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\Materia{Geometría Diferencial}
\Cuatrimestre{Primer Cuatrimestre --- 2016}
\Practica{5}
\Titulo{Formas diferenciables y orientabilidad}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\maketitle

\section{El fibrado cotangente y las $1$-formas}
\noindent\textbf{Definición:} Una $1$-forma es una sección del fibrado cotangente no
necesariamente continua. Notamos por $\Omega^1(M)$ al conjunto de las $1$-formas 
diferenciables de $M$.

\begin{ejercicios}
\item Sea $f: M \to \RR$ una función suave. Recordemos que $d_p f \in (T_pM)^*$ se define
por la fórmula $d_p f(X_p) = X_p(f)$. Sea $(\phi, U)$ una carta de $M$.
\begin{ejitems}
\item Probar que $\{d_p \phi^i : 1 \leq i \leq n\}$ es la base de $T_p^*M$ dual a
	$\{\frac{\partial}{\partial \phi^i}\big|_p : 1 \leq i \leq n\}$.

\item Probar que vale la fórmula
	$
		d_p f = \sum\limits_{i = 1}^n \frac{\partial f}{\partial \phi^i}(p) d_p \phi^i.
	$
\end{ejitems}

\item Sea $M$ una variedad diferenciable y sea $\pi: T^*M \to M$ su fibrado cotangente. 
Probar las siguientes afirmaciones.
\begin{ejitems}
\item Toda sección de $T^*M$ es localmente de la forma $\sum_i a_i d \phi^i$, con 
	$a_i: M \to \RR$. Además, una sección es suave si y solo si las funciones $a_i$ son 
	suaves en todo punto.
\item Para toda $f: M \to \RR$ suave $df$ es una sección suave del fibrado cotangente.
\end{ejitems}

\item Sea $M$ una variedad de dimensión $n$ y sea $\mathcal U$ un cubrimiento de $M$ por 
abiertos coordenados; para cada $U \in \U$ notamos por $\phi_U$ la carta 
correspondiente. Probar que existe una biyección entre $\Omega^1(M)$ y 
\[
	\C^1(\U) = \left\{(f_U) \in \prod_{U \in \U} \C^\infty(U) : 
	d_p(\phi_U \circ \phi_V^{-1})^t f_U(p) = f_V(p)\right\}.
\]

\item Sea $\omega$ una $1$-forma. Probar que las siguientes afirmaciones
	son equivalentes.
\begin{ejitems}
\item La forma $\omega$ es diferenciable.
\item Para toda carta $(U, \phi)$ y todo campo diferenciable $X \in \mathfrak X(U)$ la
	aplicación $p \mapsto \omega(p)(X_p)$ es diferenciable.
\item Para todo campo diferenciable $X\in \mathfrak X(M)$ la aplicación $p \mapsto
	\omega(p)(X_p)$	es diferenciable.
\end{ejitems}

\item
\begin{ejitems}
\item Sean $(U, \phi)$ y $(V, \psi)$ cartas de $M$. Escribir las formas $d \psi^i$ en 
términos de las formas $d \phi^i$ sobre $U \cap V$.
\item Dadas una función $f: M \to N$ suave y $\omega \in \Omega^1(N)$, hallar la 
	expresión local de $f^*(\omega)$ en términos de una carta arbitraria de $M$.
\end{ejitems}

\item Probar las siguientes afirmaciones.
\begin{ejitems}
\item El conjunto de $1$-formas es un $\C^\infty(M)$-modulo, y	$\Omega^1(M)$ es un
	submódulo.
\item Sea $U \subset M$ abierto y $\omega \in \Omega^1(U)$. Existe un abierto $V$ cuya
	clausura está contenida en $U$ y una $1$-forma $\tilde \omega \in \Omega^1(M)$ tal que
	$\tilde \omega|_V = \omega|_V$.
\item Si $M$ es compacta entonces $\Omega^1(M)$ es finitamente generado sobre
	$\C^\infty(M)$.
\item Caracterizar $\Omega^1(S^1)$.
\end{ejitems}



