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\Materia{Geometría Diferencial}
\Cuatrimestre{Primer Cuatrimestre --- 2015}
\Practica{7}
\Titulo{Integración y teorema de Stokes}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\maketitle
A lo largo de la práctica vamos a usar formas continuas. Una $1$-forma $\omega$ sobre la
variedad $M$ se dice continua si para cada carta $(U, \phi)$ se tiene que $\omega|_p =
\sum_i a_i(p) d\phi_1|_p$ para todo $p \in U$, con las $a_i$ continuas. De forma
equivalente, $\omega$ se dice continua si es una sección continua del fibrado cotangente.
La definición de $k$-formas continuas es análoga.

\begin{ejercicios}

\item Sea $\omega$ una $n$-forma continua sobre $\RR^n$ con soporte compacto
	contenido en un abierto $U \subset \RR^n$. Sea $V$ otro abierto de $\RR^n$ y sea $F: V
	\to U$ un difeomorfismo. Probar la igualdad $\int_V F^*(\omega) = \pm \int_U \omega$.
	¿De qué depende el signo?

\section{Integrales de línea, de superficie y más}
\item
\label{integrar}
Sea $M$ una variedad de dimensión $m$ y $N$ una subvariedad regular de dimensión $n$. Dada
$\omega \in \Omega^k(M)$, tomar el pull-back de $\omega$ por la inclusión $i: N \to M$ nos
da $i^*(\omega) \in \Omega^k(N)$. Probar que si identificamos $T_pN$ con su imagen
$i_{*,p}(T_pM)$ entonces $i^*(\omega)|_p$ es la restricción de $\omega_p$ a $(T_pN)^k$.
\emph{Sugerencia:} escribir el pull-back de una $k$-forma usando cartas adaptadas.\\

\noindent \textbf{Definición:} Dadas $M, N$ y $\omega$ como en el ejercicio
\ref{integrar}, escribimos $\int_N \omega$ en lugar de $\int_N i^*(\omega)$.

\item Sea $\C \subset \RR^n$ una curva regular, es decir una subvariedad regular de
	dimensión $1$. Probar las siguientes afirmaciones:
\begin{ejitems}
\item existe una parametrización global $\alpha: (a,b) \to \C$, en particular $\C$ es
	orientable;
\item si $\omega = f_1 \dd x_1 + \cdots + f_n \dd x_n$ entonces $\int_\C \omega = \int_a^b
	\ip{f(\alpha(t)),\alpha'(t)} \dd t$, donde $f = (f_1, \ldots, f_n)$ y $\alpha$ es una
	parametrización cualquiera;
\end{ejitems}

\item Sea $S \subset \RR^3$ una superficie orientada con una carta orientada $(U, \phi)$.
	Si $\omega$ es una $2$-forma de $\RR^2$, calcular $\int_U \omega$ en términos de $\phi
	= (\phi_1, \phi_2)$ de forma análoga al ejercicio anterior.

\item Calcular en cada caso la integral indicada.
\begin{multicols}{2}
\begin{ejitems}
\item $\int_{S^1} x \dd x + y \dd y$;
\item $\int_{S^1} y \dd x - x \dd y$;
\item $\int_\C \frac{x^2 + y^2}{1+z^2}\dd z$ con \\
	$\C = \{(\cos t, \sin t, t) : t \in	(-\pi,\pi)\}$;

\item $\int_{B_1(0)} \dd x \wedge \dd y$;
\item $\int_{S^2} x \dd y \wedge \dd z - y \dd x \wedge \dd z + z \dd x \wedge \dd y$;
\item $\int_C x \dd x \wedge \dd z + y \dd y \wedge \dd z$, con \\
	$C = \{(x,y,z) \mid x^2 +	y^2 = 1, z \in (-1,1)\}$.
\end{ejitems}
\end{multicols}
\section{Longitudes, áreas y volúmenes}
\item\begin{ejitems}
\item  Sea $\C \subset \RR^n$ una curva regular. Probar que existe una $1$-forma $\omega$
	en $\RR^n$ tal que $\omega|_{\alpha(t)}(\alpha'(t)) =	\norm{\alpha'(t)}$ para toda
	parametrización orientada $\alpha$ y todo $t$. El número $\int_\C \omega$ es la
	\emph{longitud} de $\C$.

