\documentclass[a4paper,oneside,fleqn,12pt]{article}
\usepackage[margin=1in]{geometry}

\usepackage[solutions]{practicas}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[matrix,arrow]{xypic}
\usepackage{MnSymbol}

\overfullrule5pt
\relpenalty=10000
\binoppenalty=10000
\hyphenation{siguiente como Como abierto existe manera muestra
super-ficie super-ficies}

\newcommand{\NN}{\mathbb{N}}
\newcommand{\ZZ}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\CC}{\mathbb{C}}
\newcommand{\RR}{\mathbb{R}}
\newcommand{\PP}{\mathbb{P}}
\newcommand{\B}{\mathbf{B}}
\newcommand{\C}{\mathcal C}
\newcommand{\G}{\mathcal G}
\newcommand\N{\mathbf N}
\newcommand{\eps}{\varepsilon}
\DeclarePairedDelimiter{\norm}{\lVert}{\rVert}
\DeclarePairedDelimiter{\abs}{\lvert}{\rvert}
\DeclarePairedDelimiter{\lin}{\langle}{\rangle}
\newcommand{\id}{\mathsf id}

\DeclareMathOperator\SL{\mathsf{SL}}
\DeclareMathOperator\Id{\mathsf{Id}}

\Materia{Geometría Diferencial}
\Cuatrimestre{Primer Cuatrimestre --- 2016}
\Titulo{Segundo Parcial}

\begin{document}

\maketitleParcial
\thispagestyle{empty}

\begin{ejercicios}
\item Sean $r: \RR^{n+1} \setminus \{0\} \to S^n$ dada por $r(p) = p/|p|$ y $\sigma \in 
\Omega^n(S^n)$ dada por 
\[\sigma(p)(v^1, \ldots, v^n) = \det (p, v^1, \ldots, v^n).\]

\begin{ejitems}
\item Sea $p \in \RR^{n+1} \setminus \{0\}$ y sea $w = (\lambda p)_p \in T_p\RR^{n+1}$
con $\lambda \in \RR$. Probar que para cualesquiera campos $v_1, \ldots, v_n$ se tiene
$r^* \sigma(w, v^1, \ldots, v^n) = 0$.

\item Sea $M \subset \RR^{n+1} \setminus \{0\}$ una subvariedad de dimensión $n$ 
compacta y con borde. Supongamos que para cada $v \in S^n$ la intersección $\{\lambda 
v : \lambda > 0\} \cap M$ contiene a lo sumo un punto, y sea $S(M)$ el conjunto de $v 
\in S^n$ tales que dicha intersección es no vacía. Probar que
\[
\int_M r^* \sigma = \int_{S(M)} r^* \sigma.
\]
Esta integral calcula el ángulo solido subtendido por $M$, por lo cual se suele usar la
notación $r^* \sigma = d\Theta_{n+1}$.
\end{ejitems}

\item Dado $G$ un grupo de Lie, decimos que una métrica Riemanniana $\langle -,- 
\rangle$ es invariante a izquierda si $\langle u,v \rangle_{g} = \langle (L_{h})_{*,g}
(u), (L_{h})_{*,g} (v) \rangle_{hg}$ para todos $g,h \in G$ y todos $u,v \in T_{g}G$. Se 
define análogamente una métrica invariante a derecha. Una métrica se dice bi-invariante 
si es invariante a izquierda y a derecha.

Notar que todo grupo de Lie admite una métrica invariante a izquierda. Dado $\langle 
-,- \rangle_{e}$ producto interno en $T_{e}G$, definimos
\begin{equation}
\label{metrica}
\langle u,v \rangle_{g} 
	= \langle (L_{g^{-1}})_{*,g} (u), (L_{g^{-1}})_{*,g} (v) \rangle_{e} 
\end{equation}
para cada $g \in G$, $u,v \in T_{g}G$. El objetivo de este ejercicio es mostrar que bajo 
ciertas hipótesis un grupo de Lie admite una métrica bi-invariante.
\begin{ejitems}
\item Probar que la métrica definida en \eqref{metrica} es invariante a izquierda.

