\documentclass[a4paper,oneside,fleqn,10pt]{article}
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\overfullrule5pt

\Materia{Taller de Cálculo Avanzado}
\Cuatrimestre{Primer Cuatrimestre --- 2013}
\Practica{4}
\Titulo{Funciones continuas}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Abreviaturas
\newcommand\CC{\mathbb{C}}
\newcommand\RR{\mathbb{R}}
\newcommand\QQ{\mathbb{Q}}
\newcommand\ZZ{\mathbb{Z}}
\newcommand\NN{\mathbb{N}}

\newcommand\eps{\varepsilon}
\newcommand\abs[1]{\lvert#1\rvert}
\newcommand\norm[1]{\lVert#1\rVert}
\newcommand\absx[1]{\left\lvert#1\right\rvert}
\newcommand\gen[1]{\left\langle#1\right\rangle}
\renewcommand\emptyset{\varnothing}
\newcommand\nbd\nobreakdash
\newcommand\Lim{\lim\limits}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}

\maketitle

\begin{ejercicios}

%%%%%%%%%%%%
\item  Sean $f:\RR\to\RR$ una función y $A$,~$B$,~$X$,~$Y\subseteq\RR$
conjuntos. En cada uno de los siguientes casos decida si 
corresponde $\subseteq$, $\supseteq$ o $=$ y pruébelo.
  \[
  \begin{array}{rcl}
  f(A\cup B)      & \ldots   &  f(A)\cup f(B) \\
  f^{-1}(X\cup Y) & \ldots   &  f^{-1}(X)\cup f^{-1}(Y) \\ 
  f(A\cap B)      & \ldots   & f(A)\cap f(B) \\ 
  f^{-1}(X\cap Y) & \ldots   & f^{-1}(X)\cap f^{-1}(Y)\\ 
  f(A^c)          & \ldots   & (f(A))^c \\
  f^{-1}(X^c)     & \ldots   & (f^{-1}(X))^c
  \end{array}
  \]

%%%%%%%%%%%%
\item Sea $f:(a,b)\to\RR$ una función. Probar que $\Lim_{x\to a^+}f(x)=l$ si y
solo si para toda sucesión estrictamente decreciente $(x_n)_{n\geq1}$
tal que $\Lim_{n\to \infty}x_n = a$ vale que $\Lim_{n\to \infty}f(x_n) = l$.

%%%%%%%%%%%%
\item Sea $f:[a,b]\to\RR$ una función monótona creciente, y sea $c\in(a,b]$. 
Probar que si existe una sucesión
$(x_n)_{n\geq 1} \subset (a,b]$ tal que $x_n<c$ para todo $n\geq1$,
$\Lim_{n\to\infty}x_n=c$ y $\Lim_{n\to \infty}f(x_n) = l$, entonces
$\Lim_{x \to c^-}f(x)=l$. Enuncie y pruebe el resultado correspondiente para 
$\Lim_{x \to c^+} f(x)$. 

%%%%%%%%%%%%
\item Sean $A$,~$B\subseteq\RR$ y sean $f:A\to\RR$ y $g:B\to\RR$ funciones 
tales que $f(A)\subset B$, con $f$ continua en $a\in A$ y $g$
continua en $f(a)$. Pruebe que $g\circ f$ es continua en $a$.

%%%%%%%%%%%%
\item Probar las siguientes afirmaciones.
\begin{ejitems}
\item Una función continua $f:\RR\to\RR$ tal que $f(x)=f(y)$
cualesquiera sean $x$,~$y\in\QQ$ es necesariamente constante.

\item Dos funciones continuas de $\RR$ en $\RR$ que coinciden sobre $\QQ$ 
son iguales.
\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%
\item* Encuentre los puntos donde las siguientes funciones son continuas (considere la
	continuidad lateral en los extremos de los intervalos cerrados):
\begin{ejitems}
\item $f:[0,1]\to[0,1]$ con
  \[
  f(x)= \begin{cases}
        x, & \text{si $x\in\QQ$;} \\
        0 & \text{si $x\notin\QQ$.}
        \end{cases}
  \]

