\documentclass[a4paper,oneside,fleqn,10pt]{article}
\usepackage[nosolutions]{practicas}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}

\usepackage[all]{xy}
\usepackage{graphics}

\overfullrule5pt
\relpenalty=10000
\binoppenalty=10000
\hyphenation{siguiente}

\DeclarePairedDelimiter\abs{\lvert}{\rvert}
\DeclarePairedDelimiter\norm{\lVert}{\rVert}
\DeclarePairedDelimiter\ip{\langle}{\rangle}
\newcommand\eps{\varepsilon}
\renewcommand\phi{\varphi}

\newcommand\NN{\mathbb N}
\newcommand\ZZ{\mathbb Z}
\newcommand\QQ{\mathbb Q}
\newcommand\RR{\mathbb R}
\newcommand\CC{\mathbb C}
\newcommand\TT{\mathbb T}
\newcommand\PP{\mathbb P}

\DeclareMathOperator{\GL}{GL}
\DeclareMathOperator{\SL}{SL}
\DeclareMathOperator{\OO}{O}
\DeclareMathOperator{\SO}{SO}


\newcommand\dd{\mathsf d}
\newcommand\C{\mathcal C}
\newcommand\ot{\otimes}

\DeclareMathOperator\Id{Id}
%\DeclareMathOperator\exp{exp}
\DeclareMathOperator\im{im}
\DeclareMathOperator\X{\mathfrak X}

\DeclareMathOperator\Vect{\mathsf{Vect}}
\DeclareMathOperator\Var{\mathsf{Var}}

\newcommand\subsets[2]{
	\genfrac{\llbracket}{\rrbracket}{0pt}{}{#1}{#2}
}



\Materia{Geometría Diferencial}
\Cuatrimestre{Primer Cuatrimestre --- 2015}
\Practica{8}
\Titulo{Cohomología de de Rham}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\maketitle
\begin{ejercicios}
\item Calcular la cohomología de de Rham de las siguientes variedades.
\begin{multicols}{2}
\begin{ejitems}
\item La banda de Moebius abierta.
\item $S^n$ para todo $n \geq 1$.
\item $\RR^k \setminus Z$, donde $Z$ es un conjunto finito.
\item $\TT^2$.
\item $S^1 \times \RR$.
\item $S^1 \times [-1,1]$.
\end{ejitems}
\end{multicols}
\noindent Concluya que $S^2$ y $\TT^2$ no son difeomorfas (y si le parece obvio, trate de
probarlo sin usar cohomología).

\item ¿Es posible presentar $\RR^2$ como la unión de dos abiertos conexos cuya intersección
	no sea conexa?

\item Muestre que como variedades $\GL_n(\RR) \cong \OO_n(\RR) \times
	\RR^{\frac{n(n+1)}{2}}$ y $\SL_n(\RR) \cong \SO_n(\RR)\times \RR^{\frac{n(n-1)}{2}}$.
	Calcule la cohomología de $\SL_2(\RR)$.

\item Sea $M$ una variedad.
\begin{ejitems}
\item Si $M$ es contractil entonces $H^k_{dR}(M)=\begin{cases} \RR &\mbox{si } k=0
	\\  0 &\mbox{si } k>0 \end{cases}$.
\item Si $\omega \in \Omega^k(M)$ es cerrada entonces para todo $p\in M$ existen un
	entorno $U$ de $p$ y $\eta \in \Omega^{k-1}(U)$ tal que $\omega|_U = \dd \eta$.
\end{ejitems}

\item Sean $p, q \in \RR^n$. Decimos que un conjunto $A \subset \RR^n$ separa a $p$ y $q$
	si cada punto pertenece a una componente conexa distinta de $\RR^n \setminus A$. Dados
	dos cerrados disjuntos $A, B \subset \RR^n$, probar que si $A$ y $B$ \emph{no} separan
	a $p$ y $q$, entonces tampoco los separa $A \cup B$.

\item Sea $k < n-1$, y supongamos que $A \subset \RR^n$ es difeomorfo a $S^k$. Probar que
\begin{align*}
	H^\bullet_{dR}(\RR^n \setminus A) &= 
	\begin{cases}
		\RR & \mbox{si } \bullet = 0, n-k-1, n-1; \\
		0 & \mbox{si no.}
	\end{cases}
\end{align*}

\item Si un abierto $U \subset \RR^n$ puede ser cubierto por un número finito de abiertos
	convexos, entonces $H^i_{dR}(U)$ tiene dimensión finita para todo $i$.

\item Sea $M$ una variedad compacta, orientable y sin borde de dimensión $n$. Probar que
	la integración sobre $M$ induce un isomorfismo $H^n_{dR}(M) \cong \RR$.
\end{ejercicios}
\end{document}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