\item Probar que las siguientes condiciones son equivalentes para la métrica definida en \eqref{metrica}.
\begin{tfae}
\item La métrica $\langle-,- \rangle$ es bi-invariante.
\item Vale la igualdad $\langle [U,X],V \rangle = \langle U, [X,V] \rangle$ 
para todos $U,V,X$ campos invariantes a izquierda.
\item Para cada $g \in G$ el diferencial de $c_g: G \to G$, dada por $c_g(h) = 
ghg^{-1}$, es una isometría en $T_{e}G$.
\end{tfae}

\item Supongamos a partir de ahora que $G$ es un grupo de Lie compacto y conexo de 
dimensión $n$. Dada $\omega$ una $n$-forma invariante a izquierda, probar que es 
también invariante a derecha.

\item Mostrar que existe una $n$-forma invariante a izquierda y positiva.

\item Dadas $\langle -,- \rangle$ una métrica invariante a izquierda y $\omega$ una 
$n$-forma positiva invariante a izquierda, definimos $\llangle -,- \rrangle$ en $G$ 
como
\[
\llangle u,v \rrangle_{p} 
	= \int_{G} \langle R_{g_{*,p}} (u),R_{g_{*,p}} (v) \rangle \omega.
\]
Probar que $\llangle -,- \rrangle$ es una métrica Riemanniana bi-invariante.


\item Tomemos $S^{3}$ con el producto heredado de los cuaterniones. Bajo esta 
estructura, es un grupo de Lie. Proveer a $S^{3}$ de una métrica bi-invariante y 
expresar como una integral triple el producto interno $\langle X,Y \rangle$, donde 
\begin{align*}
X 
	&= -x_{2} \frac{\partial}{\partial x_{1}} + x_{1} \frac{\partial}{\partial x_{2}} + 
		  x_{4} \frac{\partial}{\partial x_{3}} - x_{3} \frac{\partial}{\partial x_{4}}. \\
Y &=
	 (-x_{2} - x_{3} - x_{4}) \frac{\partial}{\partial x_{1}} + (x_{1} + x_{3} - x_{4}) 
	\frac{\partial}{\partial x_{2}} \\
	&\hphantom{{}={}}
	+ (x_{1} - x_{2} + x_{4}) \frac{\partial}{\partial x_{3}} 
	+ (x_{1} + x_{2} - x_{3}) \frac{\partial}{\partial x_{4}}.
\end{align*}
\end{ejitems}

\item Sean $G$ y $H$ grupos de Lie, y sea $\phi: G \to H$ un morfismo de grupos 
continuo.

\begin{ejitems}
\item Probar que existe un entorno convexo $U$ de $T_eH$ con la propiedad de que para 
todo elemento $a \in \exp(U)$ existe un único elemento $b \in \exp(U)$ tal que $b^2 = a$.

\item Probar que si $G = \RR$ entonces existe $X \in T_eH$ tal que $\phi(t) = \exp(tX)$. 
\emph{Sugerencia:} Utilizar el ítem anterior para calcular $\phi(\varepsilon/2^n)$ para
$\varepsilon > 0$ adecuado y $n$ arbitrario.

\item Sea $X_1, \ldots, X_n$ una base de $T_eG$. Probar que la función $\psi: T_eG \to G$
dada por \[\psi\left(\sum_{i=1}^n t_i X_i\right) = \exp(t_1X_1)\exp(t_2X_2)\cdots 
\exp(t_n X_n)\] es un difeomorfismo en un entorno de $0$.

