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\title{\textsc{Teoremas de la función inversa, función implícita y del rango constante}}
\author{Pablo Zadunaisky}
\date{13 de marzo de 2015}
\begin{document}
\maketitle
A lo largo de este documento usamos varias normas sobre espacios vectoriales de dimensión
finita, todas ellas notadas $|\cdot|$. En particular, si $A$ es una matriz real de $m
\times n$, entonces $|A|$ es el menor número real tal que $|Ax| \leq |A| |x|$ para todo $x
\in \RR^n$.

\section{Dos resultados previos}
Enunciamos dos resultados que van a ser necesarios en la demostración del teorema de la
función inversa. Ambos son bien conocidos y suelen verse en materias de segundo año de la
Licenciatura en Matemáticas de la FCEN.

\begin{Definition}
	Sea $X \subset \RR^n$, y sea $f: X \to X$. Decimos que $f$ es una \emph{contracción} 
	si existe una constante $c < 1$ tal que dados dos puntos distintos $x,x' \in X$ se
	tiene $|f(x) - f(x')| < c|x-x'|$.
\end{Definition}

\begin{Theorem}[Teorema de punto fijo de Banach.]
\label{punto-fijo}
	Sea $X \subset \RR^n$ un conjunto no vacío, y sea $f: X \to X$ una contracción.
	Entonces $f$ tiene a lo sumo un punto fijo. Si además $X$ es compacto, entonces $f$
	tiene un punto fijo.
\end{Theorem}
\begin{proof}
	Si $f$ tuviera dos puntos fijos, digamos $x$ y $x'$, entonces $|x-x'| = |f(x) - f(x')|
	< c |x-x'|$, lo cual solo es posible si $x = x'$. Por lo tanto $f$ tiene a lo sumo un
	punto fijo.

	Ahora supongamos que $X$ es compacto. Llamamos $M$ a la máxima distancia entre dos
	puntos de $X$, que existe por la hipótesis de compacidad. Fijamos $x_0 \in X$
	cualquiera, y definimos $x_{n+1} = f(x_n)$ para cada $n \geq 0$. Entonces
	\begin{align*}
		|x_{m+n} - x_n| = &|f(x_{m+n-1}) - f(x_{n-1})| 
									< c|x_{m+n-1} - x_{n-1}| \\
							  &< c^2 |x_{m+n-2} - x_{n-2}| 
									< \ldots <	c^n|x_{m} - x_0| \leq c^n M
	\end{align*}
	de donde se deduce que $(x_n)_{n \in \NN}$ es una sucesión de Cauchy, y como $X$ es
	compacto existe $x \in X$ tal que $x_n \tendsto x$. Al ser una contracción $f$ es 
	continua, así	que $\displaystyle f(x) = \lim_{n \tendsto \infty} f(x_n) = \lim_{n
	\tendsto	\infty} x_{n+1} =	x$; luego $f$ tiene exactamente un punto fijo.
\end{proof}

\paragraph
\label{inversible}
Como el conjunto de matrices inversibles de $M_n(\RR)$ es abierto (es el complemento del
cerrado definido por la ecuación $\det A = 0$), toda matriz suficientemente cercana a la
identidad debe ser inversible. El siguiente lema dice simplemente que la bola de radio $1$
y centro $\Id$ está contenida en ese abierto.
\begin{Lemma*}
	Si una matriz $A \in M_n(\RR)$ cumple que $|\Id - A| < 1$ entonces $A$ es inversible.
\end{Lemma*}
\begin{proof}
	Por construcción las sumas parciales $\displaystyle B_k = \sum_{i = 0}^k (\Id - A)^i$
	\note{Notar que esto es simplemente una nueva instancia de la ineludible igualdad
	$\displaystyle \frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots$ para $|x| < 1$}
	convergen uniformemente en norma, digamos a $B$. Entonces
	\begin{align*}
		AB = (A-\Id)B + B 
			&= \lim_{k \tendsto \infty} -(\Id - A)B_k + B_k 
			 = \lim_{k \tendsto \infty} - B_{k+1} + \Id + B_k = \Id
	\end{align*}
\end{proof}

