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\Materia{Geometría Diferencial}
\Cuatrimestre{Primer Cuatrimestre --- 2015}
\Practica{6}
\Titulo{Formas diferenciables y orientabilidad}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\maketitle
Sea $f: M \to \RR$ una función suave. Se define $df_p \in (T_pM)^*$ como $df_p(X_p) =
X_p(f)$.

\section{El fibrado cotangente y las $1$-formas}

\begin{ejercicios}
\item Sea $(\phi, U)$ una carta de $M$
\begin{ejitems}
\item Probar que $\{d(\phi_i)_p : 1 \leq i \leq n\}$ es la base de $T_p^*M$ dual a
	$\{\frac{\partial}{\partial \phi_i}\big|_p : 1 \leq i \leq n\}$

\item Sea $f: M \to \RR$ una función suave. Probar que vale la	fórmula
	\begin{align*}
		df_p = \sum_{i = 1}^n \frac{\partial f}{\partial \phi_i}(p) d(\phi_i)_p.
	\end{align*}
\end{ejitems}

\item	Se define $T^*M$ como $\bigcup_{p \in M} \{p\} \times (T_pM)^*$, y llamamos $\pi: T^*M
	\to M$ a la proyección en la primera coordenada. Para cada carta $(U, \phi)$ se define
	$\hat \phi: T^*U \to U \times \RR^n$ como $\hat \phi (p, \sum_i a_i d(\phi_i)_p) = (p,
	a_1, \ldots, a_n)$. Probar las siguientes afirmaciones
\begin{ejitems}
\item El conjunto $\mathcal A = \{(T^*U, \hat \phi) \mid (U, \phi) \mbox{ es carta de
	$M$}\}$ es un atlas sobre $T^*M$. 
\item $\pi: T^*M \to M$ es un fibrado diferenciable. Se lo llama el \emph{fibrado
	cotangente}.
\item Toda sección de $T^*M$ es localmente de la forma $\sum_i a_i d(\phi_i)$, con $a_i: M
	\to \RR$. Además, una sección es suave si y solo si las funciones $a_i$ son todas
	suaves.
\item Para toda $f: M \to \RR$ suave $df$ es una sección suave del fibrado.
\end{ejitems}

\noindent\textbf{Definición:} Una $1$-forma es una sección del fibrado cotangente (no
necesariamente suave, ni continua). El conjunto de las $1$-formas diferenciables de $M$ se
nota $\Omega^1(M)$.

\item Fijamos $\omega: M \to T^*M$ una $1$-forma. Probar que las siguientes afirmaciones
	son equivalentes:
\begin{ejitems}
\item $\omega$ es suave.
\item Para toda carta $(U, \phi)$ y todo campo diferenciable $X \in \mathfrak(U)$ la
	aplicación $p \mapsto \omega|_p(X_p)$ es diferenciable
\item Para todo campo diferenciable $X\in \mathfrak X(M)$ la aplicación $p \mapsto
	\omega(p)(X_p)$	es diferenciable.
\end{ejitems}

\item
\begin{ejitems}
\item Sean $(U, \phi)$ y $(V, \psi)$ cartas de $M$. Dado un punto en $p \in U \cap V$,
	escribir las formas $d \psi_i$ en términos de las formas $d \phi_i$.
\item Dada una función $f: M \to N$ suave y $\omega \in \Omega^1(N)$, presentar
	$f^*(\omega)$ en términos de las cartas de $M$.
\end{ejitems}

\item 
\begin{ejitems}
\item El conjunto de $1$-formas es un $\C^\infty(M)$-modulo, y	$\Omega^1(M)$ es un
	submódulo.
\item Sea $U \subset M$ abierto y $\omega \in \Omega^1(U)$. Existe un abierto $V$ cuya
	clausra está contenida en $U$ y una $1$-forma $\tilde \omega \in \Omega^1(M)$ tal que
	$\tilde \omega|_V = \omega|_V$.
\item Probar que si $M$ es compacta entonces $\Omega^1(M)$ es finitamente generado sobre
	$\C^\infty(M)$.
\item Caracterizar $\Omega^1(S^1)$.
\end{ejitems}