\item Probar que $\phi$ es suave, y concluir que si $G$ y $H$ son isomorfos como grupos 
topológicos entonces lo son como grupos de Lie; en particular todo grupo topológico tiene a lo sumo una estructura diferenciable que lo convierte en un grupo de Lie. 
\emph{Sugerencia:} Probar que $\phi \circ \psi$ es suave.
\end{ejitems}

\item Calcular la cohomología de de Rham de las siguientes variedades.

\begin{ejitems}
\item Un toro con $g$ manijas para $g \in \NN$.
\item La botella de Klein.
\end{ejitems}

\item El objetivo de este ejercicio es probar el teorema general de Jordan en versión 
suave. Sea $n > 0 $ y sea $i: S^{n} \to \RR^{n+1}$ una función suave e inyectiva, cuya 
imagen notamos por $M$. El teorema de Jordan suave afirma que $\RR^{n+1} \setminus M$ 
tiene dos componentes conexas, una de ellas acotada y la otra no. 

\begin{ejitems}
\item Sea $M$ una variedad compacta de dimensión menor o igual a $n$, y sea $i: M \to 
S^{n+1}$ una inmersión inyectiva. Probar que $i$ es un embedding y por lo tanto $i(M)$ 
es una subvariedad regular.

\item Sea $M \subset S^{n+1}$ una subvariedad compacta y regular de dimensión menor que 
$n$. Probar que existen un entorno $V$ de $M$ y una función $\pi: V \to M$ tal que, si 
llamamos $j: M \to V$ a la inclusión, entonces $\pi \circ j = \id_M$ y $j \circ \pi$ es 
homotópica a $\id_V$. \emph{Sugerencia:} Probar primero el resultado análogo para 
$\RR^{n+1}$.

\item Sea $M$ como en el ítem anterior, y sea $e: \Omega_c(S^{n+1} \setminus M) \to 
\Omega_c(S^{n+1})$ la función que envía una forma $\omega$ sobre $S^{n+1} \setminus M$
en su extensión por cero a todo $S^{n+1}$. Probar que $e$ está bien definida y es un 
morfismo de complejos, pero
\[
	0 
		\to \Omega_c(S^{n+1} \setminus M) 
		\stackrel{e}{\to} \Omega_c(S^{n+1}) 
		\stackrel{i^*}{\to} \Omega_c(M) 
		\to 0
\]
\emph{no} es una sucesión exacta de complejos.
\end{ejitems}
\noindent Sea $V_1 \supset V_2 \supset V_3 \supset \cdots$ una sucesión de entornos 
abiertos de $M$ como en $(b)$, tales que $M = \bigcap_i V_i$. Para cada $k \geq 0$ se 
define el \emph{gérmen de $k$-formas} de $M$ como
\[
	\mathcal G^k = \{\omega \in \Omega^k (V_i) : i \geq 1\} / \sim
\]
donde $\omega \sim \nu$ si existe $i \gg 0$ tal que $\omega|V_i = \nu|V_i$.
\begin{ejitems}[resume]
\item Probar que $d: \mathcal G^k(M) \to \mathcal G^{k+1}(M)$ dada por $d([\omega]) = 
[d \omega]$ está bien definida y que $d^2 = 0$.

\item Probar que $H^k(\mathcal G^\bullet(M)) = H_{dR}^k(M)$.

\item Sea $g: \Omega_c(S^{n+1}) \to \mathcal G(M)$ la función dada por $g(\omega) = 
[\omega | V_1]$. Probar que 
\[
	0 
		\to \Omega_c(S^{n+1} \setminus M) 
		\stackrel{e}{\to} \Omega_c(S^{n+1}) 
		\stackrel{g}{\to} \mathcal G(M) 
		\to 0
\]
es una sucesión exacta corta de complejos. Concluir que existe una sucesión exacta larga
\[
\cdots 
	\to H^{k-1}_{c}(M) 
	\to H^k_c(S^{n+1} \setminus M) 
	\to H_c^k(S^{n+1}) 
	\to H^k_c(M) 
	\to H^{k+1}_c(S^{n+1} \setminus M) 
	\to \cdots
\]

\item Probar que si $M$ es difeomorfa a $S^{n}$ entonces $\dim H^{n+1}_c(S^{n+1} 
\setminus M) = 2$. Concluir que $S^{n+1} \setminus M$ tiene dos componentes conexas,
y deducir la versión suave del teorema de Jordan.
\end{ejitems}




\end{ejercicios}
\end{document}