\section{El teorema de la función inversa}
Esta demostración está tomada del libro de Rudin \emph{Principles of Mathematical
Analysis}.
\begin{Theorem}[Teorema de la función inversa]
\label{T-inversa}
	Sea $E \subset \RR^n$ un abierto y sea $f: E \to \RR^n$ una función continuamente
	diferenciable, tal que en un punto $a \in E$ se tiene que $Df(a): \RR^n \to \RR^n$ es
	inversible. Entonces:
	\begin{enumerate}[(a)]
		\item Existen abiertos $U \subset E$ y $V \subset \RR^n$ con $a \in U$ y $b = f(a)
			\in V$ tales que $f: U \to V$ es biyectiva.
		\item La función inversa $g: V \to U$ es diferenciable, y cumple que $Dg(b) =
			Df(a)^{-1}$.
	\end{enumerate}
\end{Theorem}
\begin{proof}
	\note{Notar que $F$ es el desarrollo de Taylor de $g$ a órden $1$ alrededor de $f(x)$
	(¡si creemos el enunciado!).}
	Fijemos $A = Df(a)$. Construimos una función auxiliar $F: E \times \RR^n \to
	\RR^n$, dada por $F(x,y) = x + A^{-1}(y - f(x))$. Notamos por $D_x F$ la diferencial de
	la función que se obtiene al fijar la segunda variable. Notar que
	\[
		|D_x F| = |\Id - A^{-1} Df| \leq |A^{-1}||A - Df|, 
	\]
	y por la continuidad de	la diferencial de $f$ podemos hacer que $|D_x F(u)| < 1/2$ 
	tomando $u \in U$, donde $U$ es un entorno adecuado de $a$ en el cual $|A - Df(u)|<
	\frac{1}{2|A^{-1}|}$.

	Si fijamos $y$ y hacemos variar $x$, tenemos que
	\begin{align*}
		|F(x_0,y) - F(x_1,y)| \leq |D_xF| |x_0 - x_1| < \frac{1}{2} |x_0 - x_1|
	\end{align*}
	por lo que la función $F(-, y)$ es una contracción cuando la restringimos a $U$.
	\note{El conjunto $U$ es abierto, así que solo estamos usando la condición de
	unicidad del punto fijo. La existencia viene dada por la elección de $y$.}
	El Teorema \ref{punto-fijo} implica que $F(-, y)$ tiene \emph{a lo sumo} un punto fijo.
	Notar que un punto fijo, es decir un $x \in U$ tal que $F(x,y) = x$, es exactamente un
	punto tal que $y = f(x)$; en otras palabras para cada $y \in \RR^n$ hay a lo sumo un $x
	\in U$ tal que $f(x) = y$, y por lo tanto $f$ es inyectiva en $U$. Poniendo $V = f(U)$
	la restricción $f: U \to V$ es biyectiva.

	A continuación vamos a ver que $V$ es un abierto, lo que completa la prueba de (a).
	\note{La estrategia consiste en demostrar que si $y'$ está cerca de $y$, entonces el
	punto fijo de $F(-,y)$ se convierte en una bola cerrada contenida en $U$, que queda
	fija por $F(-,y')$. Esto implica que $F(-,y')$ tiene un punto fijo $x' \in U$, y por
	tanto $y' = f(x')$.}
	Elegimos $y \in V$, es decir $y = f(x)$ para algún $x \in U$, y tomamos $y'$ cerano a
	$y \in V$, dejando en suspenso por un momento \emph{cuán} cercano. Tomamos $r > 0$ tal
	que la bola	cerrada $\overline B(x,r)$ quede contenida en $U$. Si $x' \in \overline
	B(x,r)$ tenemos que
	\begin{align*}
		|F(x',y') -x| 
			& =|F(x',y') - F(x,y)| 
			\leq |F(x',y') - F(x',y)| + |F(x',y) - F(x,y)|\\
			& < |A^{-1}(y-y')| + \frac{|x-x'|}{2} \leq |A^{-1}||y-y'| + r/2
	\end{align*}
	así que si tomamos $|y-y'| < \frac{r}{2|A^{-1}|}$, resulta que $F(-,y')$ manda la bola
	cerrada $\overline B(x,r)$ en sí misma. Ahora como $F(-,y')$ es una contracción al
	restringirla a $U$, también lo es restringida al compacto $\overline B (x,r)$, y por
	el Teorema \ref{punto-fijo} tiene un punto fijo, i.e. existe $x' \in \overline B(x,r)$
	tal que $f(x') = y'$. Esto prueba que $y' \in V = f(U)$, o en otras palabras, que
	$B(y,r/(2|A^{-1}|)) \subset V$, por lo tanto $V$ es abierto.

