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\overfullrule5pt

\Materia{Taller de Cálculo Avanzado}
\Cuatrimestre{Verano --- 2016}
\Practica{3}
\Titulo{La topología de los espacios euclídeos}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Abreviaturas
\newcommand\CC{\mathbb{C}}
\newcommand\RR{\mathbb{R}}
\newcommand\QQ{\mathbb{Q}}
\newcommand\ZZ{\mathbb{Z}}
\newcommand\NN{\mathbb{N}}

\newcommand\eps{\varepsilon}
\newcommand\abs[1]{\lvert#1\rvert}
\newcommand\norm[1]{\lVert#1\rVert}
\newcommand\absx[1]{\left\lvert#1\right\rvert}
\newcommand\gen[1]{\left\langle#1\right\rangle}
\renewcommand\emptyset{\varnothing}
\newcommand\nbd\nobreakdash

\begin{document}

\maketitle

\begin{ejercicios}

%%%%%%%%%%%%
\item  Decida si los siguientes conjuntos son abiertos, cerrados, o acotados:
\begin{multicols}{2}
\begin{ejitems}
\item $\NN$;

\item $\QQ$; 

\item $\{x\in\RR: x>0\}$;

\item $\RR \setminus \QQ$;

\item $(0,1]$;

\item $\left\{1+\frac14+\frac19+\cdots+\frac1{n^2}: n\in\NN\right\}$;

\item $\left\{1+\frac12+\frac13+\cdots+\frac1n: n\in\NN\right\}$.
\end{ejitems}
\end{multicols}
%%%%%%%%%%%%
\item\label{Ej2} Sean $S$ y $T$ subconjuntos de $\RR$. Pruebe las
siguientes afirmaciones.
\begin{ejitems}
\item  Si $S\subseteq T$ entonces $S^\circ\subseteq T$ $^\circ$. 
¿Vale la recíproca? ¿Es cierto que si $S^\circ = T^\circ$ entonces 
$S \subset T$?

\item $(S\cap T)^\circ=S^\circ\cap T^\circ$.
¿Qué ocurre con el interior de la intersección de una familia finita de conjuntos? 
¿y si la familia es infinita?

\item $(S\cup T)^\circ\supseteq S^\circ\cup T^\circ$. 
¿En qué casos vale la igualdad?

\item  $\overline{S\cup T}=\overline{S}\cup\overline{T}$.
¿Se puede generalizar esta igualdad a una unión infinita?

\item $\overline{S\cap T}\subseteq\overline{S}\cap\overline{T}$.
¿Vale la igualdad?

\item $(\RR\setminus S)^\circ=\RR\setminus\overline{S}$. ¿Es cierta la igualdad que 
se obtiene intercambiando interior y clausura?
\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%
\item\label{Ej3} Encuentre el interior, la clausura y la frontera de cada
conjunto:
\begin{multicols}{3}
\begin{ejitems}
\item $[0,1]$;

\item $\QQ\cap[0,1]$;

\item $[-1,0)\cup\{1\}$;

\item $\left\{\frac{1}{n}:n\in\NN\right\}$;

\item $\left\{ \frac{(-1)^nn}{1+n}:n\in\NN\right\}$;

\item $\ZZ$.
\end{ejitems}
\end{multicols}

%%%%%%%%%%%%
\item  Sea $S\subseteq\RR$. Probar las siguientes afirmaciones.
\begin{ejitems}

\item  $S$ es abierto si y solo si es disjunto con $\partial S$.

\item  $S$ es cerrado si y solo si $\partial S\subset S$.

\item $S$ es cerrado si y solo si $S= S^\circ\cup \partial S$.

\item  $\partial S = \overline{S}\cap\overline{\RR\setminus S}$. 
\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%
\item Sea $S\subseteq\RR$. Decimos que $p \in \RR$ es un \emph{punto de acumulación}
de $S$ si $p \in \overline{S \setminus {p}}$. Notamos por $S^{\prime}$ al conjunto de 
todos los puntos de acumulación de~$S$.
\begin{ejitems}
\item Determine $S^{\prime}$ para cada uno de los conjuntos del Ejercicio~\ref{Ej3}.

\item Un punto $p\in S$ es un \emph{punto aislado} de $S$ si existe
$\eps>0$ tal que $(p-\eps,p+\eps)\cap S=\{p\}$.
Muestre que $\overline{S}=S^{\prime }\cup\{\text{puntos aislados de $S$}\}$.

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%
\item* Encuentre los puntos de acumulación y la clausura del conjunto 
$\{\frac{1}{n}+\frac{1}{m}:n,m\in\NN\}$.

%%%%%%%%%%%%
\item Determine todos los subconjuntos no vac\'\i os de $\RR$ que son a la
vez abiertos y cerrados.

%%%%%%%%%%%%
\item Decida si los siguientes conjuntos son abiertos, cerrados, o acotados.
\begin{multicols}{2}
\begin{ejitems}
\item $\{(x,y)\in\RR^2:x>1\}$.

