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\overfullrule5pt

\Materia{Álgebra II}
\Cuatrimestre{Primer Cuatrimestre --- 2014}
\Practica{4}
\Titulo{Anillos}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Abreviaturas
\newcommand\CC{\mathbb{C}}
\newcommand\RR{\mathbb{R}}
\newcommand\QQ{\mathbb{Q}}
\newcommand\ZZ{\mathbb{Z}}
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\newcommand\HH{\mathbb{H}}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% proclaiming things
\theoremseparator{.}
\newtheorem*{Definicion}{Definición}
\theoremindent\parindent
\newtheorem*{Teorema}{Teorema}
\newtheorem*{Proposicion}{Proposición}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}

\maketitle

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Definiciones}

\begin{ejercicios}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $A$ un conjunto y $\mathord+,\,\mathord\cdot:A\times A\to A$ dos
operaciones en $A$ que satisfacen todos los axiomas de la definicion de anillos
salvo posiblemente aquel que dice que el grupo $(A,+)$ es abeliano. Muestre que
$(A,+,\cdot)$ es un anillo.

\begin{Solucion}
Como $a+(-1)a=1a+(-1)a=(1+(-1))a=0a=0$, vemos que $(-1)a=-a$. 
Entonces, si $a, b\in A$, es
  \begin{align*}
  b+a = -(-a-b) = -\big((-1)a+(-1)b\big) = -(-1)(a+b) = a+b,
  \end{align*}
Esto implica que $(A,+)$ es un grupo abeliano.~\qed
\end{Solucion}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item\begin{ejitems}
\item Si $A$ es un anillo en el que cada elemento no nulo tiene un inverso a izquierda,
entonces $A$ es un anillo de división.

\begin{Solucion}
Supongamos que para cada $x\in A$ existe $x'\in A$ tal que $xx'=1$ y sea $a\in
A$. Por hipótesis, existe $a'\in A$ tal que $aa'=1$. Otra vez pr la hipótesis,
existe $a''\in A$ tal que $a'a''=1$. Pero entonces
  \[
  a = a1 = a(a'a'')=(aa')a'' = 1a''=a''
  \]
y vemos que $a'$ es un inverso a derecha de $a$.~\qed
\end{Solucion}

\item Sea $A$ un anillo y $a\in A$ un elemento que es inversible a izquierda y
que no divide a $0$ por la izquierda. Entonces $a$ es inversible.

\begin{Solucion}
Sea $a'$ un inverso a izquierda para $a$, de manera que $aa'=1$. Sean $m_a:x\in
A\mapsto xa\in A$ y $m_{a'}=x\in A\mapsto xa'\in A$. La hipótesis hecha sobre
$a$ implica que $m_a$ es sobreyectivo e inyectivo, así que es inversible. Por
otro lado, $m_{a'}\circ m_{a}=\id_A$, así que $m_{a'}=m_{a}^{-1}$. Luego
$a'a=m_{a}\big(m_{a'}(1)\big)=1$ y $a'$ es el inverso de $a$ también a
derecha.~\qed
\end{Solucion}

\item Sea $a\in A$. Si existe $n\in\NN$ tal que $a^n$ es inversible, entonces
$a$ es inversible.

\begin{Solucion}
Supongamos que $b$ es el inverso de $a^n$. Sea $c=ba^{n-1}$. Por hipótesis es
$ca=ba^n=1$. Por otro lado
  \[
  ac-1 
    = (aba^{n-1}-1)a^nb
    = aba^na^{n-1}b-a^nb
    = a^nb - a^n b
    = 0
  \]
así que $ac=1$.~\qed
\end{Solucion}

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $A$ un anillo posiblemente sin unidad. Muestre que si $A$ posee una
única unidad a izquierda $e$, entonces $A$ posee una unidad.

\begin{Indicacion}
Sea $a\in A$ y considere para cada $c\in A$ el elemento $(e-ae+a)c$.
\end{Indicacion}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Describa, a menos de isomorfismo, todos los anillos con a lo sumo~$10$
elementos.

% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% \item Sea $k$ un cuerpo algebraicamente cerrado. Entonces no existen
% $k$-álgebras de dimensión finita que no tengan divisores de cero.
% 
% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% \item Sea $k$ un cuerpo algebraicamente cerrado. Describa, a menos de
% isomorfismo, todas las $k$-álgebras de dimensión a lo sumo~$3$.

