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\Materia{Geometría Diferencial}
\Cuatrimestre{Primer Cuatrimestre --- 2016}
\Practica{3}
\Titulo{Fibrado tangente y campos}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\maketitle
Como siempre $M$ y $N$ son variedades arbitrarias. Si $p \in M$ entonces $T_pM$ es el
espacio tangente a $M$ en $p$ (definido como espacio de derivaciones), y $TM$ es el
fibrado tangente de $M$.

Dada una función diferenciable $f: W \subset \RR^n \to \RR^m$, notamos por $Df$ su
diferencial clásico, es decir que para todo $x \in W$ la función $Df(x)$ es una
transformación lineal de $\RR^n$ en $\RR^m$. Dada una función diferenciable $f: M \to N$,
notamos por $f_*: TM \to TN$ su diferencial, y por $f_{*,p}:T_pM \to T_{f(p)}N$ su
diferencial en el punto $p$.
	
\begin{ejercicios}

\section{El tangente de $\RR^n$ y sus subvariedades}
\item Fijemos $p \in \RR^m$, e identifiquemos $T_p\RR^m$ con $\RR^m$ a través de la carta
	$(\RR^m, \id)$. Sea ahora $f: \RR^m \to \RR^n$ diferenciable. 
	Probar que conmuta el diagrama
\begin{align*}
\xymatrix{
	T_p \RR^n \ar[r]^-{f_{*,p}} \ar@{<->}[d] 
	& T_{f(p)} \RR^m \ar@{<->}[d] \\
	\RR^n \ar[r]^-{Df(p)}
		& \RR^m.
}
\end{align*}

\item 
	\begin{ejitems}
	\item Sea $f: \RR^2 \to \RR$ una función diferenciable. Probar que su gráfico es una
		subvariedad de $\RR^3$ y calcular en cada punto el tangente como subespacio del
		tangente de $\RR^3$. Enuncie y demuestre un resultado similar para $f: U \subset
		\RR^n \to \RR^m$.
	\item Sea $f: U \subset \RR^3 \to \RR$ tal que $0$ es un valor regular, i.e. si $f(p) =
		0$ entonces $Df(p) \neq 0$. Probar que para todo $p \in M$ el tangente $T_p M$ se
		identifica de manera natural con el ortogonal a $Df(p)$. ¿Cómo se puede generalizar
		este resultado a	dimensiones superiores?
	\item En cada caso probar que el espacio tangente $T_pM$ se identifica con el conjunto 
		\[
			T=	\{\alpha'(0) \mid \alpha: (-1,1) \to M \mbox{ es una curva diferenciable con }
			\alpha(0) = p\}.
		\]
\end{ejitems}

\item Para cada una de las siguientes subvariedades encontrar una fórmula para el tangente
	en un punto arbitrario.
	\begin{multicols}{2}
	\begin{ejitems}
		\item $S^1$ en $\RR^2$;
		\item $\TT^2$ en $\RR^3$;
		\item $C = \{(x,y,z) \in \RR^3 : x^2 + y^2 = 1\}$ en $\RR^3$;
		\item $S^2$ en $\RR^3$;
		\item $S^n$ en $\RR^{n+1}$;
		\item la imagen de una curva regular.
	\end{ejitems}
	\end{multicols}

\item Sea $M \subset \RR^m$ una subvariedad regular y sea $p \in M$. Notamos
	\[
		T'_pM = \{v \in \RR^m \mid \mbox{existe $\alpha: \RR \to	M$ diferenciable con
		$\alpha(0) = p$ y $v = \alpha'(0)$}\}.
	\]
\begin{ejitems}
\item Sea $\phi: T'_pM \to T_pM$ dada por $\phi(v)(f) = \frac{d}{dt}(f\circ \alpha)(0)$,
	donde $\alpha$ es cualquier curva tal que $\alpha(0) = p$ y $\alpha'(0) = v$. Probar
	que $\phi$ está bien definida, y más aún, es un isomorfismo de espacios vectoriales.
\item Sean $N \subset \RR^n$ una subvariedad regular y $f: M \to N$ una función
	diferenciable. Se define $f'_{*,p}: T'_pM \to T'_{f(p)}N$ como $f'_{*,p}(v) = f \circ
	\alpha'(0)$, donde $\alpha$ es como en el ítem anterior. Probar que $f'_{*,p}$ está
	bien definida, y que conmuta el diagrama
	\begin{align*}
	\xymatrix{
		T'_p M \ar[r]^-{f'_{*,p}} \ar[d]_-\phi 
			& T'_{f(p)} N \ar[d]^-\phi \\
		T_p M \ar[r]^-{f_{*,p}}  
			& T_{f(p)} N.  
	}		
	\end{align*}
\item Probar que la inclusión $i: M \to \RR^m$ induce un monomorfismo $i_*: T_pM \to
	T_p\RR^m$, y que la identificación $T_p\RR^m \cong \RR^m$ del ejercicio 1 se restringe
	a un isomorfismo $T_pM \cong T'_pM$. 
\end{ejitems}

