\documentclass[a4paper,oneside,fleqn,10pt]{article}
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\overfullrule5pt

\Materia{Taller de Cálculo Avanzado}
\Cuatrimestre{Verano --- 2016}
\Practica{1}
\Titulo{Números reales y sucesiones}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Abreviaturas
\newcommand\CC{\mathbb{C}}
\newcommand\RR{\mathbb{R}}
\newcommand\QQ{\mathbb{Q}}
\newcommand\ZZ{\mathbb{Z}}
\newcommand\NN{\mathbb{N}}

\newcommand\eps{\varepsilon}
\newcommand\abs[1]{\lvert#1\rvert}
\newcommand\absx[1]{\left\lvert#1\right\rvert}
\newcommand\gen[1]{\left\langle#1\right\rangle}
\renewcommand\emptyset{\varnothing}
\newcommand\nbd\nobreakdash
\newcommand\Lim{\lim\limits}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% proclaiming things
\theoremseparator{.}
\newtheorem*{Definicion}{Definición}
\theoremindent\parindent
\newtheorem*{Teorema}{Teorema}
\newtheorem*{Proposicion}{Proposición}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}

\maketitle

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{ejercicios}

%%%%%%%%%%
\item A partir de los axiomas de cuerpo pruebe que para todos $a$, $b$, $c$, $d\in\RR$ 
vale que:
\begin{ejitems}

\item $0\cdot a=a\cdot 0=0$;

\item si $ab=ac$ y $a\ne0$ entonces $b=c$;

\item si $ab=0$ entonces $a=0$ o $b=0$;

\item $(-a)b=-(ab)$ y $(-a)(-b)=ab$;

\item si $b\neq 0$ y $d\neq 0$, entonces $(a/b)(c/d)=(ac)/(bd)$.

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%
\item  A partir de los axiomas de cuerpo ordenado pruebe que
para todos $a$, $b$, $c\in\RR$ vale que:
\begin{ejitems}

\item  si $a<b$ y $c>0$, entonces $ac<bc$;

\item  si $a<b$ entonces $-b<-a$;

\item  si $a\neq0$ entonces $a^{2}>0$;

\item si $ab>0$ entonces $a$ y $b$ son ambos positivos o ambos negativos;

\item si $a^{2}+b^{2}=0$ entonces $a=b=0$;

\item si $a \leq b$ y $b \leq a$ entonces $a=b$.

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%
\item  Sea $A$ un subconjunto no vacío de $\RR$ y sea $s \in \RR$.
Muestre que las siguientes afirmaciones son equivalentes.
\begin{ejitems}

\item $s$ es el supremo de~$A$.

\item $s$ satisface las siguientes dos condiciones:

\begin{itemize}

\item para todo $a\in A$ se tiene $s\geq a$; 

\item si $t\geq a$ para todo $a\in A$, entonces $t\geq s$.

\end{itemize}

\item $s$ satisface las siguientes dos condiciones:

\begin{itemize}

\item para todo $a\in A$ se tiene que $s\geq a$;

\item para todo $\eps>0$ existe $a\in A$ tal que $s-\eps<a$.

\end{itemize}

\item $s$ satisface las siguientes dos condiciones:

\begin{itemize}

\item para todo $a\in A$ se tiene que $s\geq a$;

\item existe una sucesión $(a_{n})_{n\in\NN}$ contenida $A$ tal
que $\lim\limits_{n\to\infty}a_{n}=s$.

\end{itemize}
\end{ejitems}

\noindent Enuncie caracterizaciones análogas para el ínfimo de $A$, 
y demuestre su equivalencia.

%%%%%%%%%%
\item Sean $A$ y $B$ dos conjuntos no vacíos de~$\RR$ tales que $A\subseteq B$.

\begin{ejitems}

\item Supongamos que $A$ y $B$ están acotados superior e inferiormente.
Establezca y demuestre las relaciones de orden que hay entre los números
$\sup(A)$, $\inf(A)$, $\sup(B)$ e $\inf(B)$.

\item ¿Qué sucede cuando alguno de los conjuntos no está acotado superior o
inferiormente?

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%
\item  Hallar, si existen, el supremo, el ínfimo, el máximo y el mínimo de los
siguientes subconjuntos de $\RR$:
\begin{multicols}{2}
\begin{ejitems}

\item $A_{1}=(a,b]$, con $a,b \in \RR$.

\item $A_{2}=\{\tfrac{1}{2^{n}}:n\in\NN\}$.

\item $A_{3}=A_{2}\cup\{0\}$.

\item $A_{4}=\{x\in\QQ:0\leq x\leq\sqrt{2}\}$.

\item $A_{5}=\{x^{2}-x-1:x\in\RR\}$.

\item $A_{6}=\{\frac{1}{n}+\frac{1}{m}:n,m\in\NN\}$.

\item $A_{7}=\{x^{2}-5x+4:x\in[2,4)\}$.

\item $A_{8}=\emptyset$.