%\begin{Solucion}
%Supongamos que $\dim_kA=2$ y sea $\{1,x\}$ una base de $A$. Como $k$ es
%algebraicamente cerrado, existen $a,\,b\in k$ tales que $(x-a)(x-b)=0$.
%Si $a=b$, entonces ponemos $y=x-a$ y vemos que $y^2=0$; en este caso es $A\cong
%k[X]/(X^2)$. Supongamos que $a\neq b$ y pongamos
%  \[
%  e_1 = \frac{x-a}{b-a}
%  \qquad\text{y}\qquad
%  e_2 = \frac{x-b}{a-b}.
%  \]
%Es fácil ver que $\{e_1,e_2\}$ es una base de $A$ y que $e_1^2=e_1$, $e_2^2=e_2$
%y $e_1e_2=e_2e_1=0$. Luego en este caso es $A\cong k\times k$.
%
%Sea ahora $\dim_k A=3$ y supongamos primero que existe $x\in A$ tal que
%$\{1,x,x^2\}$ es una base de $A$. Considerando la escritura de $x^3$ en esta
%base, vemos que existen $a,b,c\in k$ tales que $(x-a)(x-b)(x-c)=0$.
%
%Si $a=b=c$, ponemos $y=x-a$ y claramente tenemos que $y^3=0$ y que $A\cong
%k[X]/(X^3)$.
%
%Si, en cambio, $a\neq b=c$, sea $y=(x-b)/(a-b)$. Un cálculo muestra que
%$y^3-y^2=y^2(y-1)=0$. Pongamos $e_1=y^2$, $e_2=1-y^2$ y $u=y-y^2$. Entonces
%$\{e_1, e_2, u\}$ es una base de $A$ y obtenemos un isomorfismo $\phi:A\to
%k\times k[X]/(X^2)$ poniendo $\phi(e_1)=(1,0)$, $\phi(e_2)=(0,1)$ y $\phi(u) =
%(0, X+(X^2))$.
%
%Finalmente, si $\abs{\{a,b,c\}}=3$, pongamos
%  \[
%  e_1 = \frac{(x-b)(x-c)}{(a-b)(a-c)},
%  \qquad
%  e_2 = \frac{(x-a)(x-c)}{(b-a)(b-c)},
%  \qquad\text{y}\qquad
%  e_3 = \frac{(x-a)(x-b)}{(c-a)(c-b)}.
%  \]
%Calculando, vemos que $e_i^2=e_i$ si $i\in\{1,2,3\}$. Además, es claro que
%$e_ie_j=0$ si $i,j\in\{1,2,3\}$ son distintos. Como $\{e_1,e_2,e_3\}$ es una
%base de $A$, obtenemos un isomorfismo $\phi:A\to k\times k\times k$ si definimos
%$\phi(e_1)=(1,0,0)$, $\phi(e_2)=(0,1,0)$ y $\phi(e_3)=(0,0,1)$.
%
%Tenemos que considerar ahora el caso en que cualquiera sea $x\in A$, el conjunto
%$\{1,x,x^2\}$ es linealmente dependiente.
%
%Supongamos primero que existen $x\in A$ y $a, b\in k$ tales que $a\neq b$ y
%$(x-a)(x-b)=0$. Pongamos $e_1=(x-b)/(a-b)$ y $e_2=(x-a)/(b-a)$. Calculando,
%vemos que $e_1^2=e_1$, $e_2^2=e-2$, $e_1e_2=e_2e_1=0$ y $e_1+e_2=1$. Es fácil
%ver que esto implica que
%  \[
%  A=e_1Ae_1\oplus e_1Ae_2\oplus e_2Ae_1\oplus e_2Ae_2.
%  \]
%Notemos que $e_1\in e_1Ae_1$ y $e_2\in e_2Ae_2$ y que $e_1Ae_1$ y $e_2Ae_2$ son
%subalgebras \emph{con diferente unidad}. 
%
%Si $\dim e_1Ae_1=2$, un isomorfismo de álgebras $A\cong e_1Ae_1\times e_2Ae_2$.
%y por lo hecho antes debe ser $A$ isomorfa a $k[X]/(X^2)\times k$ o a $k\times
%k\times k$. Supongamos entonces que $\dim e_1Ae_1=\dim e_2Ae_2=1$. Sin perdida
%de generalidad, podemos suponer que existe $\alpha\in e_2Ae_1\setminus0$ tal que
%$\{e_1,e_2,\alpha\}$ es una base de $A$. Notemos que $e_2\alpha=\alpha
%e_1=\alpha$ y que $\alpha^2=0$. Hay un isomorfismo $\phi:A\to
%\left(\begin{smallmatrix}k&0\\k&k\end{smallmatrix}\right)$ tal que
%  \[
%  \phi(e_1)=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix},
%  \qquad
%  \phi(e_2)=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix},
%  \qquad\text{y}\qquad
%  \phi(\alpha)=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}.
%  \]
%Para terminar, suponamos ahora que cualquiera sea $x\in A$, existe $a\in k$ tal
%que $(x-a)^2=0$.
%\end{Solucion}

\end{ejercicios}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Ejemplos}

\begin{ejercicios}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item\header{Anillo opuesto}
\begin{ejitems}
\item Sea $A$ un anillo. Sea $\ast:A\times A\to A$ la
operación definida por
  \[
  a\ast b = ba,\qquad\forall a, b\in A.
  \]
Mostrar que $(A,+,\ast)$ es un anillo. Se trata del \emph{anillo opuesto de
$A$}, que escribimos habitualmente $A^\op$.

\item Muestre con un ejemplo que en general $A\not\cong A^\op$.
\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item\header{Anillos de matrices}
\begin{ejitems}
\item Sea $A$ un anillo y sea $n\in\NN$. El conjunto de matrices
$M_n(A)$ con coeficientes en $A$ es un anillo con respecto a las operaciones
usuales de suma y producto de matrices. Si $n>1$, entonces $M_n(A)$ no es
conmutativo.

\item Sea otra vez $A$ un anillo y sea $M_\infty(A)=\{f:\NN\times\NN\to A\}$.
Decimos que un elemento $f\in M_\infty(A)$ tiene \emph{filas finitas} si para
cada $n\in\NN$, existe $k\in\NN$ tal que $f(n,m)=0$ si $m>k$; de manera similar,
decimos que $f\in M_\infty(A)$ tiene \emph{columnas finitas} si para cada
$m\in\NN$, existe $k\in\NN$ tal que $f(n,m)=0$ si $n>k$.

Sean $M_\infty^f(A)$ y $M_\infty^c(A)$ los subconjuntos de $M_\infty(A)$ de las
matrices con filas finitas y con columnas finitas, respectivamente, y sea
$M_\infty^{fc}(A)=M_\infty^f(A)\cap M_\infty^c(A)$. Mostrar que con el producto
``usual'' de matrices, $M_\infty^f(A)$, $M_\infty^c(A)$ y  $M_\infty^{fc}(A)$
son anillos.

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item\header{Anillos de funciones}
\begin{ejitems}

\item Sea $A$ un anillo y $X$ un conjunto no vacío. Sea $A^X$ el conjunto de
todas las funciones $X\to A$. Definimos operaciones $\mathord{+},
\mathord{\cdot}:A\times A\to A$ poniendo
  \begin{gather*}
  (f + g)(x) = f(x) + g(x), \qquad\forall x\in X \\
\intertext{y}
  (f\cdot g)(x) = f(x)g(x), \qquad\forall x\in X
  \end{gather*}
para cada $f, g\in A^X$. Mostrar que $(A^X,\mathord{+},\mathord{\cdot})$ es un
anillo. ¿Cuándo es conmutativo?