	Finalmente veamos que la función $g = f^{-1}: V \to U$ es diferenciable. Partimos de la
	siguiente observación: de la desigualdad $|A - Df(x)| < \frac{1}{2|A^{-1}|}$, valida en
	todo $U$ por construcción, se deduce que
	\begin{align*}
		|\Id - A^{-1}Df(x)| \leq |A^{-1}||A-Df(x)| < 1/2
	\end{align*}
	así que por el Lema \ref{inversible} $A^{-1}Df(x)$ es inversible, y por lo tanto
	también lo es $Df(x)$ para todo $x \in U$. 

	Tomemos entonces $y = f(x) \in V$, y sea $T = Df(x)^{-1}$; vamos a ver que $T = Dg(y)$.
	Fijamos $k$ tal que $y + k \in V$, y $h$ tal que $y + k = f(x+h)$. Entonces
	\note{Observar que tenemos una expresión para $Dg$ en todo $V$. Esta es la clave para
	resolver el Ejercicio 1.}
	\begin{align*}
		\frac{|g(y+k) - g(y) - Tk|}{|k|} 
			&= \frac{|h - T(f(x+h) - f(x))|}{|k|}  \\
			&\leq |T| \frac{|f(x + h) - f(x) - Df(x)h|}{|k|}\\
			&= |T| \frac{|f(x + h) - f(x) - Df(x)h|}{|h|}\frac{|h|}{|k|}
	\end{align*}
	Si conseguimos acotar $|h|/|k|$ por una constante, entonces $h \rightarrow 0$
	cuando $k \rightarrow 0$ y podemos tomar límite de ambos lados y la diferenciabilidad
	de $g$ se sigue de la diferen-ciabilidad de $f$. Ahora notar que
	\begin{align*}
		|F(x+h,y) - F(x,y)| = |h - A^{-1}k| < |h|/2 
	\end{align*}
	lo que implica que $|h|/2 \leq |A^{-1}k| \leq |A^{-1}| |k|$. Luego $|h|/|k| \leq
	2|A^{-1}|$, y tenemos la cota que queríamos. Esto muestra que $Dg(y) = Df(x)^{-1}$
	donde $y = f(x)$ y $x \in U$, arbitrario.
\end{proof}

\begin{Ejercicio}
	Sea $p \in \NN \cup \{\infty\}$. Usando la notación del teorema anterior, probar que si
	$f \in \C^p(U)$ entonces $g \in \C^p(V)$.
\end{Ejercicio}

\paragraph
Esta es una demostración bastante a mano: a cada punto de la imagen le asignamos un
punto del dominio. Usando un poco de tecnología, se puede reformular esta demostración
para encontrar la función inversa como el punto fijo de un operador definido sobre un
espacio de Banach adecuado.

\section{Teoremas de función implícita y del rango constante}
En esta sección vamos a demostrar dos teoremas equivalentes al teorema de la función
inversa. Usamos la siguiente notación: cuando escribimos $\RR^n \times \RR^m$ en lugar de
$\RR^{n+m}$, tomamos un sistema de coordenadas donde notamos las primeras $n$ coordenadas
por $x_1, \ldots, x_n$ y las últimas $m$ por $y_1, \ldots, y_m$. Dados $a = (a_1, \ldots,
a_n) \in \RR^n$ y $b = (b_1, \ldots, b_m) \in \RR^m$, el punto $(a,b) \in \RR^n \times
\RR^m$ es el punto de coordenadas $(a_1, \ldots, a_n, b_1, \ldots, b_m)$. De la misma
forma, dada una función $f: \RR^n \times \RR^m \to \RR^l$ notamos por $f_i$ la función que
a cada par $(a,b)$ le asigna la $i$-ésima coordenada de $f(a,b)$.

