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\overfullrule5pt

\Materia{Taller de Cálculo Avanzado}
\Cuatrimestre{Primer Cuatrimestre --- 2013}
\Practica{5}
\Titulo{Integrales}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Abreviaturas
\newcommand\CC{\mathbb{C}}
\newcommand\RR{\mathbb{R}}
\newcommand\QQ{\mathbb{Q}}
\newcommand\ZZ{\mathbb{Z}}
\newcommand\NN{\mathbb{N}}

\newcommand\eps{\varepsilon}
\DeclarePairedDelimiter\floor{\lfloor}{\rfloor}
\DeclarePairedDelimiter\abs{\lvert}{\rvert}
\DeclarePairedDelimiter\norm{\lVert}{\rVert}
\newcommand\absx[1]{\left\lvert#1\right\rvert}
\newcommand\gen[1]{\left\langle#1\right\rangle}
\renewcommand\emptyset{\varnothing}
\newcommand\nbd\nobreakdash
\renewcommand\d{\mathrm{d}}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}

\maketitle

\begin{ejercicios}

%%%%%%%%%%%%
\item Sea $f:[a,b]\to \RR$. Para cada partición
$\pi=\{x_0,x_1,\ldots , x_n\}$ de $[a,b]$ definimos
  \[
  \pi(f) = \sum_{k=1}^n \abs{f(x_k)-f(x_{k-1})}
  \]
Probar que si $\pi_1\subset \pi_2$ son dos particiones de $[a,b]$ 
entonces $\pi_1(f)\leq \pi_2(f)$.

%%%%%%%%%%%%
\item Determine si las funciones siguientes son de variación acotada en el
intervalo $[a,b]$ correspondiente. En caso afirmativo, dar una
mayoración para $V_f(a,b)$.

\begin{multicols}{2}
\begin{ejitems}
\item $f(x)=\cos(x)$, con $x\in[0,3\pi]$

\item $f(x)=
    \begin{cases}
      \frac{1}{x} & \mbox{si } 0 < x \leq 1\\
        0 & \mbox{si } x=0.
    \end{cases}$
\item $f(x)=2x^{3}-3x^{2}$, con $x\in[-1,2]$

\item $f(x)=\begin{cases}
    x^{2}\sin\left(  \frac{\pi}{x}\right)  ^{2} & \mbox{si } 0<x\leq1\\
    0 & \text{si }x=0.
    \end{cases}$
\end{ejitems}
\end{multicols}
Estudie, además, la derivabilidad de la cuarta función.

%%%%%%%%%%%%
\item Sean $f$ y $g$ funciones de variación acotada en $[a,b]$. Probar que 
$fg$ también lo~es.

%%%%%%%%%%%%
\item Para las funciones de variación acotada siguientes, encuentre la
función $V_{f}$; recordemos que $V_f(a)=0$ y $V_{f}(x)=V_f(a,x)$ si $a<x\le
b$.
\begin{ejitems}
\item  $f(x) = \begin{cases}
             x+1, & \mbox{si } -1\leq x<0; \\
             x, & \mbox{si } 0\leq x<1; \\
             1-x, & \mbox{si } 1\leq x\leq2.
           \end{cases}
       $
\item $f(x)=\sin x$, con $x\in[0,2\pi]$
\end{ejitems}
Para cada una de estas funciones encuentre explícitamente funciones
monótonas crecientes $g_{1}$ y $g_{2}$ tales que $f=g_{1}-g_{2}$.




%%%%%%%%%%%%
\item Analice en cada caso la existencia de la integral $\int_{a}^{b}f\,
\d\alpha$ y calcúlela cuando corresponda.
\begin{ejitems}

\item $\alpha:[a,b]\to\RR$ una función arbitraria y $f$ una
función constante sobre $[a,b]$.

\item $\alpha:[a,b]\to\RR$ una función continua con
$\alpha(a)=a_{0}$, $\alpha(b)=b_{0}$;  $c\in(a,b)$ y
$f:[a,b]\to\RR$ dada por 
  \[
  f(x) = \begin{cases}
                5 & \text{si $x\in\lbrack a,c)$}; \\
                3 & \text{si $x=c$}; \\
                -1 & \text{si $x\in(c,b]$}.
         \end{cases}
  \]
¿Qué sucede si $\alpha$ es continua sólo en un entorno de $c$?