\item Sea $n\in\NN$, $k\in\NN_0$ y sea $C^k(\RR^n)\subset\RR^{(\RR^n)}$ el conjunto
de todas las funciones $f:\RR^n\to\RR$ continuas y derivables $k$~veces. Muestre
que se trata de un subanillo.

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item\header{Anillos de polinomios}
Sea $A$ un anillo y sea 
  \[
  S=\{f:\NN_0\to A:
    \text{existe $X\subset\NN_0$ finito tal que 
          $f|_{\NN_0\setminus X}\equiv0$}\}.
  \]
Definimos operaciones $\mathord{+}, \mathord{\cdot}:S\times
S\to S$ poniendo, para cada $f, g\in S$ y cada $n\in\NN_0$, 
  \[
  (f+g)(n) = f(n) + g(n)
  \]
y 
  \[
  (f\cdot g)(n) = \sum_{\substack{k,l\geq0\\k+l=n}}f(k)g(l).
  \]
Muestre que estas operaciones están bien definidas y que 
$(S,\mathord{+},\mathord{\cdot})$ es un anillo. 

Sea $X$ es una variable. Si $f\in S$ y $X\subset\NN_0$ es finito y tal que
$f|_{\NN_0\setminus X}\equiv0$, podemos representar a $f$ por la suma finita
formal
  \[
  f = \sum_{n\in X}f(n)X^n.
  \]
Es fácil ver que usando esta notación las operaciones de $S$ se corresponden
con las operaciones usuales de polinomios. Por eso, llamamos a $S$ el
\emph{anillo de polinomios con coeficientes en $A$} y lo notamos $A[X]$.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item\header{Anillos de series formales}
\begin{ejitems}
\item Sea $A$ un anillo y sea $S=\{f:\NN_0\to A\}$ el conjunto de todas las
funciones de $\NN_0$ a $A$. Definimos operaciones $\mathord{+},
\mathord{\cdot}:S\times S\to S$ poniendo, para cada $f, g\in S$ y cada
$n\in\NN_0$, 
  \[
  (f+g)(n) = f(n) + g(n)
  \]
y 
  \[
  (f\cdot g)(n) = \sum_{\substack{k,l\geq0\\k+l=n}}f(k)g(l).
  \]
Muestre que $(S,\mathord{+},\mathord{\cdot})$ es un anillo. 

Sea $X$ una variable. Podemos representar escribimos a una función $f\in S$ por
una serie formal
  \[
  f = \sum_{n\in\NN0}f(n)X^n.
  \]
Usando esta notación, las definiciones de la suma y el producto de $S$ imitan
formalmente a las correspondientes operaciones con las series. Esto hace que
llamemos a $S$ el \emph{anillo de series formales de potencias con coeficientes
en $A$}. La notación usual para este anillo es $A\S X$. 

\item Tomamos ahora $A=\RR$ y sea $\RR\{\!\!\{X\}\!\!\}\subset\RR\S X$ el subconjunto de
las series formales que tienen radio de convergencia positivo. Mostrar que se
trata de un subanillo.

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item\header{Series de Dirichlet}
Sea $A$ un anillo y sea $S=\{f:\NN\to A\}$ el conjunto de todas las funciones de
$\NN$ a $A$. Definimos operaciones $\mathord{+}, \mathord{\cdot}:S\times
S\to S$ poniendo, para cada $f, g\in S$ y cada $n\in\NN$, 
  \[
  (f+g)(n) = f(n) + g(n)
  \]
y 
  \[
  (f\cdot g)(n) = \sum_{\substack{d\in\NN\\d\mid n}}f(d)g(n/d).
  \]
Muestre que $(S,\mathord{+},\mathord{\cdot})$ es un anillo. 

Si $s$ es una variable, a un elemento $f\in S$ podemos asignarle la expresion
formal
  \[
  f = \sum_{n\in\NN} \frac{f(n)}{n^s}.
  \]
Las operaciones de $S$ se corresponden entonces con las operaciones evidentes de
estas series. 

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item\header{Anillo de grupo}
\begin{ejitems}

\item Sea $G$ un grupo, sea $A$ un anillo y sea $A[G]$ el conjunto de todas las
funciones de $f:G\to A$ tales que 
  \[
  \abs{\{g\in G:f(g)\neq0\}}<\infty.
  \]
Definimos operaciones $\mathord{+},\,\mathord{\cdot}:A[G]\times A[G]\to A[G]$
poniendo, para cada $s,t\in A[G]$ y cada $g\in G$,
  \[
  (s+t)(g)=s(g)+t(g)
  \]
y
  \[
  (s\cdot t)(g)=\sum_{h\in G}s(gh^{-1})t(h).
  \]
Muestre que $(A[G],\,\mathord{+},\,\mathord{\cdot})$ es un anillo.

\item Supongamos desde ahora que $A=k$ es un cuerpo. Mostrar que $k[G]$ es un
subespacio vectorial del espacio vectorial $k^G$ de todas las funciones $G\to
k$.

\item Si $g\in G$, sea $\hat g:G\to k$ la función tal que
  \[
  \hat g(h) = \begin{cases}
                1, & \text{si $g = h$;} \\
                0, & \text{en caso contrario.}
              \end{cases}
  \]
Mostrar que $\{\hat g:g\in G\}$ es una base de $k[G]$. En particular, mostrar
que todo elemento $f\in k[G]$ puede escribirse en la forma
  \[
  f=\sum_{g\in G} \alpha_g\,\hat g
  \]
con coeficientes $\alpha_g\in k$ casi todos nulos.

\item Mostrar que si $g, h\in G$, entonces $\hat g\cdot \hat h=\widehat{gh}$.
  
\item Describa el centro de $k[G]$ cuando $G$ es finito. ¿Qué pasa cuando $G$ es
infinito?