\end{ejitems}
\end{multicols}

%%%%%%%%%%
\item Si $A\subset\RR$ es no vacío, para cada $c\in\RR$ consideramos los
conjuntos
  \begin{align*}
  &c\cdot A = \{cx:x\in A\},
  &
  &-A=(-1)\cdot A.
  \end{align*}
Pruebe las siguientes afirmaciones.
\begin{ejitems}

\item  Si el conjunto $A$ está acotado superiormente, entonces $-A$ está acotado
inferiormente e $\inf(-A)=-\sup A$.

\item  Si $c>0$ y el conjunto $A$ está acotado superiormente, entonces $c\cdot
A$ también lo está y $\sup(c\cdot A)=c\cdot\sup A$.

\item ¿Qué se puede decir cuando $c<0$?

\end{ejitems}

\noindent Enuncie y demuestre resultados análogos a los anteriores para
$\inf(c\cdot A)$.

%%%%%%%%%%
\item* Si $A, B\subseteq\RR$ son ambos no vacíos, consideramos los
conjuntos
  \begin{align*}
  &A+B =\{a+b:a\in A,b\in B\},
  &
  &A\cdot B = \{ab:a\in A,b\in B\}
  \end{align*}
\begin{ejitems}

\item ¿Qué condiciones deben satisfacer $A$ y $B$ para que exista $\sup(A+B)$?
Cuando se cumplen, ¿qué relación hay entre $\sup(A+B)$ y $\sup(A)+\sup(B)$?

\item Realice el mismo análisis para el conjunto $A\cdot B$ y
los números $\sup(A\cdot B)$ y $\sup(A)\cdot\sup(B)$.

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%
\item Sean $a,b \in \RR$ tales que $a<b$. Probar las siguientes afirmaciones.
\begin{ejitems}
\item Existe un único entero $n$ tal que $n\leq a <n+1$. Llamamos 
a $n$ la \emph{parte entera} de $a$ y lo denotamos $[a]$.

\item Existe $q \in \QQ$ tal que $a < q < b$. 

\item  Para cada $x\in\RR$ existe una sucesión $(q_{n})_{n\in\NN}$ 
en $\QQ$ tal que $\lim\limits_{n\rightarrow\infty} q_{n}=x$. Más aún, 
$(q_n)_{n \in \NN}$ puede elegirse decreciente.
\end{ejitems}
\noindent A raíz de este hecho decimos que $\QQ$ es \emph{denso} en $\RR$.
%%%%%%%%%%
\item* Sea $(a_{n})_{n\in\NN}$ una sucesión de números reales tal que
$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}a_{n}=L$.

\begin{ejitems}
\item  Probar que si $r<L$ entonces existe $n_{0}\in\NN$ tal que $a_{n}>r$
para todo $n\geq n_{0}$. 

\item Análogamente, si $r>L$, entonces existe $n_{0}\in\NN$ tal 
que $a_{n}<r$ para todo $n\geq n_{0}$.

\item ¿Puede reformularse (a) si se sabe solamente que $r\leq L$?

\item ¿Qué puede decirse de $L$ si existe $n_{0}\in\NN$ tal que
$a_{n}>r$ para todo $n\geq n_{0}$? 

\end{ejitems}


%%%%%%%%%%
\item Si $(a_n)_{n\in\NN}$ es una sucesión de números positivos tal que 
$\lim a_n=A$, entonces se tiene que $\lim\sqrt{\strut a_n}=\sqrt{\strut A}$.

%%%%%%%%%%
\item Sea $(b_n)_{n\in\NN}$ la sucesión definida recursivamente de la siguiente manera:
$b_0=\sqrt{2}$ y $b_{n+1}=\sqrt{2+b_n}$ para cada $n \geq 0$. Muestre que $(b_n)_{n 
\in \NN}$ es monótona y que está acotada superiormente por~$2$. Determine su límite.

%%%%%%%%%%
\item Fijemos $x_1$,~$y_1\in\RR$ tales que $x_1>y_1>0$ y para cada $n\geq 0$ sean
  \begin{align*}
  &x_{n+1}=(x_n+y_n)/2, 
  &
  &y_{n+1}=\sqrt{x_ny_n}.
\intertext{Pruebe que para todo $n\in\NN$ vale que}
  &y_n<y_{n+1}<x_1, 
  &
  &y_1<x_{n+1}<x_n 
\shortintertext{y}
  &0<x_{n+1}-y_{n+1}<(x_1-y_1)/2^n.
  \end{align*}
Deduzca que ambas sucesiones convergen y que 
$\Lim_{n\to\infty} x_n=\Lim_{n\to\infty}y_n$.

%%%%%%%%%%
\item Hallar los puntos límites y los límites superior e inferior de las siguientes 
sucesiones:
\begin{multicols}{2}
\begin{ejitems}

\item $1-\frac{1}{n}$,

\item $(-1)^{n}$,

\item $\cos\frac{n\pi}{2}$,

\item $(-1)^{n}(2+\frac{3}{n})$,

\item $\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{1}{4},
       \frac{2}{4}, \frac{3}{4}, \frac{1}{5} ,\frac{2}{5}, \dots$,

\item $\frac{1}{n}(n+(-1)^{n}(2n+1))$.