\item Sean $M \subset \RR^m$ una subvariedad regular, $p \in M$ y $f: W \to M$ una
	parametrización en torno a $p$. Notamos $q = f^{-1}(p)$. 
\begin{ejitems}
\item Probar que $\im Df(q) = T'_pM$; en particular el espacio $\im Df(q)$ no
	depende de la parametrización.
\item Sea $N \subset \RR^n$ una subvariedad regular y sea $G: \RR^n \to \RR^m$ una función
	diferenciable tal que $G(M) \subset N$. Llamemos $g: M \to N$ a la restricción. Probar 
	que $DG(q)(v) = g'_{*,p}(v)$ para todo $v \in T'_pM$.
\end{ejitems}

\item Hallar el diferencial de las siguientes funciones en el punto indicado.
\begin{ejitems}
\item $f: \RR^2 \to \RR^{2}$ dada por $F(x,y) = (xy+y^2, e^{x-y})$ en $(7,3)$.
\item $g: S^1 \to S^1$ dada por $g(z) = z^n$, con $n \in \NN$, en cualquier punto.
\item El producto de matrices $\mu: M_n(\RR) \times M_n(\RR) \to M_n(\RR)$ en cualquier
	punto.
\item La inversa de matrices $\iota: \GL_n(\RR) \to \GL_n(\RR)$ en la identidad.
\item Las restricciones de $\mu$ e $\iota$ a $\SL_n(\RR)$ en la identidad.
\end{ejitems}

\section{Tangentes en variedades abstractas}
\item Sean $M$ una variedad y $p \in M$. Notamos por $\C(p)$ al conjunto de todas las
	funciones diferenciables $\alpha: \RR \to M$ tales que $\alpha(0) = p$. 
	\begin{ejitems}
	\item Sea $\tau: \C(p) \to T_pM$ dada por $\tau:(\alpha)(f) = (f \circ \alpha)'(0)$.
		Probar que $\phi$ está bien definida y que $\tau(\alpha) = \tau(\beta)$ si y solo si
		para cualquier carta $(U, \phi)$ en torno a $p$ se cumple que $(\phi \circ
		\alpha)'(0) = (\phi \circ \beta)'(0)$.
	\item Sea $\tilde T_pM = \C(p)/\!\sim$, donde $\alpha \sim \beta$ si y solo si
		$\tau(\alpha)	= \tau(\beta)$. Probar que la función inducida $\tilde \tau: \tilde
		T_pM \to T_p M$ es biyectiva.
	\item Sean $N$ una variedad y $f: M \to N$ una función diferenciable. Probar que existe
		una función $\tilde f_{*,p}: \tilde T_pM \to \tilde T_{f(p)}N$ tal que conmuta el
		diagrama
	\begin{align*}
	\xymatrix{
		\tilde T_p M \ar[r]^-{\tilde f_{*,p}} \ar[d]_-{\tilde \tau} 
			& \tilde T_{f(p)} N \ar[d]^-{\tilde \tau} \\
		T_p M \ar[r]^-{f_{*,p}}  
			& T_{f(p)} N.  
	}		
	\end{align*}
	\end{ejitems}


\item Probar que para toda variedad diferenciable $M$ se tiene $(\id_M)_{*,p} =
	\id_{T_pM}$, y que dadas $f: M \to N$ y $g: N \to O$, se tiene $(g \circ f)_{*,p} =
	g_{*,f(p)} \circ f_{*,p}$.

\item Sea $f: \PP^2 \to \PP^2$ dada por $f([a:b:c]) = [b:a:c]$. Calcular $f_{*,p}$ en
	un punto arbitrario.

\item Probar que $f: M \to N$ es un difeomorfismo en un entorno del punto $m \in M$ si y
	solo si $f_{*,m}$ es un isomorfismo.

\item Sea $f: M \to N$ una función diferenciable. 
	\begin{ejitems}
		\item Si $f$ es constante en un entorno $U$ de $p$, entonces $f_{*,p} = 0$.
		\item Si $f_{*,p} = 0$ para todo $p$ en un abierto conexo $U$, entonces $f|U$ es
			constante.
	\end{ejitems}

\item Mostrar que hay un isomorfismo natural entre $T_m M \times T_n N$ y $T_{(m,n)}(M
	\times N)$.