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $X$ un conjunto. Mostrar que
$(\mathcal{P}(X),\,\mathord{\triangle},\,\mathord{\cap})$ es un anillo.
Aquí $\mathord{\triangle}$ es la operación de diferencia simétrica.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item\header{Idempotentes}
Sea $A$ un anillo. Un elemento $e\in A$ es \emph{idempotente} si $e^2=e$.
\begin{ejitems}
\item Si $e\in A$ es idempotente, el subconjunto $eAe$, con las operaciones de
$A$ restringidas, es un anillo. Se trata de un subanillo exactamente cuando
$e=1$.
\item Si $e\in A$ es idempotente, entonces $1-e$ también lo es.
\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item\header{Anillos booleanos}
Un anillo $A$ es \emph{booleano} si todos sus elementos son idempotentes.
\begin{ejitems}
\item Si $X$ es un conjunto, entonces el anillo $(\mathcal P(X),\triangle,\cap)$
es booleano.
\item Un anillo booleano es conmutativo.
\end{ejitems}


\end{ejercicios}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Morfismos, ideales y cocientes}

\begin{ejercicios}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $A$ un anillo.
\begin{ejitems}
\item Muestre que hay exactamente un morfismo de anillos $\ZZ\to A$.
\item Muestre que hay a lo sumo un morfismo de anillos $\QQ\to A$ y que puede no
haber ninguno. Describa cuándo se da cada uno de estos dos casos.
\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $A$ un anillo.
\begin{ejitems}
\item Si $\mathcal I$ es una familia de ideales a izquierda (a derecha,
biláteros) de $A$, muestre que $\bigcap{I\in\mathcal I}I$ es un ideal a
izquierda (a derecha, bilatéro) de $A$. Se trata del ideal más grande contenido
en cada elemento de $\mathcal I$.

\item Si $\mathcal I$ es una familia de ideales a izquierda (a derecha,
biláteros) de $A$, entonces $\sum_{I\in\mathcal I}I$ es un ideal a izquierda (a
derecha, bilátero) de $A$. Se trata del ideal más chico que contiene a todos los
elementos de $\mathcal I$.
\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $A$ un anillo e $I\subset A$ un ideal a izquierda. Muestre que existe
un subanillo $\II(I)\subset A$ tal que
\begin{itemize}[noitemsep,label=\textbullet]
  \item $I\subset\II(I)$ e $I$ es un ideal bilátero de $\II(I)$;
  \item $\II(I)$ es el mayor subanillo de $A$ con esa propiedad.
\end{itemize}
Llamamos a $\II(I)$ el \emph{idealizador de $I$ en $A$}.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item\begin{ejitems}
\item Sea $A$ un anillo conmutativo e $I\subset A$ un ideal. Sea
  \[
  \sqrt I=\{a\in A:\text{existe $r\in\NN$ tal que $a^r\in I$}\}.
  \]
Muestre que $\sqrt I$ es un ideal de $A$.

\item Sea $A$ un anillo conmutativo e $I,\,J\subset A$ ideales. Sea
  \[
  (I:J) = \{a\in A:aJ\subset I\}
  \]
Muestre que $(I:J)$ es un ideal de $A$.

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $A$ un anillo conmutativo
\begin{ejitems}
\item Sea $a\in A$ un elemento que no es inversible. Mostrar que existe un ideal
maximal $\mathfrak m\subset A$ tal que $a\in\mathfrak m$.
\item Sea $I\subset A$ un ideal propio. Mostrar que existe un ideal maximal
$\mathfrak m\subset A$ tal que $I\subset\mathfrak m$.
\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Muestre que un anillo conmutativo simple es un cuerpo.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $A$ un anillo y $I\subset A$ un ideal bilátero. Sea $J=(I)$ el ideal
generado por $I$ en $A[X]$. Muestre que $A[X]/J\cong (A/I)[X]$.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $A$ un anillo y $I\subset A$ un ideal bilátero. Sea $n\in\NN$ y sea
$M_n(I)\subset M_n(A)$ el subconjunto de las matrices de $M_n(A)$ que tienen
todos sus coeficientes en $I$. Mostrar que $M_n(I)$ es un ideal bilátero de
$M_n(A)$ y que $M_n(A)/M_n(I)\cong M_n(A/I)$.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Calcule las unidades y los divisores de cero de los siguientes anillos
\begin{ejitems}
 \item $\RR[X]/\gen{X^2-1}$
 \item $\RR[X,Y]/\gen{XY}$
 \item $\ZZ[X]/\gen{X^3}$
\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\item Sea $k$ un cuerpo. 
\begin{ejitems}
\item Encuentre todos los ideales a izquierda de $M_n(k)$.

\item Muestre que $M_n(k)$ es simple.

\item Sea ahora $A$ un anillo y $n\in\NN$. Si $J\subset M_n(A)$ es un ideal
bilátero, entonces existe un ideal bilátero $I\subset A$ tal que $J=M_n(I)$.

\begin{Indicacion}
\def\n{\mathbf{n}}
Sea $\n=\{1,\dots, n\}$. Sea $J\subset M_n(A)$ un ideal bilátero y, para
cada $(i,j)\in\n\times\n$, sea $I_{i,j}\subset A$ el conjunto de todos los
elementos de $A$ que aparecen en la coordenada $(i,j)$-ésima de algún elemento
de $J$. Muestre que $I_{i,j}$ es un ideal bilátero en $A$ y que de hecho
$I_{i,j}=I_{1,1}$ para todo $(i,j)\in\n\times\n$.
Llamemos $I=I_{1,1}$. Muestre que $J=M_n(I)$.
\end{Indicacion}