\item $f:[0,1]\to[0,1]$ con
  \[
  f(x)= \begin{cases}
        x, & \text{si $x\in\QQ$;} \\
        1-x & \text{si $x\notin\QQ$.}
        \end{cases}
  \]

\item $f:\RR\to\RR$ con
  \[
  f(x) = \begin{cases}
        \frac{1}{b} & \text{si $x=\frac{a}{b}$ con $a$,~$b\in\ZZ$ coprimos y $b>0$;} \\
        0 & \text{si $x\notin\QQ$.}
        \end{cases}
  \]

\end{ejitems}


%%%%%%%%%%%%
\item  Pruebe que si $f:[a,b]\to[a,b]$ es una función continua entonces existe $c\in[a,b]$
	tal que $f(c)=c$.

\begin{Indicacion}
Considere la función $x\mapsto x-f(x)$.
\end{Indicacion}

%%%%%%%%%%%%
\item* Sea $f:\RR\to\RR$. Probar que las siguientes afirmaciones son
equivalentes:
\begin{tfae}

\item La función $f$ es continua. 

\item Para todo abierto $U\subseteq \RR$ el conjunto $f^{-1}(U)$ es abierto. 

\item Para todo cerrado $F\subseteq \RR$ el conjunto $f^{-1}(F)$ es cerrado. 

\end{tfae}

%%%%%%%%%%%%
\item Sea $f:\RR\to \RR$ una función continua. Probar que el gráfico de~$f$
es un subconjunto cerrado de $\RR^2$.

%%%%%%%%%%%%
\item\begin{ejitems}

\item Sean $K\subset \RR$ un conjunto compacto y $f: K \to \RR$ una
función continua tal que $f(x)>0$ para todo $x \in K$. Probar que existe
$\alpha>0$ tal que $f(x) >\alpha$ para todo $x \in K$.

\item Sea $A\subseteq\RR$ un conjunto \emph{no} compacto. Probar que
existe una función continua $f:A\to\RR$ que toma valores positivos y tal 
que $\inf\{f(x):x\in A\}=0$.

\item Probar que un conjunto $X \subset \RR$ es compacto si y solo si
para toda función continua $f: X \to \RR$, el conjunto $f(X)$ tiene mínimo.
\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%
\item Probar que si $f:\RR\to\RR$ es una función continua tal que
$\Lim_{\abs{x}\to+\infty}f(x) = +\infty$, entonces $f$ es acotada
inferiormente y tiene mínimo.

%%%%%%%%%%%%
\item Sea $K\subset \RR$ un conjunto compacto y
sea $f:K\to\RR$ una función continua. 
\begin{ejitems}

\item Probar que el conjunto $\{\abs{x}:x\in K\}$ es compacto.

\item Si $c\in f(K)$, entonces entre las soluciones de la ecuación 
$f(x)=c$ hay una de módulo mínimo.

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%
\item Como el conjunto
$\QQ\cap(0,1)$ es numerable e infinito, hay una sucesión $(x_n)_{n\geq1}$
tal que $\QQ\cap(0,1)=\{x_n:n\geq1\}$. 
\begin{ejitems}

\item Si $x\in(0,1)$ y ponemos $\Omega_x=\{n\in\NN:x_n<x\}$, entonces la
serie 
  \[
  \sum_{n\in\Omega_x}\frac{1}{2^n}
  \]
converge. Podemos entonces definir una función $f:(0,1)\to\RR$ como
$f(x)=\sum_{n\in\Omega_x}2^{-n}$ para todo $x \in (0,1)$.

\item Probar que la función~$f$ es monótona creciente.

\item Probar que $f$ es discontinua en todo punto de $\QQ
\cap(0,1)$. Más aún, para cada $n \in \NN$ se tiene que $f(x_n+0)
-f(x_n-0)=2^{-n}>0$.
  
\item Probar que $f$ es continua a izquierda, de manera que $f(x-0)=f(x)$  
para todo $x\in(0,1)$.

\item Probar que $f$ es continua en todo punto de $(0,1)\setminus\QQ$.
\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%
\item  Estudie la continuidad uniforme de las funciones siguientes:
\begin{multicols}{2}
\begin{ejitems}
\item $x\in\RR\mapsto\abs{x}\in\RR$.

