\documentclass[a4paper,oneside,fleqn,12pt]{article}

%Cambiamos un poquito los márgenes%
\addtolength{\oddsidemargin}{-.5in}
\addtolength{\evensidemargin}{-.5in}
\addtolength{\textwidth}{1in}
\addtolength{\topmargin}{-.5in}
\addtolength{\textheight}{1in}


%Las siguientes lineas le dicen a tex que vamos a escribir en español. 
%En particular resuelven el problema de los acentos.%
%Ojo, solo funciona en Linux; en Windoes, cambiar T1 por latin1 [creo...]%
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[spanish, es-minimal, es-sloppy]{babel}

%Algunos paquetes que suelo usar%
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{mathtools}
\usepackage[shortlabels]{enumitem}
\usepackage[osf,noBBpl]{mathpazo}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%Para las entregas, deifnimos un ambiente ejercicio, que acepta dos parámetros, números de
%práctica y ejercicio.
\newenvironment{ejercicio}[2]
{\noindent\textbf{Pr\'actica #1, ejercicio #2.}}{\vspace{.2cm}}

%Robamos a otra persona el código para que el cuadradito al final de las soluciones se vea
%bien...%
\chardef\three3
\newcommand{\textsquare}{%
  \begingroup \usefont{U}{msa}{m}{n}\three\endgroup}
\newcommand{\qed}{%
  \leavevmode\unskip\penalty9999 \hbox{}\nobreak\hfill
  \quad\hbox{\textsquare}%
}

%Definimos el ambiente solucion, que empieza con la palabra "Solución" y termina con un
%cuadradito.
\newenvironment{solucion}
	{\noindent\textit{Soluci\'on.}}{\qed \vspace{.5cm}}


\usepackage[all]{xy}
\usepackage{graphics}

%Definimos comandos para abreviar símbolos que se repiten seguido%
\newcommand\NN{\mathbb{N}}
\newcommand\ZZ{\mathbb{Z}}
\newcommand\RR{\mathbb{R}}
\newcommand\CC{\mathbb{C}}
\newcommand\PP{\mathbb{P}}



%Los operadores matemáticos manejan el espacio de forma distinta a los comandos, así que
%tienen su variante particular%
\DeclareMathOperator\SL{\mathsf{SL}}


\title{Entrega de ejercicios, marzo}
\author{Lobsang Rampa}
\date{23/03/2015}
\begin{document}

\maketitle
\begin{ejercicio}{1}{17} \textbf{La bola con un pelito.} 
	Demuestre que esta suculenta y esférica cereza con la topología de subespacio de
	$\RR^3$ no es una variedad diferenciable, ni	siquiera topológica.
\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[width=0.55\textwidth]{cereza.eps}
  \caption{Cereza}
\end{figure}
\end{ejercicio}

\begin{solucion}
	Consideremos el punto $x$ que se encuentra en la intersección de la cereza y su cabo.
	Si la cereza fuese una variedad topológica, tendríamos un abierto $U\ni x$ homeomorfo a
	un abierto de cierto $\RR^n$. Ahora bien, $U\setminus \{x\}$ no es conexo pues tiene
	dos componentes conexas: la correspondiente al cabo y la correspondiente a la cereza.
	Esto implica que $n=1$, porque ningún abierto de $\RR^m$ se desconecta quitando un
	único punto para $n \geq 2$. Pero si $y$ es cualquier punto en la componente conexa de
	$U\setminus\{x\}$ correspondiente a la cereza, se tiene que $U\setminus\{y\}$ es
	conexo lo cual es imposible pues $U$ es homeomorfo a un abierto de $\RR$. Por lo
	tanto la cereza no admite estructura de variedad topológica.

	Notar que no usamos la hipótesis de suculencia ni la de esfericidad, por lo que el
	resultado vale para cerezas en general.
\end{solucion}


\begin{ejercicio}{2}{6}
	Sea $M \subset \RR^n$ una subvariedad de dimensión $k$, sea $\pi: \RR^n \to \RR^k$
	la proyección en las primeras $k$ coordenadas, y tomemos
	\[
		\mathscr A(M) = \{(U \cap M, \pi \circ h|_{U \cap M}) \mid (U,h) \mbox{ es una carta
		adaptada}\}.	
	\]
	Probar que $\mathscr A(M)$ es
	un atlas $\mathcal C^\infty$, y que por lo tanto $M$ es una variedad diferenciable.
\end{ejercicio}

\begin{solucion}
	Si la proyección $\pi$ se restringe a las primeras $k$ coordenadas, resulta un
	homeomorfismo entre $\mathbb{R}^{k}\times\{0\}$ y $\mathbb{R}^{k}$. Luego si $(U,h)$ es
	una carta adaptada, el hecho de que $h$ sea un homemorfismo con su imagen implica que
	$h|_{U\cap M}$ y $\pi \circ h|_{U\cap M}$ también lo son, y $(U\cap M, \pi \circ
	h|_{U\cap M})$ es una carta para $M$. 
	
