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\Materia{Geometría Diferencial}
\Cuatrimestre{Primer Cuatrimestre --- 2016}
\Practica{7}
\Titulo{Grupos de Lie y curvas integrales}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{document}
\maketitle

\section{Curvas integrales y flujos}

\begin{ejercicios}
\item Sea $M$ una variedad diferencial de dimensión $1$ sin borde. Probar que $M \cong 
\RR$ o $M \cong S^1$. \emph{Sugerencia:} Considere un campo nunca nulo sobre $M$ y 
estudie su curva integral.

\item Sea $M$ una variedad de dimensión $n$, y $(U, \phi)$ una carta de $M$. Hallar una 
curva integral (no necesariamente maximal) de los campos $\frac{\partial}{\partial 
\phi^i}$ con $1 \leq i \leq n$.

\item En cada caso hallar explícitamente las curvas integrales de los campos dados. 
Decidir si son completas y si su imagen es cerrada.
\begin{ejitems}
\item Dado un expacio vectorial $V$, fijamos $v \in V$ y tomamos el campo $X_p = v_p$.
\item Sea $\pi: \RR^2 \to \TT^2$ la función cociente habitual. Fijamos $v \in \RR^2$
y tomamos $X \in \mathfrak X(\TT^2)$ dado por $X_{[p]} = \pi_{*,p}(v_p)$.
\end{ejitems}

\item Sean $M$ una variedad, $X \in \mathfrak X(M)$ y $\theta: (a,b) \to M$ una curva
integral maximal de $X$. Probar que si existe $t \neq 0$ tal que $\theta(t) = \theta(0)$ 
entonces $\theta$ es periódica y $(a,b) = \RR$.

\item Sean $M, N$ variedades diferenciales, $f: M \to N$ una función diferenciable, y $X 
\in \mathfrak X(M)$, $Y \in \mathfrak X(N)$ dos campos $f$-relacionados. Probar que si 
$\gamma: (a,b) \to M$ es una curva integral de $X$ entonces $f \circ \gamma$ es una 
curva integral de $Y$.

\item Sea $M$ una variedad, y sea $\theta: \RR \times M \to M$ una acción suave. Para 
cada $t \in \RR$ notamos $\theta_t(m) = \theta(t,m)$; con esta notación el hecho de que 
$\theta$ sea una acción suave nos dice que $\theta_t$ es un difeomorfismo para cada $t$
y que $\theta_t \circ \theta_s = \theta_{t+s}$. Para cada $f:M \to \RR$ suave definimos
\begin{align*}
X(f)(m) = \lim_{t \to 0}\frac{f(\theta_t(m)) - f(m)}{t}.
\end{align*}
Probar que $X$ es un campo diferenciable y que el flujo generado por $M$ es exactamente 
$\theta$.

\item Sea $M$ una variedad orientada y sea $\theta: M \times \RR \to M$ el flujo de un 
campo diferenciable $X$. Probar que para cada tiempo $t \in \RR$ la función $\theta_t$
es un difeomorfismo orientado.

\section{Grupos de Lie}

\item Sea $n \in \NN$ y sea $A_n$ el conjunto de todas las transformaciones lineales 
afines inversibles de $\RR^n$. Probar que es un grupo de Lie, calcular su dimensión y 
caracterizar su álgebra de Lie. ¿Existe algún morfismo inyectivo $A_n \to \GL_m(\RR)$?

\item Sea 
\begin{align*}
H_1 = \left\{ \begin{pmatrix} 1 & a & b \\ 0 & 1 & c \\ 0 & 0 & 
1\end{pmatrix} \in \GL_3(\RR): a,b,c \in \RR\right\}.
\end{align*}
Este es el \emph{primer grupo de Heissenberg}. Probar que $H_1$ es un subgrupo cerrado
de $\GL_3(\RR)$, y hallar su álgebra de Lie.

\item Hallar la exponencial de los siguientes grupos de Lie. Comprobar que la diferencial
de la exponencial en $0$ es la identidad.
\begin{multicols}{2}
\begin{ejitems}
\item $\RR$ con la suma.
\item $\RR_{>0}$ con el producto.
\item $\TT^n$ con el producto.
\item $\CC^\times$ con el producto.
\item $H_1$ con el producto de matrices.
\item $A_n$ con la composición de funciones.
\end{ejitems}
\end{multicols}

\item Sea $G$ un grupo de Lie y sea $X$ un campo $G$-invariante a izquierda. Probar que 
el flujo $\theta_t^X: G \to G$ está dado por $\theta_t^X(h) = h(\exp(tX))$.