\item $x\in\RR\mapsto x^2\in\RR$.

\item $x\in(0,1)\mapsto\sin\frac{1}{x}\in\RR$.

\item $x\in\RR\mapsto\frac{1}{1+x^{2}}\in\RR$.

\item $x\in(r,+\infty)\mapsto\sqrt{x}\in\RR$, con $r>0$.

\item $x\in(0,+\infty)\mapsto\sqrt{x}\in\RR$.
\end{ejitems}
\end{multicols}
%%%%%%%%%%%%
\item* Sea $S\subseteq\RR$ y sean $f, g:S\to\RR$ dos funciones uniformemente continuas.
\begin{ejitems}

\item Probar que $f+g$ es uniformemente continua. 

\item Probar que $f\cdot g$ no necesariamente es uniformemente
continua, aún si alguna de las funciones $f$ ó $g$ es acotada.

\item Sea $h:f(S)\to\RR$ una función uniformemente continua definida sobre 
la imagen de~$f$. Probar que $h\circ f:S\to\RR$ es uniformemente continua.
\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%
\item\begin{ejitems}

\item  Sea $f:\RR \to \RR$ una función uniformemente continua en los intervalos 
$[a, b]$ y $[b, c]$. Probar que $f$ es uniformemente continua en $[a,c]$.

\item ¿Es cierto que si $f$ es una función
uniformemente continua sobre un conjunto $A\subseteq\RR$ y
sobre un conjunto $B\subseteq\RR$, entonces también lo
es en $A\cup B$?

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%
\item Sea $S \subset \RR$. Sea $f:S\to\RR$ una función, $x_0\in S$ y 
$\alpha\in\RR$. Decimos que $f$ es \emph{localmente Lipschitz de 
orden~$\alpha$ en~$x_0$} si existen $\eps>0$ y~$M>0$ tales que
  \[
  0\leq\abs{x-x_0}<\eps \implies \abs{f(x)-f(x_0)} < M\abs{x-x_0}^\alpha.
  \]
Si $\alpha=1$, decimos simplemente que $f$ es Lipschitz en~$x_0$. 
Probar las siguientes afirmaciones.
\begin{ejitems}
\item Si $f$ es localmente Lipschitz de orden $\alpha>0$ en $x_0$ entonces
$f$ es continua en~$x_0$.

\item Si $f$ es localmente Lipschitz de orden $\alpha>1$ en $x_0$ entonces
$f$ es derivable en~$x_0$ y $f'(x_0)=0$.
\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%
\item Sean $A\subseteq\RR$ y $f:A\to\RR$ una función. Decimos que $f$ es
Lipschitz sobre~$A$ si existe una constante $M>0$ tal que
  \[
  x,y\in A\implies \abs{f(x)-f(y)}<M\abs{x-y}.
  \]
En ese caso llamamos a $M$ la \emph{constante de Lipschitz} de~$f$.
Probar las siguientes afirmaciones.
\begin{ejitems}
\item Una función Lipschitz es continua en su dominio.

\item Una función definida sobre un intervalo abierto de~$\RR$ y allí
derivable con derivada acotada es Lipschitz.

\item Si $K \subset (a,b)$ es compacto y $f$ tiene derivada continua sobre
$(a,b)$, entonces es Lipschitz en $K$.

\item La función $f:[-1,1]\to\RR$ dada por $f(t) = \sqrt[3]{t}$ es uniformemente
continua, pero no es Lipschitz.
\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%
\item\begin{ejitems}

\item\emph{Teorema de punto fijo de Banach.}  Sea $S\subset\RR$ y sea
$f:S\to\RR$ una función Lipschitz con constante de Lipschitz $M<1$. 
Si el conjunto $S$ es cerrado y $f(S)\subseteq S$, entonces existe $y\in
S$ tal que $f(y)=y$.

\begin{Indicacion}
Sea $x_1\in S$.
Muestre que la sucesión
$(x_{n})_{n\in\NN}$ en $S$ tal que
$x_{n+1}=f(x_{n})$ para todo $n\geq1$ es una sucesión de Cauchy y considere
su límite $y=\Lim_{n\to\infty}x_n$.
\end{Indicacion}

\item Muestre con un ejemplo que el resultado es falso si no se supone que
$S$ es un conjunto cerrado.

