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\hyphenation{siguiente}

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\Materia{Geometría Diferencial}
\Cuatrimestre{Primer Cuatrimestre --- 2016}
\Practica{1}
\Titulo{Variedades y funciones diferenciables I}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\maketitle

\begin{ejercicios}
\item Decida si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justifíquese su
respuesta, y piense qué habría que cambiar en cada ítem para que su respuesta cambie.
\begin{ejitems}
\item La función $f: \RR \to \RR$ dada por $f(t) = t^2$ define un atlas $\{(\RR, f)\}$.

\item Idem, pero ahora con $f(t) = t^{n}$ donde $n \in \QQ$.

\item Si $\alpha: (a,b) \to \RR^3$ parametriza una curva contenida en $\{y = 0\}$,
	entonces su superficie de revolución es una variedad de dimensión $2$.

\item Si $M, N \subset \RR^d$ son variedades, entonces $M \cup N$ es variedad.

\item Si $M, N \subset \RR^d$ son variedades y $M \cap N = \emptyset$ entonces $M \cup
	N$ es una variedad.

\item Si al cono $\{a \in \RR^{d+1} \mid a_1^2 + \cdots + a_d^2 = a_{d+1}^2 \}$ le
	sacamos el orígen entonces resulta una variedad de dimensión $d$, y si no, no.
\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $V$ un espacio vectorial real de dimensión $d \geq 1$ y sea $\B = \{v_1, 
\ldots,	v_d\}$ una base de $V$. Sea $\phi:\RR^n\to V$ la función $\phi(t_1, \dots, 
t_d) = \sum_{i=1}^n t_i v_i$.
\begin{ejitems}
\item Mostrar que hay una única topología sobre $V$ que hace que $\phi$ sea un
	homeomorfismo, y esa topología no depende de la base $\B$ elegida.

\item Mostrar que la estructura diferenciable determinada sobre $V$ por el atlas
	$\{(V, \phi^{-1})\}$ no depende de la base $\B$ elegida.
\end{ejitems}
%%%%%%%%%%%%%%%

\item Consideramos en $S^d = \{a \in \RR^{d+1} : \norm a = 1\}$ los puntos $\n = (0,
	\ldots, 0, 1)$ y $\s = (0, \ldots, 0, -1)$. 
	\begin{ejitems}
\item Dado $a \in S^d \setminus\{\n\}$, se define la \emph{proyección estereográfica de 
	$a$	desde $\n$} como el único punto $(x_1, \ldots, x_d) \in \RR^d$ tal que $a, \n$ y 
	$(x_1, \ldots, x_d, 0)$ son colinales; la proyección estereográfica respecto de $\s$
	se define de forma análoga. Probar que las proyecciones estereográficas forman un
	atlas $\C^\infty$ de $S^d$.

\item Para cada $1 \leq i \leq d+1$ notamos por $\tau_i: \RR^{d+1} \to \RR^d$ a la 
	función dada por la fórmula $\tau_i(x_1, \ldots, x_{d+1}) = (x_1, \ldots,
	\widehat{x_i}, \ldots, x_{d+1})$. Notamos también $U_i^+ = \{a \in S^d \mid a_i > 0\}$,
	y $U_i^- = \{a \in S^d \mid a_i < 0\}$. Probar que
	\[
		\A = \{(U_i^+, \tau_i), (U_i^-, \tau_i) \mid 1 \leq i \leq	d+1\}
	\] 
	es un atlas $\C^\infty$ de $S^d$.

	\item Probar que las estructuras diferenciables determinadas por ambos atlas son
		iguales.
	\end{ejitems}
%%%%%%%%%%%%%%%
\item Probar las siguientes afirmaciones.
	
\begin{ejitems}
\item Si $M$ es una variedad de dimensión $m$ y $U \subseteq M$ es un abierto no vacío,
	entonces $U$ tiene una estructura natural de variedad diferenciable de dimensión~$m$.
	Con respecto a esta estructura, la inclusión $U \hookrightarrow M$ es una función
	diferenciable.