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $G$ un grupo y sea $H\subset G$ un subgrupo normal y sea $k$ un
cuerpo. Consideremos la proyección canónica $\pi:G\to G/H$. Muestre que $\pi$
determina un morfismo sobreyectivo de anillos $k[\pi]:k[G]\to k[G/H]$. Describa
el núcleo de $k[\pi]$.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $k$ un cuerpo y considere el carcaj $Q$ de $n$ vértices de la figura:
  \[\xymatrix{
  1 \ar[r]
    & 2 \ar[r]
    & \quad\cdots\quad \ar[r]
    & n-1 \ar[r]
    & n 
  }\]
Sea $T_n\subset M_n(k)$ el subanillo de las matrices triangulares superiores.
Muestre que $kQ\cong T_n$.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $f:\RR\to\RR$ un homomorfismo de anillos.
\begin{ejitems}
\item Muestre que $f(\QQ)\subset\QQ$ y que, de hecho, $f|_\QQ=\id_\QQ$.
\item La aplicación $f$ es estrictamente creciente.
\item Más aún, $f$ es continua. Concluya que $f=\id_\RR$.
\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item En cada uno de los siguientes casos, decidir si existe un homomorfismo de
anillos $f:A\to B$:
\begin{ejitems}
\item $A=\ZZ[i]$ y $B=\RR$;
\item $A=\ZZ[\sqrt{-5}]$ y $B=\ZZ[\sqrt3]$;
\item $A=k$, un cuerpo, y $B=M_n(k)$;
\item $A=M_n(k)$ con $k$ un cuerpo y $B=k$.
\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $n\in\NN$ compuesto. ¿Existe algún producto
$\mathord{\cdot}:\ZZ_n\times\ZZ_n\to\ZZ_n$ que haga del grupo abeliano $\ZZ_n$
un cuerpo?

\end{ejercicios}

\begin{Definicion}
Sea $A$ un anillo conmutativo. Decimos que un ideal $\p\subset A$ es primo
si
  \[
  ab\in\p \implies a\in p\vee b\in p.
  \]
Escribimos $\Spec A$ al conjunto de todos los ideales primos de $A$.
\end{Definicion}

\begin{ejercicios}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item\begin{ejitems}
\item Un ideal $\p\subset A$ es primo sii $A/\p$ es un dominio de integridad.
\item Un ideal maximal de $A$ es primo.
\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Determine $\Spec\ZZ$. ¿Cuáles ideales primos de $\ZZ$ son maximales?

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $k$ un cuerpo. Muestre que si $\p\in\Spec k[X]$, entonces existe
$f\in\p$ mónico e irreducible tal que $\p=(f)$. Recíprocamente, todo ideal
principal generado por un polinómio mónico e irreducible es primo en $k[X]$.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $A$ un anillo conmutativo.
\begin{ejitems}
\item Si $\p\in\Spec A$ y $B\subset A$ es un subanillo,
entonces $B\cap\p\in\Spec B$.

\item Si $I\subset A$ es un ideal, $f:A\to A/I$ es la proyección canónica y 
$\p\in\Spec A/I$, entonces $f^{-1}(\p)\in\Spec A$.

\item Sea $I\subset A$ un ideal y $\p\in\Spec A$ es tal que
$\p\supset I$. Entonces $\p/I\in\Spec A/I$.
\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Muestre que si $\p\in\Spec\ZZ[X]$ entonces existe un número primo
$p\in\NN$ tal que o bien $\p=(p)$ o bien existe un polinomio $f\in\ZZ[X]$ mónico
e irreducible sobre $\ZZ$ tal que $\p=(p,f)$.

\begin{Indicacion}
Sea $\p\in\Spec\ZZ[X]$. Muestre que $\p\cap\ZZ$ es un ideal principal de $\ZZ$
generado por un número primo $p$, así que en particular $(p)\subset\p$.
Considere ahora el ideal $\p/(p)$ de $\ZZ[X]/(p)\cong\ZZ_p[X]$ y use un
ejercicio anterior que describe los ideales primos de este anillo.
\end{Indicacion}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item\header{Nilradical} Sea $A$ un anillo conmutativo. Un elemento $a\in A$ es
\emph{nilpotente} si existe $n\in\NN$ tal que $a^n=0$. El \emph{nilradical de
$A$} es el conjunto $\nil(A)=\{a\in A:\text{$a$ es nilpotente}\}$.
\begin{ejitems}
\item $\nil(A)$ es un ideal de $A$.
\item $\nil(A/\nil(A))=0$.
\item\difficulty{2} $\nil(A)=\bigcap_{\p\in\Spec A}\p$.
\item Muestre que si $x\in\nil(A)$, entonces $1+x$ es inversible.
\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item\header{Radical de Jacobson} Sea $A$ un anillo conmutativo. El
\emph{radical de Jacobson de $A$} es la intersección $J(A)$ de todos los ideales
maximales de $A$.

Muestre que $x\in J(A)$ sii para cada $y\in A$ se tiene que $1-xy\in A^\times$.

\end{ejercicios}
\section{Más ejemplos}
\begin{ejercicios}
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item\header{Álgebra de cuaterniones} Sea $k$ un cuerpo y sea $\HH=k^4$. Sean
$1$, $i$, $j$ y $k$ los vectores de la base canónica de $\HH$. Mostrar que
existe exactamente un producto asociativo $k$-bilineal
$\mathord{\cdot}:\HH\times\HH\to\HH$ tal que $1$ es el elemento unidad y
  \begin{gather*}
  i^2=j^2=k^2=1, \\
  ij = -ji = k, \qquad
  jk = -kj = i, \qquad
  ki = -ik = j. 
  \end{gather*}
Si queremos poner en evidencia el cuerpo $k$, escribimos $\HH(k)$.
\begin{ejitems}

\item Muestre que con este producto $\HH$ es una $k$-álgebra.

\item Muestre que $\HH(k)$ es conmutativa sii $k$ tiene característica $2$.

\item Determine el centro de $\HH$.

\item Si $u=\alpha1+\beta i+\gamma j+\delta k$, sea $\bar u=\alpha1-\beta
i-\gamma j-\delta k$. Muestre que esto define un anti-automorfismo de
$k$-álgebras $\iota:u\in\HH\mapsto\bar u\in\HH$; esto es, muestre que $\iota$
es un isomorfismo de $k$-espacios vectoriales tal que
  \[
  \overline{uv}=\overline{v}\,\overline{u}.
  \]

\item Muestre que existe una función $N:\HH\to k$ tal que
  \[
  u\,\bar u=N(u)1, \qquad\forall u\in\HH.
  \]
Además, si $u, v\in\HH$, entonces $N(uv)=N(u)N(v)$.