\end{ejitems}
\end{multicols}

%%%%%%%%%%
\item Si $(a_{n})_{n\in\NN}$ y $(b_{n})_{n\in\NN}$ son sucesiones acotadas de
números reales, determine las relaciones de orden entre los siguientes cuatro
números:
  \begin{align*}
  &\liminf (a_{n}+b_{n}),
  &&\limsup (a_{n}+b_{n}), \\
  &\limsup a_{n}+\limsup b_{n},
  &&\liminf a_{n}+\liminf b_{n}.
  \end{align*}

%%%%%%%%%%
\item\begin{ejitems}

\item Sea $(a_n)_{n\in\NN}$ una sucesión de términos positivos 
tal que 
  \[
  \limsup \frac{a_{n+1}}{a_n}=\theta<1.
  \]
Probar que $\Lim_{n \to +\infty} a_n=0$. 

\item Usando este resultado, muestre que 
\begin{ejitems}

\item Si $\alpha>0$, entonces $\Lim_{n \to +\infty} (\alpha^n/n!)=0$. 

\item $\Lim_{n \to +\infty} n!/n^n=0$. 

\item Si $0<\alpha<1$ y $k$ es un entero, entonces $\Lim_{n \to +\infty} n^k\alpha^n=0$.

\end{ejitems}
\end{ejitems}

%%%%%%%%%%
\item Sean $x_1$,~$a\in\RR$ tales que $x_1>0$ y $a>x_1^2+x_1$,
y para cada $n\in\NN$ sea $x_{n+1}=a/(1+x_n)$.
\begin{ejitems}
\item Probar que $x_{2n-1} < x_{2n}$ para todo $n \in \NN$.

\item Para cada $n \in \NN$ notamos por $I_n$ al intervalo $[x_{2n-1}, x_{2n}] \subset
	\RR$. Probar que $I_{n+1} \subset I_{n}$ para todo $n \in \NN$.

\item Probar que $\bigcap \limits_{n \in \NN} I_n = \{\xi\}$, donde $\xi \in \RR$ es una
raíz de la ecuación $x^2 + x - a$.
\end{ejitems}
\begin{Indicacion}
Muestre que para todo $n\in\NN$ los números $x_{n+1}-x_n$ y $x_n-x_{n-1}$ tienen signos
diferentes y que existe $\theta\in(0,1)$ tal que $\abs{x_{n+1}-x_n}\leq
\theta\abs{x_n-x_{n-1}}$ para todo $n\in\NN$.
\end{Indicacion}

%%%%%%%%%%
\item Sea $(I_n)_{n\in\NN}$ una sucesión de intervalos cerrados tales que  
$I_1\supseteq I_2\supseteq\cdots\supseteq I_n\supseteq I_{n+1}\supseteq\cdots$;
para cada $n\in\NN$ notamos por $\lambda_n$ la longitud de $I_n$. Mostrar que
$\Lim_{n \to +\infty} \lambda_n$ existe y que si $\Lim_{n \to +\infty}\lambda_n>0$ 
entonces $\bigcap\limits_{n\in \NN}I_n$ es un intervalo cerrado de longitud 
$\Lim_{n \to +\infty} \lambda_n$.

%%%%%%%%%%
\item Sea $(a_n)_{n\in\NN}$ una sucesión acotada superiormente. Probar que $M \in \RR$ 
es el límite superior de esta sucesión si y sólo si para todo $\eps>0$ 
\begin{itemize}

\item existen infinitos $n\in\NN$ para los que $a_n>M-\eps$, y

\item existe solamente una cantidad finita de $n\in\NN$ para los que
$a_n>M+\varepsilon$.

\end{itemize}

\item* Sea $(a_{n})_{n\in\NN}$ una sucesión de números
reales y sea $(\sigma_{n})_{n\in\NN}$ la sucesión dada por
  \[
  \sigma_{n}=\frac {a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}}{n}
  \]
  para cada $n \in \NN$.
\begin{ejitems}

\item Decida si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas.
\begin{ejitems}

\item Si $\Lim_{n\to\infty} a_n=0$ entonces 
$\Lim_{n\rightarrow\infty}\sigma_{n}=0$.

\item Si $\Lim_{n\rightarrow\infty}\sigma_{n}=0$ entonces 
$\Lim_{n\to\infty} a_n=0$.

\item Si $\Lim_{n\to\infty} a_n = L$, entonces 
$\Lim_{n\to\infty} \sigma_n=L$.
\end{ejitems}

\item ¿Puede suceder que $\limsup a_n=\infty$ mientras que 
$\Lim_{n\to\infty} \sigma_n=0$? 

\item Pruebe que si $b_n=a_{n+1}-a_n$ para cada $n\in\NN$, 
$\Lim_{n\to\infty} \sigma_n=L$ y 
$\Lim_{n\to\infty} n b_n=0$, entonces $\Lim_{n \to +\infty} a_n=L$.

\begin{Indicacion}
Muestre que $a_n-\sigma_n=\frac1n\sum\limits_{k=1}^{n-1} kb_k$.
\end{Indicacion}

\end{ejitems}

\end{ejercicios}

\end{document}
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