\item $\{(x,y)\in\RR^2:x>y\}$.

\item $\{(x,y)\in\RR^2:y>0\}$.

\item $\{(x,y)\in\RR^2:x=y\}$.
\end{ejitems}
\end{multicols}

%%%%%%%%%%%%
\item ¿Siguen siendo ciertas las afirmaciones del Ejercicio \ref{Ej2} 
si $S$ y $T$ son subconjuntos de $\RR^2$?

%%%%%%%%%%%%
\item  Encuentre los puntos de acumulación y la clausura del conjunto 
  \[
  S=\{(\tfrac{1}{n},\tfrac{1}{m}) \in\RR^2:n,m\in\NN\}.
  \]
    
%%%%%%%%%%%%
\item  Para cada $n\in\NN$ con $n\geq2$ definimos $I_n= (\tfrac{1}{n},
\frac{2}{n})\subseteq\RR$. Muestre que $(0,1)=\bigcup_{n\geq2}I_{n}$. 
¿Existe un conjunto \emph{finito} $\mathcal{F}\subset\NN_{\geq2}$ tal que
$(0,1)=\bigcup\limits_{n\in\mathcal{F}}I_{n}$? ¿Es compacto el conjunto 
$(0,1)$?

%%%%%%%%%%%%
\item  Para cada $n \in \NN$ definimos $U_{n} = \{(x,y)\in\RR^{2} : 
\norm{(x,y)-(0,n)}<n\}$. Muestre que $\bigcup_{n\in\NN}U_{n}$ es el 
semiplano superior abierto, y concluya que este no es compacto.

%%%%%%%%%%%%
\item Decida cuáles de los siguientes conjuntos son compactos:
\begin{multicols}{3}
\begin{ejitems}
\item $\QQ$;

\item $\QQ\cap [0,1]$;

\item $\RR$; 

\item $[0,1]\cup [100,1000]$;

\item $\left\{\frac1n: n\in\NN\right\}$;

\item $\left\{\sqrt[n]{n} : n \in\NN\right\}$.
\end{ejitems}
\end{multicols}


%%%%%%%%%%%%
\item Probar que si $K$ es un subconjunto compacto de $\RR$ entonces 
tiene mínimo y máximo.

%%%%%%%%%%%%
\item* Sea $(x_n)_{n\in\NN}$ una sucesión acotada y sea $P$ el conjunto de
sus puntos límite. Probar que $P$ es compacto, que su mínimo es $\liminf x_n$
y su máximo es $\limsup x_n$.

%%%%%%%%%%%%
\item  Sean $S$, $T\subseteq\RR$ dos conjuntos compactos. Probar que 
$S\cup T$ y $S\cap T$ son compactos. ¿Qué ocurre si se toman uniones o
intersecciones infinitas?

%%%%%%%%%%%%
\item Probar que un conjunto $S\subseteq\RR$ es compacto si y sólo si 
toda sucesión contenida en $S$ contiene una subsucesión que converge a 
un punto de $S$.

%%%%%%%%%%%%
\item Probar que si $K$ es compacto y $F$ es cerrado, entonces $K\cap 
F$ es compacto.

%%%%%%%%%%%%
\item* Probar que si $K\subseteq\RR$ es compacto, entonces los conjuntos 
	$S=\{x+y : x,y \in K\}$ y $P=\{xy : x,y \in K\}$ son compactos.

%%%%%%%%%%%%
\item Una \emph{norma} sobre $\RR^n$ es una función
$\norm{\cdot}:\RR^n\to\RR$ tal que:
  \begin{itemize}
    \item $\norm{x}\geq0$ para todo $x\in\RR^n$ y $\norm{x}=0$ si y solamente
    si $x=0$;
  
    \item $\norm{\lambda x}=\abs{\lambda}\norm{x}$ para todo $x\in\RR^n$ y
    $\lambda\in\RR$;

    \item $\norm{x+y}\leq\norm{x}+\norm{y}$ para todo $x$,~$y\in\RR^n$.
  \end{itemize}
\begin{ejitems}

\item Muestre que las funciones $\norm{\cdot}_1$, $\norm{\cdot}_2$,
$\norm{\cdot}_\infty:\RR^n\to\RR$ dadas por
  \begin{align*}
	  \norm{x}_1 &= \sum_{i=1}^n\abs{x_i}, 
	  &\norm{x}_2 &= \sqrt{\sum_{i=1}^nx_i^2}, 
	  &\norm{x}_\infty &= \max\{\abs{x_i}:1\leq i\leq n\}
  \end{align*}
para cada $x=(x_1,\dots,x_n)\in\RR^n$ son normas.
Si $\norm{\cdot}:\RR^n\to\RR$ es una norma, para cada $x\in\RR^n$ y
cada $\eps>0$ llamamos \emph{bola centrada en~$x$ de radio~$\eps$} al
conjunto
  \[
  B_\eps(x) = \{y \in \RR^n : \norm{x-y} < \eps \}.
  \]