\item Sea $V \subset \RR^2\setminus\{(0,0\}$ abierto. Una función $\theta: V \to \RR$ es
	una función de	ángulo si para cada $(x,y)\in V$ se tiene
	\begin{align*}
		\cos\theta(x,y)&=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}},&
		\sin\theta(x,y)&=\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}.
	\end{align*}
Demuestre las siguientes afirmaciones:
\begin{ejitems}
\item No existe una función ángulo continua $\theta:\RR^2 \setminus \{(0,0)\}\to \RR$.		
\item Todo punto de $\RR^2 \setminus \{(0,0)\}$ pertenece a un abierto $V$ donde puede
	definirse una función ángulo $\theta: V \to \RR$ continua.
\item Si $V$ es conexo y $\theta_1,\theta_2:V\to\RR$ son funciones de ángulo continuas
	existe un entero $k$ tal que $\theta_2(x,y)-\theta_1(x,y) = 2k \pi$ para todo $(x,y)\in
	V$.
\item Si existe una función ángulo continua $\theta: V \to \RR$ entonces es diferenciable,
	y su diferencial es de la forma
	\[
		d\theta=\frac{-y}{x^2+y^2}dx+\frac{x}{x^2+y^2}dy.
	\]
\item Recíprocamente si la forma $d\theta=\frac{-y}{x^2+y^2}dx+\frac{x}{x^2+y^2}dy$ es la
	diferencial	de alguna función $f: V \to \RR$ entonces existe una constante $c \in \RR$
	tal que $\theta(x,y)=f(x,y)-c$ es una función ángulo continua en $V$.
\end{ejitems}

\item Demuestre las siguientes afirmaciones:
\begin{ejitems}
\item $\omega=-ydx+xdy$ induce una $1$-forma en $S^1$ por restricción.
\item Si $X=-y\frac{\partial}{\partial x}+x\frac{\partial}{\partial y}$ entonces
	$\omega(X)=1$.
\item $\omega$ es una $1$-forma invariante de $S^1$, es decir $(L_g)^*(\omega) = \omega$
	para todo $g\in S^1$.
\end{ejitems}


\item Si $M \subset \RR^n$ es una subvariedad regular, entonces existe un isomorfismo de
	fibrados entre $T^*M$ y $TM$. \emph{Sugerencia:} piense en el caso $M = \RR^n$.

\item Sean $f,g : M \to \RR$ suaves. Probar que $d(fg) = gdf +fdg$.

\section{Variedades y $k$-formas.}
\item Dado un espacio vectorial $V$, llamamos $\Alt_k(V)$ al espacio de todas las
	funciones multili-neales 
	\[f: \underbrace{V \times \cdots \times V}_{\mbox{$k$-factores}} \to \RR\]
	tales que $f(v_{\sigma(1)}, \ldots, v_{\sigma(k)}) = (\sg \sigma) f(v_1, \ldots, v_k)$.
\begin{ejitems}
	\item Probar que $\Alt_1(V) = V^*$.
	\item Probar que $\Alt_k$ puede extenderse a un funtor contravariante de la categoría
		de espacios vectoriales en sí misma.
	\item Construir una base de $\Alt_k(V)$ a partir de una base de $V$. Encontrar la
		dimensión de este espacio.
	\item Usando el ítem anterior, encontrar una forma $\mathsf{ev}: \Alt_k(V) \times
		\Alt_k(V^*) \to \RR$ bilineal y no degenerada. Concluir que $\Alt_k(V)^* \cong
		\Alt_k(V^*)$ de forma natural.
\end{ejitems}
\item Dadas funciones $f \in \Alt_k(V), g \in \Alt_l(V)$, se define 
		\[
		f \wedge g(v_1, \ldots, v_{k+l}) 
			= \frac{(k+l)!}{k!l!} \sum_{\sigma \in S_{k+l}} \sg(\sigma)
			f(v_{\sigma(1), \ldots, v_\sigma(k)})g(v_{\sigma(k+1)}, \ldots, v_{\sigma(k+l)}).
		\]
		Probar que $f \wedge g \in \Alt_{k+l}(V)$, que $f \wedge g = (-1)^{kl} g \wedge f$,
		y que si $h \in \Alt_n(V)$ entonces $(f	\wedge g) \wedge h = f \wedge (g \wedge
		h)$.

\item Imitando la definición del fibrado cotangente, definir un fibrado $\Alt_k(M)$ sobre
	una variedad $M$ cuya fibra sobre el punto $p$ está dada por $\Alt_k(T_pM)$. 

