\documentclass[a4paper,oneside,fleqn,10pt]{article}
\usepackage[nosolutions]{practicas}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}

\usepackage[all]{xy}
\usepackage{graphics}

\overfullrule5pt
\relpenalty=10000
\binoppenalty=10000
\hyphenation{siguiente}

\DeclarePairedDelimiter\abs{\lvert}{\rvert}
\DeclarePairedDelimiter\norm{\lVert}{\rVert}
\DeclarePairedDelimiter\ip{\langle}{\rangle}
\DeclareMathOperator{\id}{id}
\DeclareMathOperator{\GL}{GL}
\DeclareMathOperator{\SL}{SL}
\let\O\relax
\DeclareMathOperator{\O}{O}
\DeclareMathOperator{\U}{U}
\renewcommand\phi{\varphi}
\newcommand\eps{\varepsilon}
\newcommand\n{\mathfrak{n}}
\newcommand\s{\mathfrak{s}}

\newcommand\NN{\mathbb N}
\newcommand\ZZ{\mathbb Z}
\newcommand\QQ{\mathbb Q}
\newcommand\RR{\mathbb R}
\newcommand\CC{\mathbb C}
\newcommand\TT{\mathbb T}
\newcommand\PP{\mathbb P}
\newcommand\GG{\mathcal G}

\newcommand\A{\mathcal A}
\newcommand\B{\mathcal B}
\newcommand\C{\mathcal C}

\DeclareMathOperator\Id{Id}
\DeclareMathOperator\supp{supp}

\newcommand\subsets[2]{
	\genfrac{\llbracket}{\rrbracket}{0pt}{}{#1}{#2}
}


\Materia{Geometría Diferencial}
\Cuatrimestre{Primer Cuatrimestre --- 2016}
\Practica{4}
\Titulo{Varia.}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\maketitle
\begin{ejercicios}
\section{Particiones de la unidad}
\item En cada caso encuentre una partición de la unidad para $M$, subordinada al
	cubrimiento $\mathcal U$.
	\begin{ejitems}
	\item $M =S^1$ con $\mathcal U = \{S^1 \setminus \{(0,1)\}, S^1 \setminus
		\{(0,-1)\}\}$.
	\item $M = S^1$ con $\mathcal U$ el cubrimiento por casquetes.
	\item $M = \RR^n$ con el cubrimiento dado por las bolas de radio $1$ cuyos centros
		tienen coordenadas enteras.
	\end{ejitems}

\item Sean $f: M \to N$ y $h: N \to \RR$ diferenciables.
\begin{ejitems}
	\item Probar que  $\supp h	\circ f \subset f^{-1}(\supp h)$.

\item Sea $\pi: M \times N \to N$ la proyección. Probar que $\supp h \circ \pi = \supp
		h \times N$.

\item Sea $\{\rho_{\alpha}\}$ una partición de la unidad en $N$, subordinada al
	cubrimiento $\{U_\alpha\}$. Probar que $\{\rho_\alpha \circ f\}$ es una partición de
	la unidad de $M$ subordinada al cubrimiento $\{f^{-1}(U_\alpha)\}$.
\end{ejitems}

\item \textbf{Lema de Urysohn suave.} Dados dos cerrados disjuntos $A, B \subset M$,
	existe una función suave $f: M \to \RR$ que es identicamente $1$ en $A$ e identicamente
	$0$ en $B$.

\item Supongamos que $M$ es compacta y de dimensión $m$.
	\begin{ejitems}
	\item Sea $\mathcal U = \{(U_i, \phi_i) \mid 1 \leq i \leq n\}$ un cubrimiento de $M$
		por finitas cartas.	Probar para cada $i$ podemos encontrar un abierto $U'_i$ cuya
		clausura está contenida en $U_i$, de forma que $\{(U'_i, \phi) \mid 1 \leq i \leq
		n\}$ siga siendo un cubrimiento por cartas.

	\item Usando el lema de Urysohn, probar que existen funciones diferenciables $\psi_i$
		que valen $1$ en $\overline{U'_i}$ y cuyo soporte está contenido en $U_i$.

	\item Sea $f: M \to \RR^{(n+1)m}$ la función 
		\[
			f(x) = (\psi_1(x)\phi_1(x), \ldots, \psi_n(x)\phi_n(x), \psi_1(x), \ldots,
			\psi_n(x)).
		\]
		Probar que $f$ es un embedding.
	\end{ejitems}
Este resultado es análogo al teorema de metrización de Urysohn, donde se usa el lema de
Urysohn en espacios normales para probar que se embeben en $\RR^{(\NN)}$ y por ende
son metrizables.