\item Muestre que si $u\in\HH$ es tal que $N(u)\neq0$, entonces $u$ es
inversible en $\HH$.

\item Muestre que $\HH(\RR)$ es un álgebra de división pero que $\HH(\CC)$ no lo
es.

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item\header{Algebras de caminos}
\begin{ejitems}
\item Un \emph{carcaj} $Q$ es una $4$-upla $(Q_0,Q_1,s,t)$ en la que:
\begin{itemize}[noitemsep,label=---]
\item $Q_0$ y $Q_1$ son conjuntos. Los elementos de $Q_0$ son los 
\emph{vértices} de $Q$ y los de $Q_1$ las \emph{flechas}.
\item $s$ y $t$ son funciones $Q_1\to Q_0$. Si $\alpha\in Q_1$ es una flecha,
decimos que $s(\alpha)$ es el \emph{origen} de $\alpha$ y que $t(\alpha)$ es su
final.
\end{itemize}
Por ejemplo, obtenemos un carcaj si ponemos $Q=(Q_0,Q_1,s,t)$ con 
$Q_0=\{1,2,3,4\}$, $Q_1=\{\alpha,\beta,\gamma,\delta,\eta,\rho\}$ y $s$ y $t$
están dados por la tabla siguiente:
  \[  
  \setlength{\extrarowheight}{5pt}
  \begin{tabular}{@{\extracolsep{2em}}*{7}{>{\math}c<{\endmath}}}
  {} & \alpha & \beta & \gamma & \delta & \eta & \rho \\ \hline
  s & 1 &2 &2 &2 &3 &3 \\
  t & 2 &3 &3 &4 &3 &1 \\
  \end{tabular}
  \]
Podemos describir este carcaj más eficientemente dando el siguiente dibujo:
  \[\xymatrix{
  1 \ar[r]^\alpha 
    & 2 \ar@<-0.5ex>[r]_-\gamma \ar@<0.5ex>[r]^-\beta \ar[d]_-{\delta}
    & 3 \ar@(dr,ur)_\eta[] \ar@(u,u)_-\rho[ll]
    \\
  {}
    & 4
  }\]

Fijemos un carcaj $Q$. Si $x,y\in Q_0$, un \emph{camino de $x$ a $y$ en $Q$} es
una secuencia finita $\gamma=(x;\alpha_1,\dots,\alpha_n;y)$ de flechas de $Q$ tal
que $s(\alpha_1)=x$, $t(\alpha_n)=y$ y para cada $i\in\{1,\dots,n-1\}$ se tiene
que $t(\alpha_i)=s(\alpha_{i+1})$. El número $n$ es la \emph{longitud} de $\gamma$. En
particular, si $x\in Q_0$, hay un camino $(x;\,;x)$ de $x$ a $x$ de longitud $0$.

Sea $P(Q)$ el conjunto de todos los caminos de $Q$, sea $k$ un cuerpo y sea $kQ$
el espacio vectorial que tiene a $P(Q)$ como base. Un elemento $u\in kQ$ es una
combinación lineal finita de caminos de $Q$ con coeficientes en $k$:
  \[
  u = \sum_{\gamma\in P(Q)}a_\gamma \gamma.
  \]

Muestre que hay exactamente una forma de definir un producto asociativo 
$\mathord{\cdot}:kQ\times kQ\to kQ$ de manera que para cada par de caminos 
$\gamma=(x;\alpha_1,\dots,\alpha_n;y)$ y $\eta=(z;\beta_1,\dots,\beta_m;w)$ en
$Q$, es 
  \[
  \gamma\cdot\eta =
    \begin{cases}
    (x;\alpha_1,\dots,\alpha_n,\beta_1,\dots,\beta_m;w),
      & \text{si $y = z$;} \\
    0, & \text{en caso contrario.}
    \end{cases}
  \]
Mostrar que, con este producto, $kQ$ es una $k$-álgebra. ¿Cuál es la unidad de
esta álgebra? Llamamos a $kQ$ la \emph{$k$-álgebra de caminos de $Q$}.

\item Si $Q$ tiene un solo vértice y ninguna flecha, entonces $kQ=k$

\item Si $Q$ tiene un solo vertice y una única flecha, entonces $kQ$ es isomorfo
a $k[X]$, el anillo de polinomios en una variable con coeficientes en $k$.
  \[
  Q : \qquad \xymatrix{
    \bullet \ar@(dr,ur)[]
  }\]

\item\header{$k$-álgebras libres}
Sea $X$ un conjunto y sea $Q$ el carcaj $(Q_0,Q_1,s,t)$ en el que $Q_0$
tiene un único elemento $p$, $Q_1=X$ y $s,\,t:Q_1\to Q_0$ son las funciones
evidentes. Escribimos $L(X)$ en vez de $kQ$. Describa una base de $L(X)$ y su
multiplicación

\item ¿Cuándo es $kQ$ un dominio de integridad? ¿Cuándo tiene dimensión finita?
¿Cuándo es conmutativa?

\item Describa el centro de $kQ$.

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item\begin{ejitems}
\item Sea $A$ un anillo y $\mathcal C$ una familia de subanillos de $A$.
Muestre que $B=\bigcap_{C\in\mathcal C}C$ es un subanillo de $A$.

\item Sea $A$ un anillo, $B\subset A$ un subanillo y $X\subset A$. Mostrar que
existe un subanillo $B[X]$ de $A$ que contiene a $X$ y a $B$ y tal que todo otro
subanillo de $A$ con esta propiedad contiene a $B[X]$.