\item Este ejercicio muestra que $\exp: \g \to G$ no es sobreyectiva en general, ni 
siquiera sobre la componente conexa de la identidad de $G$.
\begin{ejitems}
\item Probar que la matriz $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0\end{pmatrix}$ no está en la 
imagen de $\exp: \gl_2(\RR) \to \GL_2(\RR)$. 

\item Probar que toda matriz en $\exp(\gl_2(\RR))$ tiene una raíz cuadrada. Concluir que
$\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -2\end{pmatrix}$ no está en la imagen de $\exp$.
\end{ejitems}

\noindent\textbf{Definición:} Sea $G$ un grupo de Lie y $H$ un subgrupo algebraico.
Decimos que $H$ es un subgrupo de Lie si es una variedad diferenciable y la inclusión 
$i: H \to G$ es una inmersión. 

\item Sea $G$ un grupo de Lie y sea $H \subset G$ un subgrupo algebraico que además es 
una subavriedad regular. Probar que $H$ es un subgrupo de Lie cerrado.

\item Sea $H \subset G$ un subgrupo de Lie. Probar que su clausura también lo es.

\item Sea $\phi: G \to H$ un morfismo de grupos de Lie. Probar las siguientes 
afirmaciones.
\begin{ejitems}
\item El diferencial $\phi_{*,0}: \g \to \h$ es un morfismo de álgebras de Lie.
\item El siguiente diagrama conmuta.
\begin{align*}
\xymatrix{
	G \ar[r]^-\phi & H \\
	\g \ar[r]^-{\phi_{*,0}} \ar[u]^-\exp & \h \ar[u]_-\exp
}
\end{align*}
\end{ejitems}

\item Sea $\PGL_n \subset \PP(M_n(\RR))$ la imagen en el cociente de $\GL_n(\RR)$. 
Al ser un abierto de un espacio proyectivo es una variedad diferenciable, y el producto
de matrices induce un producto en él.
\begin{ejitems}
\item Probar que $\PGL_n(\RR)$ es un grupo de Lie y que la proyección $\pi: \GL_n(\RR) 
\to \PGL_n(\RR)$ es un morfismo diferenciable de grupos de Lie y una aplicación cociente.

\item Caracterizar el álgebra de Lie de $\PGL_n(\RR)$ y calcular su exponencial.
\end{ejitems}

\item \begin{ejitems}
\item Sea $n \in \NN$ y sea $V \subset \RR^n$ un subespacio vectorial. Probar que
\[P_V = \{m \in \GL_n(\RR): mV \subset V\}\] es un grupo de Lie y hallar su dimensión.
\item Sea $d \in \NN, 1 \leq d \leq n$, y sea $\{0\} \subsetneq V_1 \subsetneq V_2 
\subsetneq \cdots \subsetneq V_d \subset \RR^n$ una cadena estrictamente creciente
de subespacios vectoriales; a esto se le suele llamar una \emph{bandera}. Probar que
\[P = \{m \in \GL_n(\RR) : mV_i \subset V_i \mbox{ para cada } 1 \leq i \leq d \}\]
es un grupo de Lie y hallar su dimensión. Decimos que los elementos de $P$ 
\emph{estabilizan} la bandera.

\item Hallar el grupo de estabilizadores de la bandera canónica
\[
\{0\} \subsetneq \{e_1\} \subsetneq \{e_1, e_2\} \subsetneq \cdots \subsetneq \{e_1 
\ldots, e_n\}.
\]
\end{ejitems}


\item Sean $G$ un grupo de Lie, $g \in G$ y $C_g: G \to G$ dada por $C_g(h) = ghg^{-1}$.
Se define $\Ad: G \to \GL(\g)$ como $\Ad(g) = (C_g)_{*,0}$. 
\begin{ejitems}
\item Probar que $\Ad$ es un morfismo de grupos de Lie. Esto define una acción de $G$ 
sobre el espacio vectorial $\g$, que se denomina la \emph{representación adjunta} de $G$.

\item Se define $\ad: \g \to \gl(\g)$ como $\ad(X)(Y) = [X,Y]$. Probar que este es un 
morfismo de álgebras de Lie; este morfismo es la \emph{representación adjunta} de $\g$.

\item Probar que $\Ad_{*,0} = \ad$.
\end{ejitems}
\end{ejercicios}

\end{document}