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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Abreviaturas
\newcommand\CC{\mathbb{C}}
\newcommand\RR{\mathbb{R}}
\newcommand\QQ{\mathbb{Q}}
\newcommand\ZZ{\mathbb{Z}}
\newcommand\NN{\mathbb{N}}
\newcommand\FF{\mathbb{F}}
\newcommand\HH{\mathbb{H}}
\newcommand\GG{\mathbb{G}}

\newcommand\Grp{\mathrm{Grp}}
\newcommand\op{\mathrm{op}}
\newcommand\id{\mathsf{id}}
\newcommand\Z{\mathsf{Z}}
\newcommand\N{\mathsf{N}}
\newcommand\C{\mathsf{C}}
\renewcommand\O{\mathcal{O}}
\newcommand\eps{\varepsilon}
\newcommand\abs[1]{\lvert#1\rvert}
\newcommand\absx[1]{\left\lvert#1\right\rvert}
\newcommand\gen[1]{\left\langle#1\right\rangle}
\newcommand\gens[1]{\langle#1\rangle}
\newcommand\divides{\mid}
\newcommand\notdivides{\nmid}
\renewcommand\emptyset{\varnothing}
\newcommand\ot{\otimes}

\DeclareMathOperator{\GL}{GL}
\DeclareMathOperator{\AGL}{AGL}
\DeclareMathOperator{\SL}{SL}
\DeclareMathOperator{\End}{End}
\DeclareMathOperator{\Tor}{Tor}
\DeclareMathOperator{\Aut}{Aut}
\DeclareMathOperator{\Inn}{Inn}
\DeclareMathOperator{\Out}{Out}
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\DeclareMathOperator{\coker}{coker}
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\DeclareMathOperator{\cl}{cl}
\DeclareMathOperator{\Cl}{Cl}
\DeclareMathOperator{\Syl}{Syl}

\hyphenation{tales vemos induce}

\Materia{Álgebra II}
\Cuatrimestre{Primer Cuatrimestre --- 2014}
\Titulo{Recuperatorio del segundo parcial}


\begin{document}

\maketitleParcial
\thispagestyle{empty}

\begin{ejercicios}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sean $k$ un cuerpo y $V,W$ espacios vectoriales con $\dim_k(V) < \infty$.
      Encuentre un isomorfismo entre $V^*\otimes W$ y $\hom_k(V,W)$.
      Exhiba un ejemplo para mostrar que el resultado no es necesariamente
      cierto si $V$ es de dimensión infinita.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item\header{Bases duales} Sea $A$ un anillo y $P$ un $A$-módulo a izquierda.
Una \emph{base dual} para $P$ es un par $((x_i)_{i\in I}, (f_i)_{i\in I})$ tal
que $x_i\in P$ para todo $i\in I$, $f_i\in\hom_A(P,A)$ para todo $i\in I$ y se
tiene que
\begin{enumerate}[label=(\roman*)]
\item para todo $x\in P$, $\abs{\{i\in I:f_i(x)\neq0\}}<\infty$, y
\item para todo $x\in P$, es $x=\sum_{i\in I}f_i(x)x_i$.
(nótese que la suma tiene sentido por la primera condición)
\end{enumerate}
Muestre que un $A$-módulo $P$ es proyectivo sii posee una base dual.

{\small
\noindent\textbf{Nota:} Si lo desea puede suponer que $P$ es finitamente generado
y que la base dual es finita pero no es necesario.
}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\item Sea $A$ un anillo conmutativo artiniano.
\begin{ejitems}
\item Sea $I\subseteq A$ un ideal. Pruebe que $A/I$ es un anillo artiniano.
\item Pruebe que todo ideal primo de $A$ es maximal.
\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $A$ un dominio de ideales principales y sea $M$ un $A$-módulo
finitamente generado. Mostrar que
\begin{ejitems}
\item $M$ es de torsión sii $\hom_A(M,A)=0$; y
\item $M$ es indescomponible sii o bien $M\cong A$ o bien existe $p\in A$
irreducible y $n\in\NN$ tal es que $M\cong A/(p^n)$.
\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sean $A$ un anillo y $0\to M' \to M \to M'' \to 0$ una sucesión exacta
de $A$-módulos a izquierda. Consideremos $(P'_n,d')$ y $(P''_n,d'')$ resoluciones
proyectivas de $M'$ y $M''$ respectivamente. Sea $P_n=P'_n\oplus P''_n$.
Construya una sucesión de morfismos $d_n: P_n \to P_{n-1}$ de manera que $(P_n,d)$
sea una resolución proyectiva de $M$ y $0\to P' \to P \to P''\to 0$ sea una sucesión
exacta corta de complejos.

\begin{Indicacion}
 Construya inductivamente los morfismos y use el lema de la serpiente cuándo sea
 necesario.
\end{Indicacion}

\textbf{Ver el diagrama en el reverso.}

\[
 \xymatrix{
 & \vdots \ar[d]_{d'_2} & \vdots\ar@{..>}[d]_{d_2} & \vdots \ar[d]_{d''_2}& \\
 0 \ar[r] & P'_1 \ar[r] \ar[d]_{d'_1} & P_1 \ar[r] \ar@{..>}[d]_{d_1} & P''_1 \ar[r] \ar[d]_{d''_1}& 0 \\
 0 \ar[r] & P'_0 \ar[r] \ar[d]_{d'_0} & P_0 \ar[r] \ar@{..>}[d]_{d_0} & P''_0 \ar[r] \ar[d]_{d''_0}& 0 \\
 0 \ar[r] & M' \ar[r] \ar[d] & M \ar[r] \ar[d] & M''\ar[r] \ar[d] & 0 \\
          & 0         & 0        & 0 & 
 }
\]


\end{ejercicios}

\end{document}
