\documentclass[a4paper,10pt,fleqn,oneside]{article}
\usepackage{amsmath,amsfonts,amssymb}  %paquetes útiles, contienen símbolos
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% Abreviaturas
\newcommand\CC{\mathbb{C}}
\newcommand\RR{\mathbb{R}}
\newcommand\QQ{\mathbb{Q}}
\newcommand\ZZ{\mathbb{Z}}
\newcommand\NN{\mathbb{N}}

\begin{document}
\noindent 
\textbf{Ejercicio X, Práctica Y.}  
Sean $a,b \in \RR$ tales que $a<b$. Probar las siguientes afirmaciones.

\begin{enumerate}[label=\emph{(\alph*)}]
\item Existe un único entero $n$ tal que $n\leq a <n+1$. Llamamos 
a $n$ la \emph{parte entera} de $a$ y lo denotamos $[a]$.

\item Existe $q \in \QQ$ tal que $a < q < b$. 

\item  Para cada $x\in\RR$ existe una sucesión $(q_{n})_{n\in\NN}$ 
en $\QQ$ tal que $\lim\limits_{n\rightarrow\infty} q_{n}=x$. Más aún, 
$(q_n)_{n \in \NN}$ puede elegirse decreciente.
\end{enumerate}
A raíz de este hecho decimos que $\QQ$ es \emph{denso} en $\RR$.

\bigskip
\noindent\emph{Solución:}
Vamos a demostrar cada ítem por separado
\begin{enumerate}[label=\emph{(\alph*)}]
\item 
Consideremos el conjunto $A = \{n \in \NN_0 \mid n \leq |a|\}$; es un 
conjunto acotado superiormente, con $|a|$ como cota superior. Como $0 \in 
A$, el axioma del supremo dice que $A$ tiene un supremo, al que llamamos 
$s$. Por definición $s \leq |a|$, y además sabemos que existe un natural
$n \in A$ tal que
\[
	s - \frac12 \leq n \leq s.
\]

Al ser $n \in A$, se tiene que $n \leq |a|$; veamos que además $|a|\leq n+1$. Sumando $1$
en cada lugar de la ecuación anterior obtenemos
\[
	s+ \frac12 \leq n+1 \leq s+1,
\]
luego $n+1 \notin A$, ya que $s$ es una cota superior de este conjunto. Tenemos entonces
que $n \leq |a| < n+1$, o abriendo el módulo
\begin{align*}
n \leq a & < n+1 & \mbox{si } a \geq 0; \\
-n-1 <  a &\leq -n & \mbox{si } a \leq 0.
\end{align*}
Luego si $a \geq 0$ entonces podemos tomar $[a] = n$. En cambio, si $a < 0$ tenemos dos
posibilidades: $a = -n$, en cuyo caso $[a] = -n$ cumple con la desigualdad pedida,
mientras que si  $a < -n$ entonces tomamos $[a] = -n-1$.


\item
Si $b - a > 1$ entonces $a < [a] + 1 \leq a + 1 < b$, y podemos tomar $q = 
[a] + 1$. 

Si $b-a \leq 1$ entonces $\frac{1}{b-a} \geq 1$. Tomando
$n = \left[\frac{1}{b-a}\right]$ obtenemos la desigualdad
$\frac{1}{b-a} < n+1$, o equivalentemente 
\[
	1 < (n+1)b - (n+1)a.
\] 
Por lo visto antes $(n+1)a < [(n+1)a] + 1< (n+1)b$, y por lo tanto
\[
	a < \frac{[(n+1)a] + 1}{n+1} < b.
\]
Luego en este caso podemos tomar $q = \frac{[(n+1)a] + 1}{n+1}$.

\item
Definimos la sucesión $(q_n)_{n \geq 0}$ de manera recursiva.