\item  Sea $f:\RR\to\RR$ la función tal que $f(x)=\frac
{x+\sqrt{x^{2}+1}}{2}$ para todo $x\in\RR$. Muestre que $f$ es Lipschitz
con $M=1$, pero no tiene puntos fijos.

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%
%\item \label{suc}En cada uno de los casos siguientes, hallar el
%l\'\i mite puntual de la sucesión $(f_n)_{n\in \NN}$ en
%el conjunto $S\subset \RR$:
%\begin{enumerate}
%\item $f_n(c)=x^n$, $S=(-1,1]$.
%
%\item $f_n(x)=\dfrac{e^x}{x^n}$, $S=(1,+\infty)$.
%
%\item $f_n(x)=n^2x(1-x^2)^n$, $S=[0,1]$.
%\end{enumerate}
%
%\item \begin{enumerate} \item Probar que la sucesión del
%ejercicio \ref{suc}(a) converge uniformemente en $T=(0,1/2)$, pero
%en $S=(-1,1]$ converge puntualmente a una función que no es
%continua.
%
%\item Probar que la sucesión del ejercicio \ref{suc}(b) converge
%uniformemente en $T=[2,5]$.
%
%\end{enumerate}
%
%\item Analizar la convergencia puntual y uniforme de las
%siguientes sucesiones de funciones en los conjuntos indicados:
%
%\begin{enumerate}
%
%\item $f_n(x)=\frac{\sin (nx)}{n}$,  sobre todo $\RR$.
%
%\item $f_n(x)=\sin (\frac{x}{n})$,  sobre todo $\RR$.
%
%\item $f_n(x)=\frac{n}{n+1}x$,  sobre todo $\RR$.
%\end{enumerate}
%
%
%\item Sea $S\subset \RR$ y sea $\{f_n\}_{n\in \NN}$
%una sucesión de funciones $f_n:S\to \RR$ que
%converge uniformemente a una función $f:S\to
%\RR$. Probar que si $f_n$ es acotada para cada $n\in
%\NN$ entonces vale:
%
%\begin{enumerate}
%
%\item $f$ es acotada.
%
%\item Existe $M\in \RR$ tal que $|f_n(x)|\le M$ para todo
%$x\in S$ y todo $n\in \NN$ (en otras palabras,
%$\{f_n\}_{n\in \NN}$ es uniformemente acotada).
%\end{enumerate}
%
%\item Sea $(f_n)_{n\in \NN}$ la sucesión de funciones
%$f_n:[0,1]\to \RR$ definida por
%\[
%f_n(x)=n^2x(1-x)^n.
%\]
%\begin{enumerate}
%\item Probar que $(f_n)_{n\in \NN}$ converge puntualmente a
%la función cero en el intervalo $[0,1]$. \item Verificar que
%existe $\underset{n\to \infty}\Lim\int_0^1 f_n(x)\, dx$ pero que el l\'imite no puede `pasar adentro de la integral'. Es decir, ver que $\underset{n\to \infty}\Lim\int_0^1 f_n(x)\, dx \neq
%\int_0^1 (\underset{n\to \infty}\Lim\ f_n(x))\ dx$
%\end{enumerate}
%
%\item Sea $\{f_n\}$ una sucesión de funciones derivables
%definidas sobre el intervalo $[a,b]$. Supongamos que $\{f'_n\}$
%converge uniformemente en $[a,b]$. Probar que si existe $x_0\in[a,b]$ tal que
%$\{f_n(x_0)\}$ converge, entonces $\{f_n\}$ converge uniformemente
%en $[a,b]$.
%
%
%
%
%\item Sea $\{f_n\}_{n\in \NN}$ una sucesión de funciones definidas en $S\subset\RR$. Sea $\{a_n\}_{n\in\NN}\subset\RR$ tal que la serie $\sum_{n=1}^\infty a_n<\infty$. Si $|f_n(x)|\le a_n$ para todo $x\in S$, $n\in\NN$, se sigue que la sucesión $S_N(x)=\sum_{n=1}^Nf_n(x)$ converge uniformemente en $S$.
%
\end{ejercicios}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\end{document}