\item No existe una forma $\omega$ que cumpla la igualdad $\int_\C \omega = \mbox{longitud
	de } \C$ para toda curva. \emph{Sugerencia:} Considere
	segmentos de rectas sobre los ejes coordenados para obtener condiciones necesarias para
	una tal $\omega$, y pruebe que estas condiciones son incompatibles con lo pedido.
\end{ejitems}

\item Sea $S \subset \RR^3$ una superficie compacta y orientable. Para cada $p \in S$
	identificamos $T_pS$ como un subespacio de $T_p\RR^3$ y consideramos la restricción del
	producto interno canónico. Probar las siguientes afirmaciones.
\begin{ejitems}
\item Existe una única $2$-forma nunca nula sobre $S$ tal que $\omega|_p(v,w) = 1$ para
	toda base ortonormal orientada $\{v,w\}$ de $T_pS$; se suele llamar a $\omega$ el
	elemento de área de $S$, y llamamos a $\int_S \omega$ el área de $S$.
\item Si $S \subset \{z = 0\}$ entonces $\int_S \omega = \int_{\pi(S)} 1 \dd x \dd y$,
	donde $\pi$ es la proyección en las primeras dos coordenadas.
\item Calcular $\omega |_U$ en términos de $\dd \phi_1 \wedge \dd \phi_2$, con $(U, \phi)$
	una carta de $S$.
\item $S$ se puede cubrir por cartas adaptadas $(U, \phi)$ con $\overline U$ compacto
	de forma que $\{\frac{\partial}{\partial \phi_1}, \frac{\partial}{\partial \phi_2}\}$
	resulte un frame ortonormal orientado sobre $U$. ¿Qué ocurre en este caso con
	$\omega|_U$?
\end{ejitems}

\item Hallar el elemento de área de $S^2, \TT^2$ y del cilindro $\{(x,y,z) \mid x^2+ y^2 =
	1, z \in (-1,1)\}$ en términos de $\dd x, \dd y \mbox{ y } \dd z$. \emph{Sugerencia:}
	Elija una buena parametrización y use el ítem (c) del ejercicio anterior.

\item Sea $M$ una variedad de dimensión $m$.
\begin{ejitems}
\item Probar que es posible dotar a cada espacio $T_pM$ de un producto interno
	$\ip{-,-}_p$ tal que para todo par de campos suaves $X, Y$ la función $p \mapsto
	\ip{X_p,Y_p}_p$ resulta suave (si quiere piense que $M$ es compacto, pero yo no
	quiero). Una variedad con esta propiedad se llama \emph{Riemanniana}.
\item Si además $M$ es orientable, entonces existe $\omega \in \Omega^m(M)$ tal que
	$\omega|_p(v_1, \ldots, v_m) = 1$ para toda base ortonormal orientada $\{v_1, \ldots,
	v_m\}$ de $T_pM$. Decimos que $\omega$ es una \emph{forma de volumen} de $M$.
\item Si $M$ es compacta, entonces el número $\mathsf{Vol}(M) = \int_M \omega$ es finito.
\end{ejitems}

\section{Variada cosa}
\item Sea $M$ una variedad orientada y $\omega \in \Omega^k(M)$ tal que $\dd \omega = 0$.
	Probar que
\begin{ejitems}
\item Si $W \subset M$ es una subvariedad regular de dimensión $k$ entonces
	$\int_{\partial W} \omega = 0$.
\item Si $W$ es una subvariedad de dimensión $k+1$ cuyo borde está dado por $S \sqcup T$,
	entonces $\int_S \omega = - \int_T \omega$.
\end{ejitems}

\item Sea $M$ una variedad de dimensión $n$ compacta, orientable y sin borde, con $\omega
	\in \Omega^n(M)$ nunca nula. Probar que no existe una $n-1$-forma $\nu$ tal que $\dd
	\nu = \omega$.

\item Probar que la $2$-forma $\omega = \frac{1}{(x^2+y^2+z^2)}(x \dd y \wedge \dd z - y
	\dd x \wedge \dd z + z \dd x \wedge \dd y)$ cumple que $\dd \omega = 0$ en $\RR^2
	\setminus \{0\}$, pero que no es	la diferencial de ninguna $1$-forma definida sobre ese
	conjunto. Calcular $\int_{S^2} \omega$, y generalizar para $\RR^n \setminus \{0\}$.
\end{ejercicios}
\end{document}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
