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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Abreviaturas
\newcommand\CC{\mathbb{C}}
\newcommand\RR{\mathbb{R}}
\newcommand\QQ{\mathbb{Q}}
\newcommand\ZZ{\mathbb{Z}}
\newcommand\NN{\mathbb{N}}
\newcommand\FF{\mathbb{F}}
\newcommand\HH{\mathbb{H}}
\newcommand\GG{\mathbb{G}}

\newcommand\Grp{\mathrm{Grp}}
\newcommand\op{\mathrm{op}}
\newcommand\id{\mathsf{id}}
\newcommand\Z{\mathsf{Z}}
\newcommand\N{\mathsf{N}}
\newcommand\C{\mathsf{C}}
\renewcommand\O{\mathcal{O}}
\newcommand\eps{\varepsilon}
\newcommand\abs[1]{\lvert#1\rvert}
\newcommand\absx[1]{\left\lvert#1\right\rvert}
\newcommand\gen[1]{\left\langle#1\right\rangle}
\newcommand\gens[1]{\langle#1\rangle}
\newcommand\divides{\mid}
\newcommand\notdivides{\nmid}
\renewcommand\emptyset{\varnothing}

\DeclareMathOperator{\GL}{GL}
\DeclareMathOperator{\AGL}{AGL}
\DeclareMathOperator{\SL}{SL}
\DeclareMathOperator{\End}{End}
\DeclareMathOperator{\Aut}{Aut}
\DeclareMathOperator{\Inn}{Inn}
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\DeclareMathOperator{\Cl}{Cl}
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\hyphenation{tales vemos induce}

\Materia{Álgebra II}
\Cuatrimestre{Primer Cuatrimestre --- 2014}
\Titulo{Primer parcial}


\begin{document}

\maketitleParcial
\thispagestyle{empty}

\begin{ejercicios}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sean $n=2915=5\times 11\times 53$ y $G$ un grupo de orden $n$.
Pruebe que si $G$ tiene un elemento de orden $55$ entonces es abeliano.
\begin{Indicacion}
Recuerde que $\Aut \ZZ_p\cong \ZZ_{p-1}$ para todo primo $p\neq 2$.
\end{Indicacion}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $A$ un dominio íntegro y $S\subseteq A$ un subconjunto multiplicativamente
cerrado. Pruebe que el morfismo canónico $\iota:A\to A_S$ es un isomorfismo si y solo
si todo elemento de $A_S$ es raíz de un polinomio mónico con coeficientes en $A$.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $A=\{a+bi\in \CC: a,b\in \ZZ\}$ el anillo de enteros gaussianos.
\begin{ejitems}
 \item Pruebe que las únicas unidades de $A$ son $\pm 1$, $\pm i$.
 \item Pruebe que todo número complejo está a una distancia menor o igual a
 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ de un entero gaussiano. En particular para todo $w\in\CC$ y
 todo $z\in A\setminus\{0\}$ existe $u\in A$ tal que
 $|w-uz|\leq\frac{\sqrt{2}}{2}|z|$.
 \item Concluya que los enteros gaussianos son un dominio euclideo con la norma
 $\delta:A\setminus\{0\}\to\NN$ dada por $\delta(a+bi)=a^2+b^2$.
 \item Factorice $13\in A$ como producto de primos de $A$.
\end{ejitems}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item\begin{ejitems}

\item Mostrar que un grupo finito no trivial sin subgrupos propios es
cíclico de orden primo.

\begin{Solucion}
Sea $G$ un grupo no trivial sin subgrupos propios y sea $g\in G\setminus\{1\}$.
Entonces $\gen{g}$ es un subgrupo no trivial, así que la hipótesis implica que
$G=\gen{g}$ y vemos que $G$ es cíclico. 

Si $\abs{g}$ no es primo y existe $k>1$ tal que $k | \abs{g}$, entonces
$\gen{g^k}$ es un subgrupo propio no trival de $\gen{g}=G$. Esto contradice la
hipótesis. Luego $\abs{G}=\abs{g}$ es primo.~\qed
\end{Solucion}

\item Sea $G$ un grupo cíclico finito y $g\in G$ un generador. Sea
$n=\abs{G}$ y sea $p$ un número primo tal que $p\divides n$. Entonces
$\gen{g^p}$ es un subgrupo maximal de~$G$.

\begin{Solucion}
Supongamos por el contrario que $\gen{g^p}$ no es maximal, de manera que existe
$k\in\NN$ tal que $\gen{g^p}\subsetneq\gen{g^k,g^p}\subsetneq\gen{g}$. Si
notamos que $\gen{g^k,g^p}=\gen{g^{k-p},g^p}$ vemos que podemos suponer sin
pérdida de generalidad que $0<k<p$. Pero entonces existen $\alpha,\beta\in\ZZ$
tales que $\alpha k+\beta p=1$ y, en particular,
$g=(g^k)^\alpha(g^p)^\beta\in\gen{g^k,g^p}$, contradiciendo nuestra
hipótesis.~\qed
\end{Solucion}

\item Mostrar que un grupo finito que posee un solo subgrupo
maximal es cíclico que tiene como orden una potencia de un número primo.

\begin{Solucion}
Sea $G$ un grupo con un único subgrupo maximal $M$. Sea $g\in G\setminus M$.
Entonces $\gen{g}\not\subset M$ así que debe ser $G=\gen{g}$. Pongamos
$n=\abs{g}$.