\item Tomemos $A=\CC$, $B=\ZZ$. Describa explícitamente $B[\sqrt2]$,
$B[\sqrt[3]5]$ y
$B[\omega]$ si~$\omega$ es una raíz primitiva $p$-ésima de la unidad y $p$ un
número primo. Describa $B[i]$ y $B[\eta]$ si $\eta$ es una raíz primitiva sexta
de la unidad.
\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item\header{El álgebra de Weyl}
Sea $\End_\CC(\CC[X])$ el anillo de endomorfismos de $\CC[X]$ considerado como
$\CC$-espacio vectorial. Sean $p, q\in\End_\CC(\CC[X])$ definidos de la
siguiente manera: si $f\in\CC[X]$, entonces
  \[
  p(f) = \frac{\mathrm df}{\mathrm dX},
  \qquad\text{y}\qquad
  q(f) = X f
  \]
y sea $A=\CC[p,q]$ el menor subanillo de $\End_\CC(\CC[X])$ que contiene a
$\CC$, a $p$ y a~$q$. Llamamos a $A$ el \emph{álgebra de Weyl}.

\begin{ejitems}
\item $A$ es una $\CC$-álgebra de dimensión infinita. 

\item En $A$ es $pq-qp=1$.

\item El conjunto $\{p^iq^j:i,j\in\NN_0\}$ es una base de $A$ como $\CC$-espacio
vectorial.

\item Describa el centro de $A$.

\item Muestre que $A$ no posee divisores de cero.

\item Describa el conjunto de unidades de $A$.

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item\header{El álgebra de funciones en el plano cuántico}
Sea $q\in\CC\setminus0$ y supongamos que $q$ no es una raíz de la unidad. 
Sea $V=\{f:\NN_0\to\CC\}$ el $\CC$-espacio vectorial de
todas las funciones de $\NN_0$ en $\CC$. Consideramos dos elementos
$x,\,y\in\End_\CC(V)$ definidos de la siguiente manera: si $f\in V$ y
$n\in\NN_0$, entonces $x(f), y(f):\NN_0\to\CC$ son tales que
  \[
  \big(x(f)\big)(n) = q^n\,f(n)
  \]
y
  \[
  \big(y(f)\big)(n) = f(n+1).
  \]
Sea $A_q=\CC[x,y]$ la menor subálgebra de $\End_CC(V)$ que contiene a $\CC$, a
$x$ y a $y$. Llamamos a $A_q$ el \emph{álgebra de funciones en el plano
cuántico}.

\begin{ejitems}
\item En $A_q$ vale que $yx=qxy$.
\item El conjunto $\{x^iy^j:i,\,j\in\NN_0\}$ es una base de $A_q$.
\item Se tiene que $\Z(A_q)=\CC$. 
\item Muestre que no hay en $A_q$ divisores de cero.
\item Describa el conjunto de unidades de $A_q$.
\item* Para cada $n\in\NN$ definimos
  \[
  (n)_q=\frac{q^n-1}{q-1}.
  \]
Ponemos, además, $(0)_q!=1$ y si $n\in\NN$, 
  \[
  (n)_q!=(1)_q(2)_q\cdots (n)_q.
  \]
Finalmente, si $n\in\NN_0$ y $0\leq k\leq n$, ponemos
  \[
  \binom nk_q = \frac{(n)_q!}{(k)_q!(n-k)_q!}.
  \]
Muestre que:
  \begin{enumerate}[label=\emph{(\roman*)}]
  \item Si $0\leq k\leq n$, es 
    \[
    \binom nk_q=\binom n{n-k}_q.
    \]
  \item Si $0\leq k\leq n$, entonces
    \[
    \binom nk_q 
      = \binom{n-1}{k-1}_q + q^k\binom{n-1}k_q
      = \binom{n-1}k_q + q^{n-k}\binom{n-1}{k-1}_q.
    \]
  \item Si $0\leq k\leq n$, $\displaystyle\binom nk_q$ es un polinomio en $q$ con
  coeficientes enteros.
  \item Sean $x,\,y\in A_q$ los generadores del álgebra de funciones del plano
  cuántico. Si $n>0$, entonces
    \[
    (x+y)^n = \sum_{0\leq k\leq n}\binom nk_q x^ky^{n-k}.
    \]
  \end{enumerate}

\item* ¿Qué pasa si $q$ es una raíz primitiva de la unidad de orden~$e$?
\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item*\header{Álgebras de division reales}
El objetivo de este ejercicio es probar el siguiente teorema de Ferdinand Georg
Frobenius (1849--1917, Prusia):

\begin{Teorema}
Sea $D$ una $\RR$-álgebra de división tal que $\dim_\RR D<\infty$. Entonces $D$
es isomorfa a $\RR$, a $\CC$ o a $\HH$.
\end{Teorema}

\noindent La conclusión del teorema vale más generalmente (y con exactamente la
misma demostración) para una $\RR$-álgebra de división arbitraria si suponemos
que es \emph{algebraica} sobre $\RR$: esto es, si para todo elemento $d\in D$
existe $p\in\RR[X]$ tal que $p(d)=0$.

\begin{ejitems}
\item Si $\dim_\RR D=1$ no hay nada que hacer, así que suponga que $\dim_\RR
D>1$. Sea $a\in D\setminus\RR$. Muestre que $\RR[a]\subset D$ es un cuerpo y que
debe ser isomorfo a $\CC$. En particular, concluya que existe $i\in
D\setminus\RR$ tal que $i^2=-1$. Identifiquemos a $\CC$ con $\RR[i]$.

\item Definamos subespacios
  \[
  D^+=\{d\in D:di=id\}
  \]
y
  \[
  D^-=\{d\in D:di=-id\}
  \]
de $D$. Muestre que $D=D^+\oplus D^-$.

\item Claramente $\CC\subset D^+$. Si $d\in D^+\setminus\CC$, muestre que
$\CC[d]$ es un cuerpo que contiene a $\CC$. Concluya que $D^+=\CC$.

\item Si $D^-=0$, entonces $D=\CC$. Supongamos desde ahora que $D^-\neq0$.
Sea $z\in D^-$ y considere la aplicación $s:d\in D^-\mapsto dx\in D^+$. Muestre
que es $\CC$-lineal e inyectiva, así que debe ser $\dim_\CC D^-=1$. Concluya que
$\dim_\RR D=4$.

