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\Materia{Geometría Diferencial}
\Cuatrimestre{Primer Cuatrimestre --- 2016}
\Practica{8}
\Titulo{Cohomología de de Rham}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\maketitle
\begin{ejercicios}
\item Calcular la cohomología de de Rham  
de las siguientes variedades. Recordamos que calcular la cohomología consiste
en hallar una base de $H^i_{dR}(M)$ para cada $i \geq 0$.
\begin{multicols}{2}
\begin{ejitems}
\item La banda de Moebius abierta.
\item $S^n$ para todo $n \geq 1$.
\item $\RR^k \setminus Z$, donde $Z$ es un conjunto finito.
\item $\TT^n$ para todo $n \geq 1$.
\item $S^1 \times \RR$.
\item $S^1 \times [-1,1]$.
\item $\PP^2(\RR)$.
\item La botella de Klein.
\end{ejitems}
\end{multicols}

\item ¿Es posible presentar $\RR^2$ como la unión de dos abiertos conexos cuya intersección
	no sea conexa?
	
\item Sean $\omega \in \Omega^p(M), \nu \in \Omega^q(M)$ formas cerradas. Probar que $\omega \wedge 
\nu$ también es cerrada, y que la clase de $\omega \wedge \nu$ en la cohomología depende únicamente
de las clases de $\omega$ y $\nu$. 

\item Muestre que como variedades $\GL_n(\RR) \cong \OO_n(\RR) \times
	\RR^{\frac{n(n+1)}{2}}$ y $\SL_n(\RR) \cong \SO_n(\RR)\times \RR^{\frac{n(n+1)}{2}}$.
	Calcule la cohomología de $\SL_2(\RR)$.

\item Sea $M$ una variedad. Demuestre las siguientes afirmaciones.
\begin{ejitems}
\item Si $M$ es contractil entonces $H^k_{dR}(M)=\begin{cases} \RR &\mbox{si } k=0
	\\  0 &\mbox{si } k>0 \end{cases}$.
\item Si $\omega \in \Omega^k(M)$ es cerrada entonces para todo $p\in M$ existen un
	entorno $U$ de $p$ y $\eta^U \in \Omega^{k-1}(U)$ tal que $\omega|_U = \dd \eta^U$.
	¿Qué debe ocurrir con las formas $\eta^U$ para que este resultado pueda extenderse
	a $M$?
	
\end{ejitems}

\item Sean $p, q \in \RR^n$. Decimos que un conjunto $A \subset \RR^n$ separa a $p$ y $q$
	si cada punto pertenece a una componente conexa distinta de $\RR^n \setminus A$. Dados
	dos cerrados disjuntos $A, B \subset \RR^n$, probar que si $A \cup B$ separa
	a $p$ y $q$, entonces al menos uno entre $A$ y $B$ los separa.

\item Sea $k < n-1$, y supongamos que $A \subset \RR^n$ es difeomorfo a $S^k$. Probar que
\begin{align*}
	H^\bullet_{dR}(\RR^n \setminus A) &= 
	\begin{cases}
		\RR & \mbox{si } \bullet = 0, n-k-1, n-1; \\
		0 & \mbox{si no.}
	\end{cases}
\end{align*}

\item Probar que si un abierto $U \subset \RR^n$ puede ser cubierto por un número finito de 
abiertos convexos, entonces $H^i_{dR}(U)$ tiene dimensión finita para todo $i$.

\item Sea $M$ una variedad compacta, orientable y sin borde de dimensión $n$. Probar que
	la integración sobre $M$ induce un isomorfismo $H^n_{dR}(M) \cong \RR$.

\item Sea $M$ una variedad diferenciable. Definimos $\Omega_c^k(M) \subset \Omega^k(M)$
	como el subespacio de $k$-formas con soporte compacto. 
\begin{ejitems}
\item Probar que $\dd(\Omega^k_c(M)) \subset \Omega^{k+1}_c(M)$. Concluir que
	$(\Omega^k_c(M), \dd)$ es un complejo. Por definición, la \emph{cohomología con
	soportes compactos} de $M$, notada por $H^k_c(M)$, es el $k$-ésimo grupo de cohomología
	de este complejo.
\item Calcular $H_c^\bullet(\RR^n)$ para $n = 2, 3$.
\item Probar que $H^n_c(\RR^n) \neq 0$ para todo $n \geq 1$.
\item Probar que si $f: M \to N$ es una función diferenciable propia, es decir que la
	preimagen de cualquier compacto es compacta, entonces $f^*(\Omega^k_c(N)) \subset
	\Omega^k_c(M)$. ¿Es necesaria la hipótesis de propiedad?
\end{ejitems}

\item Calcular la cohomología con soportes compactos de las variedades del ejercicio
1.

\item Probar que la integración de formas induce un isomorfismo $H^n_{c}(M) \cong \RR$. 


\section{El teorema fundamental del álgebra}

En toda esta subsección, $M, N$ son variedades diferenciables compactas, conexas y
orientables de la misma dimensión $n$, y $f: M \to N$ es una función diferenciable.

\item
Probar las siguientes afirmaciones. 

\begin{ejitems}

\item La función $f$ se dice propia si la preimagen de todo conjunto 
compacto es compacta. Si $f$ es propia entonces existe $r \in \RR$ tal que el 
siguiente diagrama conmuta
\begin{align*}
\xymatrix{
	H^n_{c}(N) \ar[r]^-{f^*} \ar[d]_-\int 
		& H^n_{c}(M) \ar[d]^-\int \\
	\RR \ar[r]^-{l_r} 
		& \RR
}
\end{align*}
donde $l_r$ es la función dada por multiplicar por $r$. 
Llamamos a $r$ el \emph{grado} de la función $f$.

\item
Si $f$ es un difeomorfismo entonces $\deg f = \pm 1$, y el signo depende de si
$f$ preserva o invierte la orientación.

\item
Si $f$ no es sobreyectiva, entonces $\deg f = 0$.

\item
Sea $q \in N$ un valor regular de $f$. Llamamos $f^{-1}(q)^+$ a los puntos de $f^{-1}(q)$
donde $f$ tiene Jacobiano positivo, y $f^{-1}(q)^-$ a los puntos donde $f$ tiene Jacobiano
negativo. Con esta notación $\deg f = \# f^{-1}(q)^+ - \# f^{-1}(q)^-$. En particular, 
$\deg f \in \ZZ$.
\end{ejitems}


\item
Tomamos $\CC \cong \RR^2$ con la orientación antihoraria. Sea $f: \CC \to \CC$ una función 
polinomial compleja.
\begin{ejitems}
\item Probar que $d_z f = |f'(z)|^2$ para todo $z \in \CC$. En particular $f$ tiene valores 
regulares.

\item Probar que $f$ es propia y que para todo valor regular $f^{-1}(q) = f^{-1}(q)^+$. 

\item Deducir el teorema fundamental del álgebra.
\end{ejitems}





\end{ejercicios}


\end{document}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