\paragraph
La siguiente demostración del teorema de la función implícita es casi inmediata a partir
del teorema de la función inversa. Usa una construcción sencilla pero muy habitual, que
a partir de una función entre espacios de dimensión distinta produce otra entre espacios
de igual dimensión, a la que se le puede aplicar el teorema de la función inversa.
\label{T-implicita}
\begin{Theorem*}[Teorema de la función implícita]
	Sea $f: U \subset \RR^n \times \RR^m \to \RR^n$ una función continuamente
	diferenciable.	Supongamos que $(a,b) \in U$ es tal que $f(a,b) = 0$ y
	que el determinante de la matriz $D_xf(a,b) = \left(\frac{\partial f_i}{\partial
	x_j}(a,b)\right)_{1 \leq i, j \leq n}$ es distinto de cero. Entonces existen entornos
	$V \subset \RR^n$ de $a$ y $W \subset \RR^m$ de $b$ y una función $g: W \to V$
	diferenciable tales que para todo $(x,y) \in V \times W$ se tiene que $f(x,y) = 0$ si y
	solo si $x = g(y)$.
\end{Theorem*}
\begin{proof}
	Sea $F: \RR^n \times \RR^m \to \RR^n \times \RR^m$ la función dada por $F(x,y) =
	(f(x,y), y)$. Por construcción
	\begin{align*}
		DF(a,b) 
		&=
		\left(
		{
		\renewcommand{\arraystretch}{1.4}
		\begin{array}{c|c}
			D_xf(a,b)
				& \displaystyle D_yf(a,b) 
			\\ \hline
			0 & \Id_m 
		\end{array}
		}
	\right)
	\end{align*}
	lo que implica que $DF(a,b)$ es inversible, y por el teorema de la función inversa
	existen entornos abiertos $U_1$ de $(a,b)$ y $U_2$ de $F(a,b) = (0,b)$ tales que $F:
	U_1 \to U_2$ es un difeomorfismo, con una inversa que llamamos	$G$.

	Observemos que para cada $(a,b) \in U_1$ se tiene que
	\begin{align*}
		f(x,y) = 0 \iff F(x,y) = (0,y) \iff (x,y) = G(0,y).
	\end{align*}
	Fijemos $V' \times W' \subset U_2$ un entorno de $(0,b)$, y $V \times W \subset G(V'
	\times W')$ un entorno de $G(0,b) = (a,b)$. Notar que $W \subset W'$ y
	que $0 \in V$, por lo que podemos definir la función $g: W \to V$ como $g(y) = G(0,y)$,
	que cumple lo pedido.
\end{proof}

\begin{Ejercicio}
	Demuestre el teorema de la función inversa \ref{T-inversa} utilizando el teorema de la
	función implícita \ref{T-implicita}.
\end{Ejercicio}

\begin{Ejercicio}
	Muestre que si $f$ se elige $\C^p$ en el teorema \ref{T-implicita}, entonces $g$
	resulta $\C^p$.
\end{Ejercicio}

\paragraph
El último teorema que vamos a demostrar es el teorema del rango constante. Recordamos que
el rango de una matriz $A \in \RR^{n \times m}$ es el máximo número de columnas (o de
filas) linealmente independientes; este es igual al máximo número $k$ tal que $A$ tiene
una submatriz de tamaño $k \times k$ con determinante no nulo. Si tenemos una función
diferenciable $f: \RR^n \to \RR^m$ entonces su rango en el punto $x \in \RR^n$ es el rango
de la matriz diferencial $Df(x)$.

\begin{Ejercicio}
	Si una función continuamente diferenciable $f: \RR^n \to \RR^m$ tiene rango $k$ en el
	punto $x$, entonces tiene rango al menos $k$ en un entorno de $x$. En particular, el
	conjunto donde el rango de $f$ alcanza su máximo es abierto.
\end{Ejercicio}

Introducimos la siguiente notación. Un \emph{cambio de coordenadas diferenciable} centrado
en $x \in \RR^n$ es un difeomorfismo $F: U \to U_0$ con $U$ y $U_0$ entornos abiertos de
$x$ y $0$ respectivamente, tal que $F(x) = 0$. El siguiente es un resutlado sencillo, que
simplifica problemas de notación en la demostración del teorema de rango constante.

