{ejercicios}
\item Probar que si $A$ es un DIP, todo ideal primo no nulo de $A$ es maximal.
\item Sean $P_1, \dots, P_n$ ideales primos de un anillo $A$ y sea $I$ un ideal de $A$ contenido en $\cup_{i=1}^n P_i$. Probar que existe un $1 \leq i \leq n$ tal que $I \subseteq P_i$.

\item Sean $I_1, \dots, I_n$ ideales de un anillo $A$ y sea $P$ un ideal primo de $A$ que contiene a $\cap_{i=1}^n I_i$.
\begin{enumerate}
\item Probar que existe un $1 \leq i \leq n$ tal que $I_i \subseteq P$.
\item Probar que si $P= \cap_{i=1}^n I_i$, entonces $P=I_i$ para alg\'un $1 \leq i \leq n$.
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $A$ un anillo y sea $S\subset A^\times$ un subconjunto 
multiplicativamente cerrado de unidades de $A$.
Entonces $A_S\cong A$.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $A$ un anillo y sea $S\subset A$ un subconjunto multiplicativamente
cerrado. Si $0\in S$, entonces $A_S\cong0$.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $A$ un anillo, $S\subset A$ un subconjunto multiplicativamente cerrado
e $I\subset A$ un ideal. Sea $\bar S$ la imagen de $S$ por la aplicación
canónica $A\to A/I$. Entonces $(A/I)_{\bar S}\cong A_S/IA_S$.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $A$ un anillo, $S, T\subset A$ subconjuntos multiplicativamente
cerrados de $A$ y sea $T'$ la imagen de $T$ por la aplicación canónica $A\to
A_S$. Sea $U=ST=\{st:s\in S,\,t\in T\}$.

Muestre que $U$ es un conjunto multiplicativamente cerrado en $A$ y que
$(A_S)_T\cong A_U$.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item\begin{ejitems}
\item Sea $X$ un espacio metrico y sea $A=C_\RR(X)$ el anillo de las
funciones reales continuas sobre~$X$. Sea $x_0\in X$ y pongamos
$S=\{f\in A:f(x_0)\neq0\}$. Muestre que $S$ es multiplicativamente cerrado.
¿Es inyectiva la aplicación canónica $A\to A_S$? De no serlo, describa su
núcleo.

\item Supongamos que $A$ es un dominio de integridad y $S\subset A$ es
multiplicativamente cerrado. Muestre que la aplicación canónica $A\to A_S$ es
inyectiva.

\item Sea $A$ un anillo y $S\subset A$ un subconjunto multiplicativamente
cerado. Dé condiciones necesarias y suficientes para que la aplicación canónica
$A\to A_S$ sea inyectiva.

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $A$ un anillo y $\p\in\Spec A$. Muestre que $S=A\setminus\p$ es un
conjunto multiplicativamente cerrado. En general, escribimos $A_\p$ en lugar de
$A_{A\setminus\p}$.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $A=\C(\RR)$, $U=(0,1)$ y $S=\{f\in A:\forall t\in U,\;f(t)\neq0\}$.
\begin{ejitems}
\item $S$ es multiplicativamente cerrado en $A$.
\item Sea $r:\C(\RR)\to\C(U)$ la restricción de funciones. Muestre que existe
$\bar r:\C(\RR)_S\to\C(U)$ tal que conmuta el diagrama:
  \[\xymatrix{
    \C(\RR)\ar[r]^-r \ar[d]_-{\mathrm{can}}
      & \C(U)
      \\
    \C(\RR)_S \ar@{.>}[ur]_-{\bar r}
  }\]
Además, verifique que $\bar r$ es inyectiva.
\item\difficulty{2} Muestre que $\bar r$ es sobreyectiva.
\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $A$ un anillo, $S\subset A$ un subconjunto multiplicativamente cerrado
y sea $f:A\to A_S$ la aplicación canónica.
\begin{ejitems}
\item Muestre que si $I\subset A_S$ es un ideal, entonces $f^{-1}(I)$ es un
ideal de $A$.
\item De esta forma, se obtiene una aplicación $f^*:\Id(A_S)\to\Id(A)$ del
conjunto de ideales de $A_S$ al conjunto de ideales de $A$. Muestre que $f^*$
preserva inclusiones e intersecciones y que es inyectiva.
\item Si $J\subset A$ es un ideal, entonces $J$ está en la imagen de $f^*$ sii
$J=f^{-1}(JA_S)$ sii ningún elemento de $S$ es un divisor de cero en $A/J$.
\item Muestre que $f^*(\Spec A_S)\subset\Spec A$ de manera que, por
restricción, obtenemos una inyección $f^*:\Spec A_S\to\Spec A$. La imagen de
esta aplicación es exactamente
  \(
  \{\p\in\Spec A:\p\cap S=\emptyset\}
  \).
\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $A$ un anillo y $S\subset A$ un subconjunto multiplicativamente
cerrado.
\begin{ejitems}
\item Si $I\subset A$ es un ideal maximal entre los que no intersecan a $S$,
entonces $I$ es primo.
\item Describa el niradical de $A_S$.
\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $p\in\NN$ un número primo y $\p=(p)$ el ideal primo de $\ZZ$
correspondiente. Muestre que si $I\subset \ZZ_\p$ es un ideal no nulo, entonces
existe $r\in\NN_0$ tal que $I=p^r\ZZ_p$.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $A$ un anillo y $T\subset A$ un subconjunto. Sea $X=\{x_t:t\in T\}$ un
conjunto de variables indexadas por $T$ y sea $A[X]$ en anillo de polinomios con
variables en $X$. Sea $S\subset A$ el menor subconjunto multiplicativamente
cerrado de $A$ que contiene a $T$. Muestre que hay un isomorfismo
  \[
  A_S \cong A[X]/\gen{tx_t-1:t\in T}.
  \]

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item* Sea $A$ un anillo. Muestre que $S\subset A$ es un subconjunto
multiplicativamente cerrado maximal sii $A\setminus S$ es un ideal primo
minimal.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item* Sea $A$ un anillo y $S\subset A$ un subconjunto multiplicativamente
cerrado. Decimos que $S$ es \emph{saturado} si
  \[
  ab\in S\iff a\in S\quad\text{y}\quad b\in S.
  \]
Muestre que $S$ es saturado sii $A\setminus S$ es unión de ideales primos.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $A$ un anillo. Describa el subconjunto $S\subset A$
multiplicativamente cerrado maximal tal que $A\to A_S$ es inyectivo.

\end{ejercicios}

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\pagebreak

\foto{Chevalley}{Claude Chevalley\\1909--1984, Francia}{%
Chevalley fue uno de los primeros en considerar la contrucción de la localización
de anillos conmutativos arbitrarios, en 1944. Sus trabajos más importantes
fueron en la teoría de cuerpos de clases, la geometría algebraica y la teoría
algebraica de grupos Lie. Fue miembro del grupo Bourbaki desde su fundación, en
1934, y era---en ese momento---el miembro más joven.
}

\end{document}
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% vim: tw=80 fileencoding=latin1