\section{Cocientes y acciones de grupos}
\item Sea $\pi: M \to N$ una función cociente entre variedades diferenciables.
	Encontrar condiciones necesarias y suficientes para que valga la siguiente
	afirmación: una función $f: N \to \RR$ es diferenciable si y solo si $\pi \circ f$
	es diferenciable. 

\item Notamos por $C_n$ al grupo cíclico de orden $n$, y fijamos un generador $\rho$.
	Decidir en cada caso si el grupo indicado actúa sobre la variedad $M$ de manera
	propiamente discontinua, y caracterizar la variedades cociente.
	\begin{ejitems}
		\item $M$ el cilindro de radio $1$ y eje $z$, con la acción de $C_n$ dada por la
			rotación en $2\pi/n$ alrededor del eje.
		\item $M = S^2$ y la acción como en el ítem anterior.
		\item $M = S^n$ con la acción de $C_2$ dada por $\rho(x) = -x$.
		\item $M = S^n$ con la acción de $\mathbb S_n$ dada por permutar las coordenadas.
		\item $M = \RR^+$ con la acción de $\ZZ$ dada por $n \cdot x = e^nx$.
	\end{ejitems}

\item Sea $G$ un grupo topológico y $X$ un espacio topológico sobre que el $G$ actúa a
	derecha, de	forma que la función estructural $X \times G \to X$ es continua. Notamos
	por $X/G$ al espacio de órbitas de la acción, y le damos la topología final inducida
	por la proyección $\pi: X \to X/G$. Probar las siguientes afirmaciones.
	\begin{ejitems}
	\item $\pi$ es abierta.
	\item Si $X$ tiene una base de abiertos numerables, $X/G$ también.
	\item $X/G$ es Hausdorff si y solo si el conjunto $\{(x,y) \in X \times X \mid \pi(x) =
		\pi (y)\}$ es cerrado en $X \times X$.
	\end{ejitems}
	
\item \textbf{Las variedades Grassmannianas.}
	Dados $n,k \in \NN$ con $k < n$, la \emph{grassmanniana} $\GG(k,n)$ es el conjunto
	de subespacios de $\RR^n$ de dimensión $k$. Este ejercicio tiene por objetivo probar
	que cualquier grassmanniana tiene estructura de variedad diferenciable.

	Llamamos $F(k,n)$ al conjunto de matrices de tamaño $n \times k$ y rango $k$. Ya vimos
	que este conjunto es un abierto de $\RR^{n \times k}$ y por lo tanto una variedad
	diferenciable. Notamos por $\pi: F(k,n) \to \GG(k,n)$ a la función que asigna a una
	matriz su espacio columna, y ponemos en $\GG(k,n)$ la topología final respecto de
	$\pi$.
	\begin{ejitems}
	\item Probar que $\pi(A) = \pi(B)$ si y solo si existe una matriz $g \in \GL_k(\RR)$
		tal que $Ag = B$. Usar este resultado para probar que $\pi$ es abierta.
		\emph{Sugerencia:} considere la acción de $\GL_k(\RR)$ a derecha sobre $F(k,n)$.

	\item Probar que $\GG(k,n)$ es un espacio Haussdorf y tiene una base numerable.

	\item Notamos por $\subsets{n}{k}$ al conjunto de $k$-uplas estrictamente creciente de
		enteros entre $1$ y $n$; por ejemplo $\subsets{4}{2} = \{(1,2); (1,3); (1,4);(2,3);
		(2,4); (3,4)\}$. Dados $I \in \subsets{n}{k}$ y $A \in F(k,n)$, notamos por $A_I$ a
		la matriz cuyas filas son las filas $I$ de $A$, y definimos
		\begin{align*}
			V_I &=\{ A \in F(k,n): \det A_I \neq 0\}.
		\end{align*}
		Probar que $\{V_I \mid I \in \subsets{n}{k}\}$ es un cubrimiento de $F(k,n)$ por
		abiertos saturados.

	\item Notamos por $I^c$ el complemento conjuntista de $I$ en $\{1, \ldots, n\}$.
		Definimos funciones $\tilde \phi_I: V_I \to \RR^{(n-k) \times k}$ de la siguiente
		manera: dada una matriz $A \in V_I$, la matriz $\tilde \phi_I(A)$ está formada por
		las filas $I^c$ de la matriz $A (A_I)^{-1}$. Probar que $\tilde \phi(Ag) = \tilde
		\phi(A)$ para toda matriz $g \in \GL_k(\RR)$, y por lo tanto $\tilde \phi$ induce
		una función $\phi_I: U_I \to \RR^{(n-k)\times k}$.
		
	\item Probar que cada $\phi_I$ es un homemorfismo. Calcular explicitamente las inversas
		de las $\phi_I$, y probar que los cambios de coordenadas son diferenciables.