\item Sea $V \subset \RR^2\setminus\{(0,0\}$ abierto. Una función $\theta: V \to \RR$ es
	una \emph{función de ángulo} si para cada $(x,y)\in V$ se tiene
	\begin{align*}
		\cos\theta(x,y)&=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}},&
		\sin\theta(x,y)&=\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}.
	\end{align*}
Demuestre las siguientes afirmaciones:
\begin{ejitems}
\item No existe una función de ángulo continua $\theta:\RR^2 \setminus \{(0,0)\}\to 
\RR$.		
\item Todo punto de $\RR^2 \setminus \{(0,0)\}$ pertenece a un abierto $V$ donde puede
	definirse una función de ángulo $\theta: V \to \RR$ continua.
\item Si $V$ es conexo y $\theta_1,\theta_2:V\to\RR$ son funciones de ángulo continuas
	existe un entero $k$ tal que $\theta_2(x,y)-\theta_1(x,y) = 2k \pi$ para todo $(x,y)\in
	V$.
\item Si existe una función de ángulo continua $\theta: V \to \RR$ entonces es 
diferenciable, y su diferencial es de la forma
	\[
		d\theta=\frac{-y}{x^2+y^2}dx+\frac{x}{x^2+y^2}dy.
	\]
\item Recíprocamente, si la forma $\frac{-y}{x^2+y^2}dx+\frac{x}{x^2+y^2}dy$ es la
	diferencial	de una función $f: V \to \RR$ entonces existe una constante $c \in \RR$
	tal que $\theta(x,y)=f(x,y)-c$ es una función de ángulo continua en $V$.
\end{ejitems}

\item Demuestre las siguientes afirmaciones:
\begin{ejitems}
\item $\omega=-ydx+xdy$ induce una $1$-forma en $S^1$ por restricción.
\item Si $X=-y\frac{\partial}{\partial x}+x\frac{\partial}{\partial y}$ entonces
	$\omega(X)=1$.
\item $\omega$ es una $1$-forma invariante de $S^1$, es decir $(L_g)^*(\omega) = \omega$
	para todo $g\in S^1$.
\end{ejitems}


\section{Variedades y $k$-formas.}
Sea $k \in \NN$. Imitando la definición del fibrado cotangente, se define el fibrado 
$\Alt^k (M)$ sobre una variedad $M$ cuya fibra sobre el punto $p$ está dada por el 
espacio $\Alt^k(T_pM)$ de funciones $k$-multilineales alternadas sobre $T_pM$. 

\bigskip
\noindent\textbf{Definición.} Una $k$-forma es una sección del fibrado $\Alt^k(M)$. 
El conjunto de las $k$-formas diferenciales se denota $\Omega^k(M)$.

\item Sea $\subsets{n}{k}$ el conjunto de $k$-uplas de números entre $1$ y $n$
ordenadas en forma creciente. Dados $(U, \phi)$ una carta de $M$ e $I \in 
\subsets{n}{k}$, notamos $d\phi_I(p)$ a la función $d_p\phi^{i_1} 
\wedge d_p\phi^{i_2} \wedge \cdots d_p\phi^{i_k}$. Probar las siguientes afirmaciones.
\begin{ejitems}
\item El conjunto $\{d\phi_I(p) \mid I \in \subsets{n}{k}\}$ es una base de $\Alt^k
(T_pM)$.

\item Una $k$-forma $\omega$ es suave si y solo si para cada carta $(U, \phi)$
las funciones $c_J$ definidas por
\[
	\omega = \sum_{J \in \subsets{n}{k}} c_J d\phi_J.
\]
son suaves.

\item Una $k$-forma $\omega$ es diferenciable si y solo si dados campos 
$X^1, \ldots, X^k \in \mathfrak X(M)$ se tiene que $\omega(X^1, \ldots, X^k)$ 
es diferenciable.

\item Dadas $f_1, \ldots, f_k: M \to \RR$ suaves, encontrar los coeficientes $c_J$ en la 
expresión
\[
	df_1 \wedge \cdots \wedge df_k = \sum_{J \in \subsets{n}{k}} c_J d\phi_J
\]
y concluir que $df_1 \wedge \cdots \wedge df_k$ es una $k$-forma suave.
\end{ejitems}

\item Sean $\omega_1, \ldots, \omega_r \in \Omega^1(M)$ y $X_1, \ldots, X_r \in \X(M)$.
Probar que \[\omega_1 \wedge \cdots \wedge \omega_r(X_1, \ldots, X_r) = \det \mathbb X,
\] donde $\mathbb X$ es la matriz cuya entrada $(i,j)$ es $\omega_i(X_j)$.