\item Muestre que existen constantes positivas $c$, $c'$, $d$, $d'$ tales que
  \begin{align*}
	  c \norm{x}_1 &\leq \norm{x}_2 \leq c' \norm{x}_1, 
	  &	  d \norm{x}_\infty &\leq \norm{x}_2 \leq d' \norm{x}_\infty
  \end{align*}
para todo $x \in \RR^n$. 

\begin{Indicacion}
Primero resuelva el problema en el caso $n = 2$. Dibuje las bolas de radio 
$1$ centradas en cero para las tres normas.
\end{Indicacion}

\item Decimos que un conjunto $A\subseteq\RR^n$ es abierto con respecto
a~$\norm{\cdot}$ si para todo $x\in A$ existe $\eps>0$ tal que
$B_\eps(x)\subseteq A$.
Muestre que un conjunto es abierto con respecto a $\norm{\cdot}_1$ si y 
solo si es abierto con respecto a~$\norm{\cdot}_2$, si y solo si es abierto 
con respecto a~$\norm{\cdot}_\infty$.

\item Si $\norm{\cdot}:\RR^n\to\RR$ es una norma, decimos que una sucesión
$(x_k)_{k\geq1}$ en~$\RR^n$ converge a $x \in \RR^n$ con respecto a 
$\norm{\cdot}$ si
  \[
  \lim_{k\to\infty} \norm{x_k-x} = 0.
  \]
Muestre que una sucesión $(x_k)_{k\geq1}$ converge a $x\in\RR^n$
con respecto a la norma~$\norm{\cdot}_1$ si y solo si lo hace con respecto 
a la norma~$\norm{\cdot}_2$, si y solo si lo hace con respecto a la 
norma~$\norm{\cdot}_\infty$.
\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%
%\item {\em Una función $N:\RR^2\to \RR_{\ge0}$ se llama una \underline{norma} si cumple que:
%    \begin{itemize}
%    \item $N((x,y))=0$ si y  sólo si $(x,y)=(0,0)$.
%    \item $N((\lambda x,\lambda y))=|\lambda| N((x,y))$ para todo $(x,y)\in\RR^2$, $\lambda\in\RR$.
%        \item $N((x_1,y_1)+(x_2,y_2))\le N((x_1,y_1))+N((x_2,y_2))$ para todo $(x_1,y_1), (x_2,y_2)\in \RR^2$.
%            \end{itemize}
%            }
%            \medskip
%            
%            Sean
%            \begin{align*}
%            &\|(x,y)\|_1=|x|+|y|\\
%            &\|(x,y)\|_\infty=\max\{|x|,|y|\}.
%            \end{align*}
%            
%            Probar que las funciones $\|\cdot\|_1$ y $\|\cdot\|_\infty$ son normas.
%            
%\item {\em Una función $d:\RR^2\times\RR^2\to\RR_{\ge0}$ se llama una \underline{distancia} si cumple que:
%    \begin{itemize}
%    \item $d((x_1,y_1),(x_2,y_2))=0$ si y sólo si $(x_1,y_1)=(x_2,y_2)$.
%        \item $d((x_1,y_1),(x_2,y_2))=d((x_2,y_2),(x_1,y_1))$ para todo $(x_1,y_1), (x_2,y_2)\in \RR^2$.
%            \item $d((x_1,y_1),(x_3,y_3))\le d((x_1,y_1),(x_2,y_2))+d((x_2,y_2),(x_3,y_3))$ para todo $(x_1,y_1),$ $(x_2,y_2), (x_3,y_3)\in \RR^2$.
%                \end{itemize}
%                }
%            
%                
%                \begin{itemize}
%                \item[(a)] Demostrar que si $N$ es una norma en $\RR^2$, entonces $$d((x_1,y_1),(x_2,y_2))=N((x_1-x_2,y_1-y_2))$$ es una distancia en $\RR^2$.
%                    
%                    \end{itemize}
%                    
%\item {\em Llamamos la bola de centro $(x_0,y_0)$ y radio $r$ asociada a una norma $N$ al conjunto
%    $$
%    B_N((x_0,y_0),r)=\{(x,y)\in\RR^2\,/\, N((x-x_0,y-y_0))<R\}.
%    $$
%    
%    Cuando el centro es el origen $(0,0)$ la bola conrrespondiente suele denotarse $B_N(r)$.
%    }
%
%    
%    \begin{itemize}
%\item[(a)]    Dibujar las bolas correspondientes a la norma euclidea y a las normas $N_1$ y $N_\infty$.
%\item[(b)] Ver gráficamente que $B_1(r)\subset B_e(r) \subset B_1(\sqrt 2 r)$   y que $B_e(r)\subset B_\infty(r)\subset B_e(\sqrt 2r)$.
%\item [(c)] Deducir contenciones análogas a las del item (b) entre las bolas correspondientes a las normas 1 e infinito.
%    \item[(d)] Deducir las contenciones de los items (a), (b) y (c) anal\'{\i}ticamente.
%    \end{itemize}
% 
\end{ejercicios}
\end{document}