	\item Sea $\rho: V_I \to U_I \times \GL_k(\RR)$ dada por $\rho(A) = (\pi(A), A_I)$.
		Probar que esta función es un difeomorfismo compatible con la multiplicación a
		derecha por $\GL_k(\RR)$, y que el siguiente diagrama conmuta.
		\begin{align*}
		\xymatrix{
			V_I \ar[dr]_-\pi \ar[rr]^-{\rho} && U_I \times \GL_k(\RR) \ar[dl]^-{p_1}\\
			{} & U_I & {}
		}
		\end{align*}
		Concluir que una función $f: \GG(k,n) \to \RR$ es diferenciable si y solo si $\pi
		\circ f: F(k,n) \to \RR$ es diferenciable.

	\item ¿Es posible reemplazar $V_I$ y $U_I$ en el diagrama anterior por $F(k,n)$ y
		$\GG(k,n)$ respectivamente? \emph{Sugerencia:} Considere las secciones de la función
		$\pi$.
	\end{ejitems}
	
\section{Fibrados vectoriales}
Sea $V$ un espacio vectorial y $M$ una variedad. Un \emph{fibrado vectorial} de fibra
$V$ es una función diferenciable $\pi: E \to M$ con las siguientes propiedades:
\begin{ejitems}
	\item Para todo $m \in M$ la fibra $\pi^{-1}(m)$ tiene una estructura de espacio
		vectorial.
	\item Para todo $m \in M$ existen un entorno $U$ y un	difeomorfismo $\phi_U:
		\pi^{-1}(U) \to U \times V$ de forma que el siguiente diagrama conmuta
		\begin{align*}
			\xymatrix{
			\pi^{-1}(U) \ar[rr]^-{\phi_U} \ar[dr]_-\pi &{} & U \times V \ar[dl]^-{\pi_1}\\
				{} & M & {}
			}
		\end{align*}
	\item Para todo $m, \phi$ y $U$ como en el ítem anterior, la restricción $\phi_U:
		\pi^{-1}(m) \to \{m\} \times V$ es un isomorfismo de espacios vectoriales.
\end{ejitems}
El espacio $E$ es el \emph{espacio total} del fibrado, $M$ es la \emph{base}, $p$ la
\emph{proyección}, y $U$ es un \emph{abierto trivializante}. Dados dos abiertos
trivializantes $U$ y $V$, la función $\phi_V \circ \phi_U^{-1}$ es llamada \emph{función
de transición}.

\item En cada caso probar que $\pi: E \to M$ es un fibrado encontrando un cubrimiento por
	abiertos trivializantes, calcular la dimensión de las fibras y encontrar las funciones
	de transición.
	\begin{ejitems}
		\item $M$ una variedad cualquiera, $E = TM$ el fibrado tangente, $\pi$ la proyección
			natural.
		\item Tomamos $V$ un espacio vectorial cualquiera, $E = M \times V$, y $\pi: M
			\times V \to M$ la proyección trivial.
		\item Definimos en $\RR^2$ la siguiente relación: $(x,y) \sim (z,w)$ si y solo si
			$x-z \in \ZZ$ e $y = (-1)^{x-z} w$. Tomamos $E = \RR^2/ \sim$ como espacio
			total, $M = \RR \times	\{0\} / \sim$ como base, y $\pi: E \to M$ la función
			inducida por la proyección en la primer coordenada. Llamamos a este fibrado el
			\emph{fibrado de Moebius}, adivinen por qué.
		\item Definimos el espacio total como
			\[
				E = \{(L,x) \mid x \in L\} \subset \PP^n \times \RR^{n+1}.
			\]
			Tomamos $M = \PP^n$ y $\pi: E \to M$ la restricción a $E$ de la proyección
			canónica. Este es el \emph{fibrado tautológico}.
	\end{ejitems}

\item Un fibrado $\pi: E \to M$ se dice \emph{trivial} si se puede tomar a la base como
	abierto trivializante, es decir, reemplazar $U$ por $M$ en el diagrama de la definición
	de	fibrado.
\begin{ejitems}
\item Probar que la sección nula $s: M \to E$, dada por $s(m) = 0_{\pi^{-1}(m)}$, es una
	sección diferenciable de $\pi$.

\item Sea $\pi: E \to M$ un fibrado de linea, es decir que sus fibras tienen dimensión $1$.
	Probar que si $\pi$ es trivial entonces $E \setminus s(M)$ es disconexo.

\item Probar que si $\pi: E \to S^1$ es el fibrado de Moebius definido en el ejercicio
	anterior entonces $E \setminus s(S^1)$ es conexo.
\end{ejitems}

\end{ejercicios}
\end{document}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