\item Sea $f:M \to N$ una función suave, y sean $p \in M$ y $q = f(p)$. Se define el
\emph{pull-back} $f^*: \Omega(N) \to \Omega(M)$ por la fórmula $f^*(\omega)(p)(v_1, 
\ldots, v_k) = \omega(q)(f_{*,p}(v_1), \ldots, f_{*,p}(v_k))$.
\begin{ejitems}
\item Probar que $f$ es un morfismo $\C^\infty(M)$-lineal.

\item Probar que $f^*(\omega \wedge \eta) = f^*(\omega) \wedge f^*(\eta)$.

\item Tomando cartas $(U, \phi)$	alrededor de $p$ y $(V, \psi)$ alrededor de $q$, 
calcular el pull-back de las formas $f^*(d\psi_I)$ en función de las formas $d\phi_I$.
¿Cuál es la relación entre las formas $d\phi^1 \wedge \cdots d\phi^n$ y $d\psi^1 \wedge 
\cdots d\psi^n$?
\end{ejitems}

\item En cada caso calcular el pull-back de $\omega$ por $F$:
\begin{ejitems}
\item $F: \RR^2 \to \RR^3$ dada por $F(u,v) = (u,v,u^2-v^2)$ y $\omega = y dx \wedge dz 
+ x dy \wedge dz$;
\item $F: \RR^2 \to \RR^2$ dada por $F(u,v) = u(\cos v, \sin v)$;
\item $F: \RR^2 \to \RR^2$ un difeomorfismo y $\omega = dx \wedge dy$;
\item $F: M \to N$ cualquiera, $\omega \in \Omega^k(N)$ con $k > \dim M$;
\item $F: U \to V$ un difeomorfismo entre dos abiertos de $\RR^n$ y $\omega$ la forma de 
volúmen en $\RR^n$.
\end{ejitems}

\item Sea $S\subseteq M$ una subvariedad inmersa y sea $p \in S$. Si $i: S \to M$ es la 
	inclusión y	$\omega$ es una $k$-forma en $M$ entonces	$i^*\omega(p)=\omega(p)
	|_{T_pS}$.

\item Sean $p, v \in \RR^3$. Identificamos $T_p \RR^3$ con $\RR^3$, y notamos por $v_p$
al vector de $T_p \RR^3$ que se identifica con $v$. Denotamos $\langle -, - \rangle$ al 
producto interno estándar de $\RR^3$.

Sea $F: \RR^3 \to \RR^3$ una función diferenciable. Demostrar las siguientes 
afirmaciones.
\begin{ejitems}
\item La fórmula $\omega_F^1(p)(v_p) = \langle F(p), v\rangle$ define una $1$-forma en
	$\RR^3$. Encontrar las coordenadas de $\omega^1_F$ en la base $\{dx, dy, dz\}$, y
	probar que todas las $1$-formas de $\RR^3$ provienen de un único campo.

\item La fórmula $\omega^2_F(p)(u_p,v_p) = \langle F(x), u \times v\rangle$ define una
	$2$-forma en $\RR^3$. Encontrar sus coordenadas en la base $\{dx \wedge dy, dx
	\wedge dz,	dy \wedge dz\}$ y probar que todas las $2$-formas sobre $\RR^3$
	provienen de un único campo.

\item Dada $f: M \to \RR$ suave, encontrar las relaciones entre $df$ y $\nabla f$, entre
	$d \omega^1_F$ y $\nabla \times F$, y entre $d \omega^2_F$ y $\nabla \cdot F$.
	Usando la fórmula $d^2 = 0$ recuperar las igualdades clásicas $\nabla \times \nabla
	f = 0$ y $\nabla \cdot \nabla \times F = 0$.
\end{ejitems}

\section{Orientabilidad}
\item Probar las siguientes afirmaciones.
\begin{ejitems}
	\item Toda variedad paralelizable es orientable.
	\item Todo grupo de Lie es orientable.
	\item Si una variedad tiene un atlas de la forma $\{(U, \phi), (V, \psi)\}$ con 
	$U \cap	V$ conexo entonces la variedad es orientable.
\end{ejitems}

\item Probar que $S^n, \RR^n, \TT^2, S^1 \times \RR^1$ son orientables. Probar que
	$\PP^2$, la banda de Moebius y la botella de Klein no lo son.