\item Muestre que existe $j\in D^-$ tal que $j^2=-1$. Concluya que $D\cong\HH$.
\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item*\header{Álgebras de division finitas}
El objetivo de este ejercicio es mostrar el siguiente teorema de Joseph Henry
Maclagen Wedderburn (1882--1948, Escocia):

\begin{Teorema}
Un anillo de división finito es un cuerpo.
\end{Teorema}

\begin{ejitems}
\item Sea $\mu:\NN\to\ZZ$ la función de Möbius, de manera que si
$n=p_1^{r_1}\cdots p_k^{r_k}$ es la descomposición de $n$ como producto de
potencias de primos distintos,
  \[
  \mu(n) = \left\{
           \begin{array}{cl}
             1,         & \text{si $n=1$;} \\
             (-1)^k,    & \text{si $p_1=\cdots=p_k=1$;} \\
             0,         & \text{si $r_i>1$ para algún $i$.}
           \end{array}
           \right.
  \]
Muestre que si $n,m\in\NN$ son coprimos, entonces $\mu(nm)=\mu(n)\mu(m)$.

\item Sea $M:n\in\NN\mapsto\sum_{d\mid n}\mu(d)\in\ZZ$.
Muestre que si $n,m\in\NN$ son coprimos, entonces $M(nm)=M(n)M(m)$.
Muestre además que $M(1)=1$ y que si $p$ es primo y $r\in\NN$, entonces
$M(p^r)=0$.

Concluya que vale la siguiente \emph{identidad de Möbius}:
  \[
  \sum_{d\mid n}\mu(d) = 
    \begin{cases}
      1, & \text{si $n=1$;} \\
      0, & \text{en caso contrario.}
    \end{cases}
  \]
                        
\item Sea $n\in\NN$. Sea $\Omega_n=\{w\in\CC:w^n=1\}$ el conjunto de las raíces
$n$\nobreakdash-ésimas de la unidad y sea $\Omega_n^*\subset\Omega_n$ el
subconjunto de $\Omega_n$ formado por aquellas que son primitivas. Recordemos
que
  \(
  X^n-1=\prod_{\omega\in\Omega_n}(X-\omega)
  \).
Definimos un polinomio $\Phi_n\in\CC[X]$ poniendo
  \[
  \Phi_n=\prod_{\omega\in\Omega_n^*}(X-\omega).
  \]
Muestre que
  \(
  X^n-1=\prod_{d\mid n}\Phi_d(X)
  \)
y, usando eso, que
  \[
  \Phi_n = \prod_{d\mid n}(X^d-1)^{\mu(d)}.
  \]
Concluya que $\Phi_n\in\ZZ[X]$.

\item Muestre que si $q\in\ZZ\setminus\{1\}$ y $n,\,r\in\NN$ son tales que
$r\mid n$, entonces
  \[
  \Phi_n(q)\mathrel{\Big|}\frac{q^n-1}{q^r-1}.
  \]

\item Sea $D$ un anillo de división finito y sea $F$ su centro. Muestre que $F$
es un cuerpo y que $D$ es un $F$-espacio vectorial de dimensión finita. Sean
$q=\abs{F}$ y $n=\dim_F D$, de manera que $\abs{D}=q^n$ y
$\abs{D^\times}=q^n-1$.

\medskip

\noindent \emph{Supongamos que $D$ no es conmutativo. Debe ser entonces $n>1$.}

\medskip

\item Sea $a\in D$ y sea
  \[
  \C(a)=\{d\in D:da=ad\}.
  \]
Muestre que $\C(a)$ es un subanillo de $D$ que es de división y que contiene a
$F$. Otra vez, se trata de un $F$-espacio vectorial. Sea $r(a)=\dim_F\C(A)$; es
entonces $\abs{\C(a)}=q^{r(a)}$ y $\abs{\C(a)^\times}=q^{r(a)}-1$. Como
$\C(a)^\times$ es un subgrupo de $D^\times$, debe ser $q^{r(a)}-1\mid q^n-1$.
Concluya que $r(a)\mid n$.

\item Si $a\in D^\times$, entonces la clase $\cl(a)$ de conjugación de $a$ en
el grupo $D^\times$ tiene cardinal
  \[
  \abs{\cl(a)} = \frac{q^n-1}{q^{r(a)}-1}.
  \]

\item Sean $a_1,\dots,a_l$ representantes de las clases de conjugación no
triviales de $D^\times$. Entonces la ecuación de clases para $D^\times$ es:
  \[
  q^n-1 = q-1 + \sum_{i=1}^l\frac{q^n-1}{q^{r(a)}-1}.
  \]
y vemos que $\Phi_n(q)\mid(q-1)$. 

\item En particular,
  \[
  q-1\geq\abs{\Phi_n(q)}=\prod_{\omega\in\Omega_n^*}\abs{q-\omega}. 
  \]
Muestre que esto es imposible.
\end{ejitems}
\end{ejercicios}

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\pagebreak

\foto{Dedekind}{Julius Wilhelm Richard Dedekind\\1831---1916, Alemania}{%
Dedekind públicó en 1863 el libro \emph{Vorlesungen über Zahlentheorie}
(Lecciones sobre teoría de números) basado en notas de Dirichlet. En ediciones
posteriores (1879) Dedekind agregó suplementos a este libro en los que introdujo
por primera vez la noción de ideal, en el contexto de los anillos de enteros
algebraicos. 

\hspace*{1em} Además de su importantísimo trabajo en teoría de números, Dedekind es recordado
por su construcción del cuerpo de los números reales basada en \emph{cortes},
por sus aportes a la teoría de conjuntos\dash---en particular, es suya la definición
usual de conjuntos finitos e infinitos\dash---y por haber sido el editor de las
obras completas de Dirichlet, Gauss y Riemann, tarea que lo mantuvo ocupado
por casi toda su vida.}

\end{document}
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