\item Si $n \geq 1$, entonces el conjunto $\GL(n,\RR)\subset M_n(\RR)$ de las matrices
	inversibles es una variedad diferenciable de dimensión $n^2$ de manera natural.
\end{ejitems}
%%%%%%%%%%%%%%%
\item ¿Es posible construir un altas de $S^2$ con una sola carta?
%%%%%%%%%%%%%%%
%\item Muestre que el conjunto de vectores normales unitarios a una curva regular
%	en $\RR^3$ tiene una estructura natural de variedad diferenciable.
%%%%%%%%%%%%%%%
\item Construya explícitamente un atlas diferenciable sobre los siguientes espacios 
topológicos y determine sus dimensiones:
\begin{ejitems}
\item el cilindro $Z=\{(x,y,z) \in \RR^3 \mid x^2+y^2=1\}$;

\item la cinta de Moebius;

\item el plano proyectivo $\mathbb P^2(\RR)$;

\item el toro $T^n=\underbrace{S^1\times\cdots\times S^1}_{\text{$n$ factores}}$.
\end{ejitems}
%%%%%%%%%%%%%%%

\item Sea $n \in \NN$. Consideramos en $S^n \subset \RR^{n+1}$ la siguiente relación de 
equivalencia: dados $v, w \in S^n$, decimos que $v \sim w$ si y solo si $v = \pm w$. 
El espacio proyectivo $n$-dimensional $\PP^n(\RR)$ es el espacio cociente $S^n/\sim$.
Probar que este espacio es una variedad diferenciable compacta y conexa, y calcular su 
dimensión.

%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $M \subset \RR^3 \times \RR^3 \setminus \{(0,0)\}$ el conjunto de pares de 
	vectores $(v,w)$ tal que $\ip{v,w} = 0$, donde $\ip{-,-}$ es el producto interno usual.
	Probar que $M$ es una variedad y calcular su dimensión.


%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $\phi: \RR \to \RR$ dada por $\phi(t) = t^3$. Probar las siguientes 	
	afirmaciones.
\begin{ejitems}

\item Los conjuntos $\A = \{(\RR, \id)\}$ y $\A' = \{(\RR, \phi)\}$ son dos
	atlas sobre $\RR$ que no son compatibles, de manera que los atlas maximales que los
	contienen son distintos y determinan variedades diferenciables $\RR$ y $\RR_\phi$
	distintas.

\item Las variedades diferenciables $\RR$ y $\RR_\phi$ son difeomorfas.
\end{ejitems}
%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sean $M$ y $N$ variedades de dimensiones~$m$ y~$n$, respectivamente. Probar las
	siguientes afirmaciones.
\begin{ejitems}
\item El espacio producto $M \times N$ tiene una estructura natural de variedad
	diferenciable de dimensión~$m+n$, y las proyecciones $p_1: M \times N \to M$ y $p_2: M
	\times N \to N$ son funciones diferenciables.

\item Si $P$ es una variedad y $f: P \to M$ y $g: P \to N$ son funciones diferenciables,
	existe una única función diferenciable $h: P \to M \times N$ tal que $p_1 \circ h = f$
	y $p_2 \circ h = g$.

\item Las funciones $\id: M \to M$ y $\Delta: M \to  M\times M$	dada por $\Delta(x) = 
(x,x)$ son diferenciables.
\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Muestre que los siguientes espacios son variedades diferenciables y determine sus
	dimensiones.
\begin{ejitems}
\item $\GL(n,\CC) \subset M_n(\CC)$, el conjunto de las matrices $n \times n$ complejas
	inversibles;

\item $\SL(n,\RR) \subset M_n(\RR)$, el conjunto de las matrices $n \times n$ reales de
	determinante $1$;

\item $\SL(n,\CC) \subset M_n(\CC)$, el conjunto de las matrices $n \times n$ complejas 
	de determinante $1$;

\item $\O(n,\RR) \subseteq M_n(\RR)$, el conjunto de las matrices $n \times n$ reales 	
	ortogonales;

\item $\U(n,\RR)\subseteq M_n(\CC)$, el conjunto de las matrices $n\times n$ complejas 
	unitarias.
\end{ejitems}
%%%%%%%%%%%%%%%
\item Pruebe que las funciones 
\begin{align*}
	\mu: \GL(n,\RR) \times \GL(n,\RR) &\to \GL(n,\RR)
	& \iota: \GL(n,\RR) &\to \GL(n,\RR)\\
	(A,B) &\mapsto AB 
		& A &\mapsto A^{-1}
 \end{align*}
son diferenciables; esto nos dice que $\GL(n,\RR)$ es un \emph{grupo de Lie}.