\begin{Ejercicio}
	Sea $f: \RR^n \to \RR^m$ una función con rango $k$ en un entorno abierto $U$ de $x$.
	Entonces existen cambios de coordenadas diferenciables $F$ y $G$ centrados en $x$ y en
	$f(x)$ respectivamente tales que el diferencial de la	función $\tilde f = G \circ f
	\circ F^{-1}$ tiene sus primeras $k$-filas y sus primeras $k$-columnas linealmente
	independientes en todo punto en el que esté definida.
\end{Ejercicio}

\begin{Theorem}[Teorema del rango constante]
\label{T-rango}
	Sea $f: \RR^n \to \RR^m$ una función diferenciable. Supongamos que existe un entorno
	abierto $E$ de $a \in \RR^n$ donde el rango de $f$ es constantemente $k$. Entonces
	existen cambios de coordenadas diferenciables $F:U \to U_0$ y $G: V \to V_0$ centrados
	en $a$ y en $f(a)$ respectivamente tales que
	\begin{align*}
		G \circ f \circ F^{-1}(x_1, \ldots, x_n) = (x_1, \ldots, x_k, 0, \ldots, 0).
	\end{align*}
\end{Theorem}
\begin{proof}
	Por el ejercicio previo podemos reducirnos al caso en que $a = 0$ y $f(a) = 0$, y la	
	matriz $\displaystyle \left(\frac{\partial f_i}{ \partial x_j}(a)\right)_{1 \leq i,j
	\leq k}$ es inversible. Definimos entonces $F: E \to \RR^n$ como $F(x) = (f_1(x),
	\ldots, f_k(x), x_{k+1}, \ldots, x_n)$. Por definición $F(0) = 0$ y su diferencial en
	$0$ es inversible, así que por el teorema de la función inversa \ref{T-inversa} existen
	entornos $U, U'$ de $0$ tal que la restricción $F: U \to U'$ es un difeomorfismo. 

	Llamemos $A(x)$ a la matriz $\displaystyle \left( \frac{\partial f_i}{\partial
	x_j}\right)$; para simplificar escribimos $A$ en lugar de $A(x)$. Entonces podemos
	escribir los diferenciales de $f$ y $F$ como
	\begin{align*}
		Df(x)
		&=
		\left(
		\begin{array}{c|c}
			A & B\\ \hline
			C & D
		\end{array}
	\right)
		&DF(x)
		&=
		\left(
		\begin{array}{c|c}
			A & B\\ \hline
			0 & \Id_{n-k}
		\end{array}
	\right)
	\end{align*}
	de donde se deduce que
	\begin{align*}
		DF^{-1}(F(x))
		&=
		\left(
		\begin{array}{c|c}
			A^{-1} & -A^{-1}B\\ \hline
			0 & \Id_{n-k}
		\end{array}
		\right),
	\end{align*}
	y por lo tanto aplicando la regla de la cadena obtenemos
	\begin{align*}
		D(f \circ F^{-1})(F(x))
		= Df(x) DF^{-1}(F(x))
		&=
		\left(
		\begin{array}{c|c}
			\Id_k & 0\\ \hline
			CA^{-1} & D - CA^{-1}B
		\end{array}
		\right).
	\end{align*}
	Como $F$ es un difeomorfismo, el rango de $D(f \circ F^{-1})(u)$ es $k$ para todo punto
	$u \in U'$, lo que automáticamente implica que $D - CA^{-1}B = 0$. Luego
	\[
		f \circ F^{-1}(u) = (u_1, \ldots, u_k, h_{k+1}(u_1, \ldots, u_k), \ldots,
		h_n(u_1, \ldots, u_k)),
	\]
	donde las funciones $h_i$ son diferenciables.

	Ahora definimos $G: \RR^m \to \RR^m$ como 
	\[
		G(y_1, \ldots, y_m) = (y_1, \ldots, y_k, y_{k+1}- h_{k+1}(y_1, \ldots, y_n), \ldots,
		y_{n} - h_n(y_1, \ldots, y_k)).
	\] 
	Observar	que por definición $G(0) = 0$, y que el diferencial de $G$ es inversible en
	el	orígen, con lo cual el teorema de la función inversa \ref{T-inversa} implica que
	existen $V, V'$ entornos de $0$ tales que $G: V \to V'$ es un difeomorfismo. Tomando
	$V_0 = V'$ y $U_0 = (F \circ f)^{-1}(V)$ tenemos el resultado.
\end{proof}

\begin{Corollary}
	Sea $F: \RR^{n+m} \to \RR^n$ una función diferenciable. Entonces la superficie de nivel
	$F(x,y) = 0$ es localmente difeomorfa al subespacio $\{(x,y) \mid y = 0\}$.
\end{Corollary}

\begin{Ejercicio}
	Demuestre la equivalencia de los teoremas \ref{T-inversa}, \ref{T-implicita} y
	\ref{T-rango}
\end{Ejercicio}
\end{document}
