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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Abreviaturas
\newcommand\CC{\mathbb{C}}
\newcommand\RR{\mathbb{R}}
\newcommand\QQ{\mathbb{Q}}
\newcommand\ZZ{\mathbb{Z}}
\newcommand\NN{\mathbb{N}}
\newcommand\FF{\mathbb{F}}
\newcommand\HH{\mathbb{H}}
\newcommand\GG{\mathbb{G}}

\newcommand\Grp{\mathrm{Grp}}
\newcommand\op{\mathrm{op}}
\newcommand\id{\mathsf{id}}
\newcommand\Z{\mathsf{Z}}
\newcommand\N{\mathsf{N}}
\newcommand\C{\mathsf{C}}
\renewcommand\O{\mathcal{O}}
\newcommand\eps{\varepsilon}
\newcommand\abs[1]{\lvert#1\rvert}
\newcommand\absx[1]{\left\lvert#1\right\rvert}
\newcommand\gen[1]{\left\langle#1\right\rangle}
\newcommand\gens[1]{\langle#1\rangle}
\newcommand\divides{\mid}
\newcommand\notdivides{\nmid}
\renewcommand\emptyset{\varnothing}

\DeclareMathOperator{\GL}{GL}
\DeclareMathOperator{\AGL}{AGL}
\DeclareMathOperator{\SL}{SL}
\DeclareMathOperator{\End}{End}
\DeclareMathOperator{\Aut}{Aut}
\DeclareMathOperator{\Inn}{Inn}
\DeclareMathOperator{\Out}{Out}
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\DeclareMathOperator{\cl}{cl}
\DeclareMathOperator{\Cl}{Cl}
\DeclareMathOperator{\Syl}{Syl}

\hyphenation{tales vemos induce}

\Materia{Álgebra II}
\Cuatrimestre{Primer Cuatrimestre --- 2014}
\Titulo{Primer parcial}


\begin{document}

\maketitleParcial
\thispagestyle{empty}

\begin{ejercicios}
\item Sea $G$ un grupo de orden $12$ tal que existe $P\subset G$ un
 $3$-sylow que no es normal.
\begin{ejitems}
 \item Pruebe que la acción de $G$ en las coclases a izquierda
 de $G/P$ induce un morfismo inyectivo $G\to S_4$. 
 \item Estudie la cantidad de elementos de orden $3$ en $G$ y
       concluya que la imagen de dicho morfismo es $A_4$.
\end{ejitems}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Pruebe que hay exactamente $5$ clases de equivalencia de
grupos de $12$ elementos. Encuentre un representante de cada una.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sean $w=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$ y $A=\{a+bw\in \CC: a,b\in \ZZ\}$.
\begin{ejitems}
 \item Pruebe que $A$ es un anillo.
 \item Calcule las unidades de $A$.
 \item Pruebe que $A$ es un dominio euclideo con la norma
 $\delta:A\setminus\{0\}\to\NN$ dada por
 $\delta(a+bw)=|a+bw|^2=a^2-ab+b^2$. 
 \item Encuentre $z\in A$ tal que $\gen z = \gen{7,8+3w}$.
\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sean $A$ un anillo conmutativo y $T\subset A$ un subconjunto.
Sean $X=\{x_t:t\in T\}$ un conjunto de variables indexadas por $T$
y $A[X]$ en anillo de polinomios con variables en $X$.
Por último, sea $S\subset A$ el menor subconjunto multiplicativamente
cerrado de $A$ que contiene a $T$. Muestre que hay un isomorfismo
  \[
  A_S \cong A[X]/\gen{tx_t-1:t\in T}.
  \]

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item\header{El álgebra de funciones en el plano cuántico}
Sea $q\in\CC\setminus0$ y supongamos que $q$ no es una raíz de la unidad. 
Sea $V=\{f:\NN_0\to\CC\}$ el $\CC$-espacio vectorial de
todas las funciones de $\NN_0$ en $\CC$. Consideramos dos elementos
$x,\,y\in\End_\CC(V)$ definidos de la siguiente manera: si $f\in V$ y
$n\in\NN_0$, entonces $x(f), y(f):\NN_0\to\CC$ son tales que
  \[
  \big(x(f)\big)(n) = q^n\,f(n)
  \]
y
  \[
  \big(y(f)\big)(n) = f(n+1).
  \]
Sea $A_q=\CC[x,y]$ la menor subálgebra de $\End_CC(V)$ que contiene a $\CC$, a
$x$ y a $y$. Llamamos a $A_q$ el \emph{álgebra de funciones en el plano
cuántico}.

\begin{ejitems}
\item En $A_q$ vale que $yx=qxy$.
\item El conjunto $\{x^iy^j:i,\,j\in\NN_0\}$ es una base de $A_q$.
\item Se tiene que $\Z(A_q)=\CC$. 

\end{ejitems}
\end{ejercicios}

\end{document}