\item Sean $N, M$ variedades diferenciables orientadas y sea $f: M \to N$ una función 
diferenciable. Decimos que $f$ \emph{preserva la orientación} en $p \in M$ si
$f_{*,p}: T_pM \to T_{f(p)}N$ es un isomorfismo de espacios vectoriales orientados.
Probar que son equivalentes:
\begin{ejitems}
\item La función $f$ preserva la orientación en $p$.

\item Dadas dos cartas orientadas $(U, \phi)$ entorno de $p$ y $(V, \psi)$ entorno de 
$f(p)$, vale que $\det D_p(\psi^{-1} \circ f \circ \phi) > 0$.

\item Si $U$ es un entorno de $p$ y $X^1, \ldots, X^n \in \mathfrak X(U)$ dan la 
orientación en torno a $p$ entonces los campos $f_*(X^1), \ldots, f_*(X^n)$ dan
la orientación en un entorno de $f(p)$.

\item La función $f$ preserva la orientación en un entorno de $p$.
\end{ejitems}

\item Sea $f: M \to N$ una función diferenciable entre variedades orientadas de la misma 
dimensión. Sean $\omega_M$ y $\omega_N$ formas nunca nulas sobre $M, N$ respectivamente, 
que inducen la orientación. Probar que existe una función diferenciable $\tilde f: M \to 
\RR$ tal que $f^*(\omega_N)(p) = \tilde f(p) \omega_M(p)$, y que $f$ preserva la 
orientación si y solo si $\tilde f(p)$ es siempre positiva.

\item Sea $M$ una variedad diferenciable conexa y orientada, y sea $\Gamma$ un grupo 
discreto actuando de forma propiamente discontinua por difeomorfismos. 
\begin{ejitems}
\item Probar que la variedad $N = M/\Gamma$ es orientable si y solo si para cada $g 
\in \Gamma$ el difeomorfismo $p \mapsto g \cdot p$ preserva la orientación.
\item Probar que $A: S^n \to S^n$ preserva la orientación si y solo si $n$ es impar. 
Concluir que $\PP^n(\RR)$ es orientable si y solo si $n$ es impar.
\item Usar este resultado para probar otra vez que la banda de Moebius no es orientable.
\end{ejitems}

\item Sea $M$ una variedad. Notamos $\hat M$ al conjunto $\{(p, \O_p) \mbox{ con } \O_p
\mbox{ una orientación de }T_pM\}$ y por $\hat \pi: \hat M \to M$ a la proyección en
la primera coordenada. Para cada carta $(U, \phi)$ de $M$ llamamos $\hat U \subset \hat 
M$ al conjunto $\{(p, [\partial \phi(p)]) \mid p \in U\}$, donde $[\partial \phi(p)]$ es 
la orientación dada por la carta $\phi$.

Probar las siguientes afirmaciones.
\begin{ejitems}
\item El conjunto $\{\hat U \mid (U, \phi) \mbox{ carta de } M\}$ es una topología sobre
$\hat M$.
\item El espacio topológico $\hat M$ es una variedad diferenciable y $\hat \pi$ es 
una función diferenciable.
\item Un abierto $U \subset M$ es una subvariedad orientable si y solo si existe una
sección de $\hat \pi|_U$.
\item La variedad $M$ es orientable si y solo si $\hat M$ tiene dos componentes conexas,
y en ese caso la restricción de $\hat \pi$ a cada componente conexa es un difeomorfismo.
\end{ejitems}

\item Sea $M$ una variedad orientable, y sea $X \in \X(M)$. Definimos la 
\emph{contracción} por $X$ como la función $i_X: \Omega^r(M) \to \Omega^{r-1}(M)$ como
$i_X(\omega) (X^1, \ldots, X^{r-1}) = \omega(X,X^1, \ldots, X^{r-1})$.
\begin{ejitems}
\item Probar que $i_X \circ i_X = 0$ y que dadas $\omega \in \Omega^s(M), \eta \in 
\Omega^t(M)$ vale que 
\[i_X(\omega \wedge \eta) = i_X(\omega) \wedge \eta + (-1)^s \omega \wedge i_X(\eta).\]

\item Sea $N \subset M$ una hipersuperficie. Sean $U$ un entorno de $N$ y $X \in \X(U)$
tal que $X_p \notin T_pN$ para todo $p \in N$. Probar que si $M$ es orientable entonces
$N$ es orientable. 
\end{ejitems}
\end{ejercicios}
\end{document}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
