\documentclass[a4paper,oneside,fleqn,10pt]{article}
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\overfullrule5pt

\Materia{Taller de Cálculo Avanzado}
\Cuatrimestre{Verano --- 2016}
\Practica{2}
\Titulo{Series}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Abreviaturas
\newcommand\CC{\mathbb{C}}
\newcommand\RR{\mathbb{R}}
\newcommand\QQ{\mathbb{Q}}
\newcommand\ZZ{\mathbb{Z}}
\newcommand\NN{\mathbb{N}}

\newcommand\eps{\varepsilon}
\newcommand\abs[1]{\lvert#1\rvert}
\newcommand\absx[1]{\left\lvert#1\right\rvert}
\newcommand\gen[1]{\left\langle#1\right\rangle}
\renewcommand\emptyset{\varnothing}
\newcommand\nbd\nobreakdash
\newcommand\Sum{\displaystyle\sum}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}

\maketitle

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{ejercicios}

%%%%%%%%%%
\item Estudie la convergencia de las siguientes series:
\begin{multicols}{3}
\begin{ejitems}

\item $\Sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{2}+3n-1}{2n^{2}+3}$;

\item $\Sum_{n=1}^{\infty}\frac n{2^{n}}$;

\item $\Sum_{n=1}^{\infty}\frac1{\sqrt{10n}}$;

\item $\Sum_{n=1}^{\infty}\frac{n+1}n$;

\item $\Sum_{n=1}^{\infty}\left(  \frac n{n+1}\right)  ^{n^{2}}$;

\item $\Sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n^{2/3}}$;

\item $\Sum_{n=1}^{\infty}\frac{1+n}{3+n^{2}}$;

\item $\Sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n^{2}+2n+3}$;

\item $\Sum_{n=1}^{\infty}\sin(1/n)$.

\end{ejitems}
\end{multicols}

%%%%%%%%%%
\item Encuentre la suma de las siguientes series:
\begin{multicols}{3}
\begin{ejitems}

\item $\Sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{3^{n-2}}$;

\item $\Sum_{n=1}^{\infty}\frac1{(2n-1)(2n+1)}$;

\item $\Sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n(n+1)(n+2)}$;

\item $\Sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^{n}+3^{n}}{6^{n}}$.

\end{ejitems}
\end{multicols}

%%%%%%%%%%
\item Sume la serie $\Sum_{n=1}^{\infty}\frac{3n^{2}-4n+2}{n!}$.

\begin{Indicacion}
Descomponer el término general en la forma
$\frac{3n^{2}-4n+2}{n!}=\frac A{n!}+\frac B{(n-1)!}+\frac C{(n-2)!}$.
\end{Indicacion}

%%%%%%%%%%
\item Para cada serie, determinar cuántos términos es necesario sumar para
obtener un resultado que difiera en menos de $10^{-6}$ de la suma total:
\begin{multicols}{3}
\begin{ejitems}
\item $\Sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{2^{n}}$;

\item $\Sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}n$;

\item $\Sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n!}$.
\end{ejitems}
\end{multicols}

%%%%%%%%%%
\item ¿Es cierto que si las series $\Sum_{n=1}^{\infty}a_{k}$ y
$\Sum_{n=1}^{\infty}b_{k}$ divergen entonces
$\Sum_{n=1}^{\infty}a_{k} b_{k}$ también diverge?

%%%%%%%%%%
\item* Pruebe que
  \[
  1+\frac12+\frac13+\cdots+\frac1n>\ln(n+1)>\frac12+\frac13+\cdots+\frac1{n+1}
  \]
y usando esto, que la sucesión con término general
  \[
  r_{n}=1+\frac12+\frac13+\cdot\cdot\cdot+\frac1n-\ln(n)
  \]
converge. El límite de esta sucesión es la \emph{constante de
Euler-Mascheroni} y es igual a 
  \[
  0.57721566490153286060651209008240243104215933593992\dots
  \]

\begin{Indicacion}
Recurde la demostración del criterio de comparación con una integral impropia.
\end{Indicacion}

%%%%%%%%%%
\item\emph{Criterio de Raabe.} Sea $(a_n)_{n\geq1}$ una sucesión de
términos positivos, y notemos 
\[
  \alpha_n = n\left(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1\right)
\]
\begin{ejitems}
\item Si $\alpha_n > 1$ para $n \gg 1$ entonces la serie 
  $\Sum_{n=1}^\infty{a_n}$ converge.

\item Si $\alpha_n < 1$ para $n \gg 1$ entonces la serie 
  $\Sum_{n=1}^\infty{a_n}$ diverge. 
\end{ejitems}
\begin{Indicacion}
Analizar el comportamiento de la sucesión $na_n$ para $n \gg 1$.
\end{Indicacion}

%%%%%%%%%%
\item*\emph{Teorema de Abel.} Si $(a_n)_{n\geq1}$ es una sucesión
decreciente de términos positivos tal que la serie $\Sum_{n=1}^\infty a_n$
converge, entonces $\lim\limits_{n\to\infty}na_n=0$.

\begin{Indicacion}
Utilice que $na_{2n} \leq a_{n+1}+a_{n+2}+\cdots +a_{2n}$ para probar que 
$(2n)a_{2n} \to 0$, y haga un razonamiento análogo para probar que $(2n+1) 
a_{2n+1} \to 0$ cuando $n \to \infty$.
\end{Indicacion}

%%%%%%%%%%
\item*\emph{Criterio de condensación de Cauchy.} Si $(a_n)_{n\geq1}$ es una
sucesión decreciente de números no negativos, entonces las series
$\Sum_{n\geq1}a_n$ y $\Sum_{n\geq1}2^na_{2^n}$ convergen o divergen
simultaneamente.

%%%%%%%%%%
\item Decida si las siguientes series convergen absoluta o
condicionalmente.
\begin{multicols}{3}
\begin{ejitems}

\item $\Sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n\cdot2^{n}}$;

\item $\Sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{\ln(n)}$;

\item $\Sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{n^{2}-2n-1}{n!}$.

\end{ejitems}
\end{multicols}

%%%%%%%%%%
\item\begin{ejitems}

\item Probar que si la serie $\Sum_{n=1}^\infty a_n$ converge absolutamente, 
entonces la serie $\Sum a_n^2$ converge. ¿Puede obtenerse la misma conclusión 
si sólo se supone que la serie $\Sum_{n=1}^\infty a_n$ converge
condicionalmente? 

\item ¿Si la serie $\Sum_{n=1}^\infty a_n$ converge y tiene todos sus
términos no negativos, se puede concluir algo sobre la serie 
$\Sum_{n=1}^\infty\sqrt{a_n}$?

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%
\item Probar que si $\abs{\alpha}<1$ entonces
$\frac1{(1-\alpha)^2} = \Sum_{k=1}^\infty k \alpha^{k-1}$.


%%%%%%%%%%
\item Determine para qué valores de~$x$ convergen las siguientes series:
\begin{multicols}{3}
\begin{ejitems}

\item $\Sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n}}{2^{n}}$;

\item $\Sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}x^{n}}{n^{2}}$;

\item $\Sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n}}{n+\sqrt{n}}$;

\item $\Sum_{n=1}^{\infty}2^{n}\sin\left(\frac x{3^{n}}\right)$;

\item $\Sum_{n=1}^{\infty}3^{n^{2}}x^{n^{2}}$;

\item $\Sum_{n=1}^{\infty}n!(x+1)^{n}$.

\end{ejitems}
\end{multicols}

\end{ejercicios}
\end{document}