	Una comprobación directa muestra que la inversa	de $\pi \circ h|_{U \cap M}$ está dada
	por $h^{-1} \circ j$, donde $j: \RR^k \to \RR^n$ es la función dada por $j(x_1, \ldots,
	x_k)	= (x_1, \ldots, x_k, 0, \ldots, 0)$. Luego, si $(V \cap M, \pi \circ g |_{V \cap
	M})$ es la carta inducida por la carta adaptada $(g,V)$, se tiene que
	\begin{align*}
		(\pi \circ g) \circ (\pi \circ h)^{-1} &= \pi \circ g \circ h^{-1} \circ j,
	\end{align*}
	que es una composición de funciones $\mathcal C^\infty$. Luego los cambios de
	coordenadas son $\mathcal C^\infty$, y las cartas inducidas por las cartas adaptadas
	forman un atlas diferenciable sobre $M$.
\end{solucion}

\begin{ejercicio}{2}{7}
	 Una parametrización de rango $k$ es una función diferenciable $f: W \subset
	\RR^k \to \RR^n$ de rango $k$ que es homeomorfa con su imagen. 
	\begin{enumerate}[(a)]
	\item Probar que $M \subset \RR^n$ es una subvariedad si y solo si para todo punto $x
		\in M$ existen $U$ un entorno abierto de $x$ y $f: W \to \RR^n$ una parametrización
		de rango $k$ tal que $f(W) = U \cap M$.
	
	\item Si $f: W \to \RR^n$ es una parametrización de un abierto de $M$ entonces $(f(W),
		f^{-1})$ es una carta de $M$.
	\end{enumerate}
\end{ejercicio}
\begin{solucion}
	Supongamos que $M$ es una subvariedad. Entonces para todo punto $x \in M$ existe una
	carta adaptada $(U,h)$. Conservando la notación del ejercicio anterior, sabemos que el
	homeomorfismo $\pi \circ h|_{U \cap M}$ tiene como inversa $h^{-1} \circ j: \pi(h(U
	\cap M)) \to U \cap M$, que por supuesto también es un homemorfismo. Como $h$ es un
	homeomorfismo, $h^{-1}$ tiene rango máximo y $j$ tiene rango $k$. Luego $h^{-1} \circ
	j$ es una parametrización entorno de $x$.

	Supongamos ahora que todo punto de $M$ tiene una parametrización, vamos a probar que
	todo punto $x \in M$ tiene una carta adaptada. Sea $f: W \to \RR^n$ una parametrización
	como en el enunciado, con $f(p) = x$ y $f(W) = M \cap U$. Por definición del rango de
	una función diferenciable tenemos que la imagen de $Df(p): \RR^k \to \RR^n$ tiene
	dimensión $k$, y por lo	tanto existen vectores $v_{k+1}, \ldots, v_n \in \RR^n$ que
	generan un espacio complementario a la imagen. 
	
	Definamos la función
	\begin{align*}
		F: W \times \RR^{n-k} &\to \RR^n\\
		w \times (a_{k+1}, \ldots, a_n) &\mapsto f(w) + a_{k+1}v_{k+1} + \cdots + a_n v_n,
	\end{align*}
	cuyo diferencial es de la forma
	\begin{align*}
		DF(w \times a) &=
		\left(
		{
		\renewcommand{\arraystretch}{1.4}
		\begin{array}{c|ccc}
			{} & \vdots 
				& {} 
				& \vdots \\
			Df(w)
				& v_{k+1}
				& \dots 
				& v_n \\
			{} & \vdots
			& {}
				& \vdots
		\end{array}
	}
	\right)
	\end{align*}
	y por construcción es inversible en $p \times 0$. El teorema de la función implicita
	nos dice entonces que existen entornos $W' \times V'$ de $p \times 0$ y $U'$ de $x$
	tales que $F: W' \times V' \to U'$ es un difeomorfismo. 
	
	Dado que $f$ es homeo con su imagen, $f(W') = \{F(w,0) \mid w \in W\}$ es abierto en $U
	\cap M$ y por lo tanto existe un abierto $\tilde U$ tal que $f(W') = \tilde U \cap M$.
	Sin pérdida de generalidad podemos suponer que $\tilde U \subset U'$, pues de lo
	contrario lo podemos reemplazar por $\tilde U \cap U$, que también cumple lo anterior.
	Sea ahora $\tilde V = F^{-1}(\tilde U)$. Por la definición de $\tilde U$, tenemos que
	\begin{align*}
		F^{-1}(\tilde U \cap M) = W' \times \{0\} = \tilde V \cap \RR^k \times \{0\}
	\end{align*}
	de donde se deduce que $(\tilde U, F^{-1})$ es una carta adaptada para $M$. Esto
	completa la demostración del inciso (a).

	Para probar el incisco (b), debemos mostrar que la carta $(f(W), f^{-1})$ es compatible
	con toda carta inducida por una carta adaptada $(U, h)$. Tomemos entonces $(U \cap M,
	\pi \circ h)$ una tal carta inducida, y llamemos $g$ a la composición $\pi \circ h
	\circ f: W \to \pi(h(U \cap M))$; alcanza con ver que $g$ es un difeomorfsimo. Notar
	que $g$ es un homeomorfismo con inversa $f^{-1}
	\circ h^{-1} \circ j$, donde	$j$ es como en el ejercicio anterior. Claramente el rango
	de $g$ es a lo sumo $k$, y como $f = h^{-1} \circ j \circ g$, vemos que $g$ debe tener
	rango $k$. Esto implica que $g$ es localmente un difeomorfismo, y al tener una inversa
	esto implica que es un difeomorfismo.
\end{solucion}


\end{document}