Sea $p$ un divisor primo de $n$. Entonces el ejercicio anterior implica que
$\gen{g^p}$ es un subgrupo maximal de $G$. Vemos así que $M=\gen{g^p}$ y, en
particular, $\abs{M}=n/p$. Si $n$ posee otro divisor primo $q\neq p$, entonces
el mismo razonamiento muestra que $\abs{M})n/q$. Por supuesto, esto es absurdo.

Concluimos así que $n$ posee exactamente un divisor primo.~\qed
\end{Solucion}

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item\header{El álgebra de Weyl}
Sea $\End_\CC(\CC[X])$ el anillo de endomorfismos de $\CC[X]$ considerado como
$\CC$-espacio vectorial. Sean $p, q\in\End_\CC(\CC[X])$ definidos de la
siguiente manera: si $f\in\CC[X]$, entonces
  \[
  p(f) = \frac{\mathrm df}{\mathrm dX},
  \qquad\text{y}\qquad
  q(f) = X f
  \]
y sea $A=\CC[p,q]$ el menor subanillo de $\End_\CC(\CC[X])$ que contiene a
$\CC$, a $p$ y a~$q$. Llamamos a $A$ el \emph{álgebra de Weyl}.

\begin{ejitems}

\item En $A$ es $pq-qp=1$.

\item El conjunto $\{p^iq^j:i,j\in\NN_0\}$ es una base de $A$ como $\CC$-espacio
vectorial.

\item Describa el centro de $A$.
\end{ejitems}

% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% \item Sea $G$ un grupo finito. Supongamos que existe $f\in\Aut(G)$
% tal que $f^2=1$ y $f$ no deja fijo ningún elemento de $G$ aparte de $1$.
% Entonces cada cada $g\in G$ es $f(g)=g^{-1}$ y $G$ es abeliano de orden impar.
% 
% \begin{Indicacion}
% Muestre la aplicación $\phi:g\in G\mapsto g^{-1}f(g)\in G$ es
% biyectiva y muestre que $f(g)=g^{-1}$ escribiendo a $g$ en la forma $h^{-1}f(h)$
% para algún elemento $h$ de $G$.
% \end{Indicacion}
% 
% \begin{Solucion}
% Si $\phi(g)=\phi(h)$, es $g^{-1} f(g) = h^{-1} f(h)$ y vemos que
% $hg^{-1}=f(h)f(g^{-1})=f(hg^{-1})$. Luego $hg^{-1}$ queda fijo por $f$ y debe
% ser $h=g$. Hemos mostrado, así, que $\phi$ es inyectiva. Como $G$ es finito,
% esto implica que es también sobreyectiva.
% 
% Sea ahora $g\in G$. Como $\phi$ es sobreyectiva, existe $h\in G$ tal que
% $g=h^{-1}f(h)$. Entonces
%   \[
%   f(g)=f(h^{-1}f(h)) = f(h^{-1})h = (h^{-1}f(h))^{-1})=g^{-1}.
%   \]
% Luego $f$ coincide con la inversión de $G$. Es fácil ver, ahora, que como $f$ es
% un homomorfismo, $G$ debe ser abeliano.
% 
% Finalmente, como $f^2=1$ y $f$ deja exactamente un punto fijo, es claro que
% $\abs{G}$ debe ser impar.~\qed
% \end{Solucion}
% 
% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% \item\header{El álgebra de funciones en el plano cuántico}
% Sea $q\in\CC\setminus0$ y supongamos que $q$ no es una raíz de la unidad. 
% Sea $V=\{f:\NN_0\to\CC\}$ el $\CC$-espacio vectorial de
% todas las funciones de $\NN_0$ en $\CC$. Consideramos dos elementos
% $x,\,y\in\End_\CC(V)$ definidos de la siguiente manera: si $f\in V$ y
% $n\in\NN_0$, entonces $x(f), y(f):\NN_0\to\CC$ son tales que
%   \[
%   \big(x(f)\big)(n) = q^n\,f(n)
%   \]
% y
%   \[
%   \big(y(f)\big)(n) = f(n+1).
%   \]
% Sea $A_q=\CC[x,y]$ la menor subálgebra de $\End_CC(V)$ que contiene a $\CC$, a
% $x$ y a $y$. Llamamos a $A_q$ el \emph{álgebra de funciones en el plano
% cuántico}.
% 
% \begin{ejitems}
% \item En $A_q$ vale que $yx=qxy$.
% \item El conjunto $\{x^iy^j:i,\,j\in\NN_0\}$ es una base de $A_q$.
% \item Se tiene que $\Z(A_q)=\CC$. 
% 
% \end{ejitems}
\end{ejercicios}

\end{document}