\item Notamos por $TM$ la unión disjunta de $\{p\} \times T_pM$ con $p \in M$.
\begin{ejitems}
\item Sea
	\[
		\A = \bigg\{\bigg(\bigsqcup_{p \in U} \{p\} \times T_pM, \phi \times \phi_* \bigg) \mid
		(U,\phi) \mbox{ es una carta de $M$}\bigg\}.
	\]
		Probar que $\A$ induce una estructura de variedad diferenciable sobre $TM$. ¿Cuál es su
		dimensión?
	\item Probar que la proyección natural $\pi: TM \to M$ es una función diferenciable de
		rango constante. En particular $\{p\} \times T_pM \subset M$ es una subvariedad de
		$M$.
	\item Sea $f: M \to N$ una función diferenciable. Probar que $f_*: TM \to TN$ es
		diferenciable.
\end{ejitems}

\smallskip
\noindent
Dado un elemento $v \in TM$ con $\pi(v) = p$, notamos por $v_p$ al elemento de $T_pM$ tal
que $v = (p, v_p)$. Por definición $v_p$ es una derivación de $\C^\infty(M)_p$.

\item Sea $i:M \hookrightarrow \RR^n$ un embedding, e identifiquemos $T_pM$ con
		la imagen de $i_{*,p}$; en particular podemos dotar a $T_pM$ de un producto interno.
		Probar que $\{v \in TM \mid ||v_p|| = 1\}$ es una subvariedad de $TM$ de dimensión
		$2 \dim M - 1$.

\item Mostrar que hay un difeomorfismo natural entre $TM \times TN$ y $T(M \times N)$.

\section{Campos}	
Si $U \subset M$ es un abierto, notamos por $\C^\infty(U)$ al conjunto de las funciones
$\C^\infty$ que salen de $U$ y toman valores en $\RR$, y por $\X(U)$ los campos definidos
sobre $U$.

\item Sea $U$ un abierto de $M$.
\begin{ejitems}
\item Probar que $\C^\infty(U)$ es una $\RR$-álgebra y que $\X(U)$ es un
	$\C^\infty(U)$-módulo.
\item Probar que para todo punto $p \in M$ existe un entorno $U$ que contiene a $p$ tal
	que $\X(U)$ es un $\C^{\infty}(U)$-módulo libre. ¿Cuál es el rango de este
	módulo?
\item Probar que $\X(S^2)$ no es un $\C^\infty(S^2)$-módulo libre.
\end{ejitems}

\item Dada $X: M \to TM$ una sección de $\pi$, no necesariamente diferenciable, y $f \in
	\C^\infty(M)$, definimos la función $X(f): M \to \RR $ como $X(f)(p) = X_p(f)$. Probar
	las siguientes afirmaciones:
	\begin{ejitems}
	\item La sección $X$ es diferenciable si y solo si para toda $f \in \C^\infty(M)$ se
		tiene $X(f) \in \C^\infty(M)$.
	\item Si $X$ es diferenciable, la función $X: \C^\infty(M) \to \C^\infty(M)$ es una
		derivación, es decir que es una transformación lineal y cumple que $X(fg) = X(f)g + 
		f X(g)$. Recíprocamente, toda derivación $D$ de $\C^\infty(M)$ define un campo
		sobre $M$.
	\item Dados dos campos $X, Y$, la función $X \circ Y$ no es necesariamente una
		derivación, pero $[X,Y] = X \circ Y - Y \circ X$ sí lo es.
	\item Dados $X, Y, Z \in \X(U)$, estos cumplen la \emph{identidad de
			Jacobi}
			\[
				[X,[Y,Z]] + [Y,[Z,X]] + [Z,[X,Y]] = 0.
			\]
	\end{ejitems}


\item Sea $X^1, \ldots, X^n$ una familia de campos sobre $M$ tales que $\{X^i_p \mid 1
	\leq i \leq n\}$ es linealmente independiente. Probar que existe un entorno $U$ de $p$
	tal que $\{X^i_q \mid 1 \leq i \leq n\}$ es linealmente independiente para todo $q \in
	U$.

\item Sea $v \in T_p M$. Probar que hay un campo diferenciable $X: M \to TM$ tal que $X_p
	= v$.

\item Una variedad se dice \emph{paralelizable} si existen campos $X^1, \ldots, X^n$ tales
	que para todo $p \in M$ el conjunto $\{X^i_p \mid 1 \leq i \leq n\}$ forma una base de
	$T_pM$. Probar las siguientes afirmaciones:
\begin{ejitems}
	\item $M$ es paralelizable si y solo si existe un difeomorfismo $TM \to M \times
		\RR^n$ que respeta las fibras.
	\item Las siguientes variedades son paralelizables: $S^1$, $S^3$, $S^7$, $\TT^n$.
	\item La banda de Moebius no es paralelizable.
\end{ejitems}

\end{ejercicios}
\end{document}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