\item Sea $M$ una variedad de dimensión $1$.
	\begin{ejitems}
	\item Si $M$ es conexa y sin borde, $M \cong S^1$ o $M \cong \RR$.
	\item Si $M$ es compacta y con borde, entonces $M \cong S^1$ o $M \cong [0,1]$.
	\end{ejitems}

\item Probar las siguientes afirmaciones.
\begin{ejitems}
\item Toda variedad diferenciable tiene un atlas diferencial numerable 
	$\A = \{(U_i, \phi_i) \mid i \in I\}$ tal que $\phi_i(U_i) = B(0,1)$.

\item El atlas del ejercicio anterior se puede elegir de forma que, si $\tilde
	U_i  = \phi_i^{-1}(B(0,1/2))$, entonces $\tilde \A = \{(\tilde U_i, \phi_i) \mid i \in 
 	I\}$ es un atlas diferencial compatible con $\A$.
\end{ejitems}


\subsubsection*{No variedades}

Por definición una variedad (topológica) es un espacio topológico Hausdorff, localmente
Euclídeo y con una base numerable de abiertos. En esta sección vemos ejemplos de cómo
pueden fallar estas tres propiedades. 
%%%%%%%%%%%%%%%
\item \textbf{La lemniscata.}
	Sea $\alpha: \RR \to \RR^2$ la función $\alpha(t) = (2 \sin(t), \sin(2t))$. 
	Dado $r \in \RR$, notamos $\alpha_r$ a la restricción de $\alpha$ al intervalo 
	$(r, r + 2 \pi)$. La imagen de $\alpha_0$ es una curva $\C$ llamada \emph{lemniscata}.
\begin{ejitems}
	\item Probar que $\{(\C, \alpha_{-\pi})\}$ y $\{(\C, \alpha_0)\}$ son atlas
		$\C^\infty$ sobre $\C$. ¿Es la lemniscata una subvariedad regular de $\RR^2$ con
		alguna de estas estructuras?

	\item Pruebe que las dos estructuras definidas sobre la lemniscata son distintas y
		difeomorfas.

	\item ¿Para qué $r$'s resulta $\alpha_r$ una parametrización de la lemniscata?
\end{ejitems}
\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[width=0.4\textwidth]{lems-a.pdf}
\includegraphics[width=0.4\textwidth]{lems-b.pdf}
  \caption{Las dos estructuras diferenciables de la lemniscata}
\end{figure}
%%%%%%%%%%%%%%%
\item \textbf{La recta con un punto doble.} Sea $S = \RR^\times \sqcup \{A, B\}$.
	Sea $\B \subset \mathcal P (S)$ la familia formada por todos los intervalos abiertos
	contenidos en $\RR^\times$, y por todos los conjuntos de la forma $((r,s)\cap
	\RR^\times)	\cup \{A\}$ y $((r,s) \cap \RR^\times)\cup \{B\}$, con $r < 0 < s$. Probar
	que:
	\begin{ejitems}
		\item $\B$ es base de una topología sobre $S$;
		\item $S$ admite un atlas $\C^\infty$;
		\item $S$ es localmente euclídeo y tiene una base numerable, pero no es Hausdorff.
	\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%
\item \textbf{La recta extendida.}
	Consideramos en $\RR \times \RR$ el siguiente orden: $(a,b) < (c,d)$ si y solo si $a
	< c$ o $a = c$ y $b < d$. Probar que $\RR \times \RR$ con la topología inducida por
	este orden es localmente euclídeo y Hausdorff, pero no admite una base numerable de
	abiertos.

%%%%%%%%%%%%%%%
\item \textbf{La cereza.} 
	Demuestre que si le damos a esta suculenta y esférica cereza la topología de 
	subespacio de	$\RR^3$, entonces no es una variedad topológica.\footnote{Notar que la
	suculencia no juega ningún rol, con lo cual el resultado vale para cerezoides 
	arbitrarios.}
\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[width=0.6\textwidth]{cereza.eps}
  \caption{Cereza}
\end{figure}
\end{ejercicios}
\end{document}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