\bigskip
\noindent\textbf{Definición:} Una $k$-forma es una sección del fibrado $\Alt_k(TM)$. El
	conjunto de las $k$-formas diferenciales se nota por $\Omega^k(M)$.


\item Recordamos que $\subsets{n}{k}$ denota el conjunto de $k$-uplas ordenadas en forma
	creciente de números entre $1$ y $n$. Dada una carta $(U, \phi)$ e $I \in
	\subsets{n}{k}$, notamos $d\phi_I|_p = \phi_{i_1} \wedge \cdots \wedge d\phi_{i_k}|_p$.
	\begin{ejitems}
	\item Probar que $\{d\phi_I|_p \mid I \in \subsets{n}{k}\}$ es una base de
		$\Alt_k(T_pM)$.
	\item Probar que una $k$-forma $\omega$ es suave si y solo si para cada carta $(U,
		\phi)$ las funciones $c_J$ definidas por
		\[
			\omega = \sum_{J \in \subsets{n}{k}} c_J d\phi_J.
		\]
		son suaves.
	\item Probar que una $k$-forma $\omega$ es diferenciable si y solo si para todo
		conjunto de campos $X^1, \ldots, X^k \in \mathfrak X(M)$ se tiene que
		$\omega(X^1, \ldots, X^k)$ es diferenciable.
	\item Dadas $f_1, \ldots, f_k: M \to \RR$ suaves, encontrar los coeficientes $c_J$ en
		la expresión
		\[
			df_1 \wedge \cdots \wedge df_k = \sum_{J \in \subsets{n}{k}} c_J d\phi_J
		\]
		y concluir que $df_1 \wedge \cdots \wedge df_k$ es una $k$-forma suave.
\end{ejitems}

\item Sea $f:M \to N$ una función suave, sea $p \in M$ y $q = f(p)$. Tomando cartas
	$(U, \phi)$	alrededor de $p$ y $(V, \psi)$ entorno de $q$ calcular el pull-back de las
	formas $f^*(d\psi_I)$ para	todo $I \subset \{1, \ldots, n\}$ en función de las formas
	$d\phi_I$.

\item Sea $S\subseteq M$ una subvariedad inmersa. Si $i: S \to M$ es la inclusión y
	$\omega$ es una $k$-forma en $M$ entonces	$i^*\omega=\omega|_S$.
\item Sea $F: \RR^3 \to \RR^3$ un campo diferenciable en el sentido clásico.
	Demostrar las siguientes afirmaciones:
\begin{ejitems}
	\item La fórmula $\omega_F^1(x)(v) = \langle F(x), v\rangle$ define una $1$-forma en
		$\RR^3$. Encontrar las coordenadas de $\omega^1_F$ en la base $\{dx, dy, dz\}$, y
		probar que todas las $1$-formas de $\RR^3$ provienen de algún campo.

	\item La fórmula $\omega^2_F(x)(u,v) = \langle F(x), u \times v\rangle$ define una
		$2$-forma en $\RR^3$. Encontrar sus coordenadas en la base $\{dx \wedge dy, dx
		\wedge dz,	dy \wedge dz\}$ y probar que todas las $2$-formas sobre $\RR^3$
		provienen de un campo.

	\item Dada $f: M \to \RR$ suave, encontrar la relación entre $df$ y $\nabla f$; entre
		$d \omega^1_F$ y $\nabla \times F$; y entre $d \omega^2_F$ y $\nabla \cdot F$.
		Usando la fórmula $d^2 = 0$ recuperar las igualdades clásicas $\nabla \times \nabla
		f = 0$ y $\nabla \cdot \nabla \times F = 0$.
\end{ejitems}

\section{Orientabilidad}
\item Probar las siguientes afirmaciones 
\begin{ejitems}
	\item $M$ y $N$ son orientables si y solo si $M \times N$ es orientable.
	\item Toda variedad paralelizable es orientable.
	\item Si una variedad tiene un atlas de la forma $\{(U, \phi), (V, \psi)\}$ con $U \cap
		V$ conexo entonces la variedad es orientable.
\end{ejitems}

\item Para cualquier variedad $M$, el fibrado tangente $TM$ es una variedad orientable.

\item Probar que $S^n, \RR^n, \TT^2, S^1 \times \RR^1$ son orientables. Probar que
	$\PP^2$, la banda de Moebius y la botella de Klein no lo son.
\end{ejercicios}
\end{document}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