Por definición tomamos $q_0 = [x] + 1$. Sea $n \in \NN$, y supongamos que tenemos definida
una sucesión finita $q_0 > q_1 > \cdots > q_n > x$ con $q_i \in \QQ$
para todo $i = 1, \ldots, n$. Como $q_n > x$, se tiene que $(q_n +x)/2>x$ y por el ítem
anterior existe un número racional $q_{n+1}$ tal que
\[
	x < q_{n+1} < \frac{q_n + x}{2} < q_n.
\]
Obtenemos así el término $n+1$-ésimo de nuestra sucesión, y como $q_n > q_{n+1}$ y
$q_{n+1} \in \QQ$, la recursión está bien definida.

Para terminar, tenemos que ver que $q_n \to x$. Para ello vamos a probar que  para cada $n
\geq 0$ vale la desigualdad
\[
	0 \leq q_n - x \leq 1/2^n,
\]
de la que se deduce que $\lim\limits_{n \to \infty} q_n = x$ por el lema
del sandwich.

Probamos la afirmación por inducción. El caso base afirma simplemente que
\[
	0 \leq q_0 - x = [x] + 1 - x \leq 1,
\]
y ambas desigualdades se deducen de la definición de la parte entera de $x$.
Por otro lado
\[
	q_{n+1} - x = \frac{q_n + x}{2} - x = \frac{q_n - x}{2}.
\]
Aplicando la hipótesis inductiva al numerador de esta fracción, vemos que 
\[
	0 \leq \frac{q_n -x}{2} = q_{n+1} -x \leq \frac{1}{2^{n+1}}
\]
que es justamente lo que queríamos probar, y como señalamos más arriba de esta desigualdad
se deduce que $q_n \to x$. 

Notar que este razonamiento depende crucialmente de haber elegido $q_{n+1}$ entre $(q_n +
x)/2$ y $x$, y que tomar $q_{n+1}$ entre $q_n$ y $x$ no alcanza para garantizar la
convergencia.
$\hfill\blacksquare$
\end{enumerate}

\newpage

\sf{Algunas observaciones}
\begin{enumerate}
	\item El texto es español, con algunos símbolos matemáticos auxiliares. En
		particular, frases como "para todo", "existe", "entonces", etc. se escriben en
		español y \emph{nunca} se reemplazan por un símbolo lógico; este se reserva para
		fórmulas lógicas, porque tiene un significado muy preciso que es distinto al uso
		coloquial que le damos a estas expresiones. (Piensen que nunca reemplazamos la
		palabra "por" por una cruz de multiplicación...)

	\item Las acotaciones que no están relacionadas directamente con la solución del
		ejercicio son mínimas o inexistentes. A veces es tentador explicar cómo llegamos a
		una idea o justificar una definición antes de usarla; eso es bastante tramposo,
		porque lo que es intuitivo para una persona es confuso para otra. Mejor dejar que la
		matemática hable por sí sola: si una definición es útil, se va a notar cuando la
		usemos. 

	\item Si de todas maneras quieren hacer algún comentario meta-matemático ("La intuición
		detrás de la definición es que NARF", "tomamos $(q_n + x)/2$ y no simplemente
		$q_n$ porque ZORT"), tiene que quedar claramente diferenciado del razonamiento
		matemático, por ejemplo en una frase al final de un párrafo cuando el razonamiento
		esté completo, pero nunca en el medio.

	\item Esta no es la primera, ni la segunda, ni la tercera versión de este documento.
		Fue reescrito varias veces, tratando de ser lo más eficiente posible.

	\item[6.] Hay que escribir y reescribir, pero no obsesionarse. No existe documento
		sin errores. (Esta frase esconde una broma, pero también ilustra una idea; el humor
		funciona en un documento matemático cuando la gracia radica en haber entendido el
		punto.)
\end{enumerate}
Para más consejos sobre cómo escribir matemática como los campeones (en inglés), visite
http://www-cs-faculty.stanford.edu/\~{}uno/klr.html.
\end{document}