\item $f$ como en el ítem anterior y 
  \[
  \alpha(x) = \begin{cases}
                  1 & \text{si $x\in\lbrack a,c]$;} \\
                  -1 & \text{si $x\in(c,b]$.}
                  \end{cases}
  \]

\item $f(x)=x^{3},$ $\alpha(x)=x^{2}$ y $[a,b]=[-1,3]$.

\item $f(x)=\alpha(x)=\cos(x)$ y $[a,b]=[0,\frac{\pi}{4}]$.

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%
\item* Sean $f,\alpha:[a,b]\to\RR$ dos funciones tales que $f$ es 
continua e integrable respecto de $\alpha$ en $[a,b]$. Sea $c$ en 
$(a,b)$, y sea $\beta:[a,b]\to\RR$ tal que $\beta(x)=\alpha(x)$ para 
todo $x\neq c$. Muestre que $f$ es integrable respecto de $\beta$ en 
$[a,b]$, y que $\int_{a}^{b}f\,\d\alpha = \int_{a}^{b}f\,\d\beta $.
¿Qué sucede si $c=a$ o $c=b$?.

%%%%%%%%%%%%
\item Consideremos las funciones siguientes definidas en el intervalo $[0,2]$: 
  \begin{align*}
  &f(x)=\abs{x-1}, 
  &
  &\alpha(x)=\begin{cases}
                5 & \text{si $x=0$;} \\
                e^x & \text{si $x\in(0,2]$.} 
             \end{cases}
  \end{align*}
Muestre que $f\in\Re(\alpha)$ en $[0,2]$ y calcule  $\int\limits_{0}^{2}f\,\d\alpha$.

%%%%%%%%%%%%
\item Sean $f$, $\alpha:[a,b]\to\RR$ y sea $c\in (a,b)$ tales que
$f\in\Re(\alpha)$ en $[a,c]$ y $f\in\Re(\alpha)$ en $[c,b]$. Muestre que
$f\in\Re(\alpha)$ en $[a,b]$ y $\int_{a}^{b}f\,\d\alpha
=\int_{a}^{c}f\,\d\alpha +\int_{c}^{b}f\,\d\alpha$.

%%%%%%%%%%%%
\item* Si $\int_{a}^{b}f\,\d\alpha$ existe y es igual a $0$
para toda función monótona creciente $f$, ¿qué se puede decir
sobre la función $\alpha$?

\begin{Indicacion}
Para cada $c\in\lbrack a,b]$ considere la función monótona $f_{c}$ tal que
$f_{c}(x)=0$ si $a\leq x\leq c$ y $f_{c}(x)=1$ en caso contrario.
\end{Indicacion}

%%%%%%%%%%%%
\item Sean $a,b \in \RR$ y sea $f: [a,b] \to \RR$. Probar que si $f$ es 
de variación acotada entonces es integrable en el sentido Riemann.

%%%%%%%%%%%%
\item* Sea $f:[a,b]\to \RR$ una función de clase $C^1$ en $[a,b]$. Probar
que $f$ es de variación acotada y $V_f(a,b)=\int_a^b\abs{f'(x)}\,\d
x$.

%%%%%%%%%%%%
\item Sea $f:[a,b]\to\RR$ continua y sea $\alpha:[a,b]\to\RR$ monótona creciente.
\begin{ejitems}

\item Probar que existe $c\in(a,b)$ tal que $\int_{a}^{b}f\,\d\alpha =
f(c)\left(\alpha(b)-\alpha(a)\right)$.

\item Supongamos que $\alpha$ es derivable en $(a,b)$ (pero no necesariamente de
clase $C^1$). Probar que la función
  \[
  \psi(x)=\int_{a}^{x}f\,\d\alpha
  \]
es derivable en $(a,b)$, y $\psi'(x)=f(x)\alpha'(x)$ para todo $x\in(a,b)$.

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%
\item Sean $f$,~$\alpha:[a,b]\to\RR$, con $f$ continua y $\alpha$ 
de variación acotada. Probar las siguientes afirmaciones.
\begin{ejitems}

\item $\abs{\int_a^bf\,\d\alpha} \leq V_\alpha(a,b)\,\max_{x\in[a,b]}\abs{f(x)}$.

\item  La función $\psi: [a,b] \to \RR$ dada por $\psi(x)=\int_{a}^{x}
f\,\d\alpha$ es de variación acotada.

\item Si $\alpha$ satisface una condición de Lipschitz en $[a,b]$, entonces
la función $\psi$ definida en el punto anterior también satisface una
condición de Lipschitz en $[a,b]$.
\end{ejitems}

\end{ejercicios}
\end{document}
