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\Materia{Geometría Diferencial}
\Cuatrimestre{Primer Cuatrimestre --- 2015}
\Practica{5}
\Titulo{Grupos de Lie}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\maketitle
\begin{ejercicios}
\item Probar que los siguientes conjuntos son grupos de Lie con las operaciones indicadas.
	En cada caso calcular su dimensión y caracterizar el álgebra de Lie correspondiente.
	\begin{ejitems}
	\item $\RR^\times, \CC^\times, \HH^\times$ con el producto correspondiente.
	\item Las esferas unitarias de cada uno de los espacios anteriores.
	\item $\TT^n$ con el producto lugar a lugar.
	\item El conjunto $\GL_n(\RR) \times \RR^n$ con la operación $(A,x) \cdot (B,y) = (AB,
		xB + y)$
	\end{ejitems}

\item Probar en cada caso que el grupo indicado es un subgrupo de Lie de $\GL(n, \RR)$,
	identificar su algebra de Lie como subálgebra de $\gl(n,\RR)$, y calcular los corchetes
	de Lie en una base.
\begin{ejitems}
\item $\SL(n,\RR) \subset \GL(n,\RR)$, el conjunto de las matrices $n \times n$ reales de
	determinante $1$;

\item $\O(n,\RR) \subset \GL(n,\RR)$, el conjunto de las matrices $n \times n$ reales
	ortogonales;

\item $\mathcal H \subset \GL(3,\RR)$, el conjunto de matrices de $3 \times 3$ de la forma 
	\begin{align*}
		\begin{pmatrix} 
			1 & a & b \\
			0 & 1 & c \\
			0 & 0 & 1
		\end{pmatrix}
		& \ \ \mbox{con } a,b,c \in \RR.
	\end{align*}
\item $\mathcal L \subset \GL(4,\RR)$ el conjunto de matrices tales que $\omega(Tv) =
	\omega(v)$, donde $\omega: \RR^4 \to \RR$ está dada por $\omega((x,y,z,w)) = x^2 - y^2
	- z^2 - w^2$.
\end{ejitems}

\item Sean $p, q \in \NN_0$ tales que $p+q = n$; notamos por $I(p,q)$ a la matriz
$\begin{pmatrix} \Id_p & 0 \\ 0 & -\Id_q\end{pmatrix}$. Probar que $\OO(p,q) = \{T \in
\GL(n,\RR) \mid T^t I(p,q) T = I(p,q)\}$ es un subgrupo de Lie de $\GL(n,\RR)$ y presentar
su tangente como una subálgebra de Lie de $\gl(n,\RR)$.

\item Sean $\alpha, \beta: \RR \to G$ funciones diferenciables que pasan por $e_G$ a
	tiempo cero. Calcular $\frac{d}{dt}(\alpha(t)\beta(t))\mid_{t = 0}$.

\item Calcular la diferencial de las siguientes funciones en la identidad del grupo
	correspondiente:
\begin{ejitems}
	\item $\mu: G \times G \to G$ dada por $(x,y) \mapsto xy$.
	\item $i: G \to G$ dada por $x \mapsto x^{-1}$.
	\item $G \times G \to G$ dada por $(x,y) \mapsto xyx^{-1}$.
\end{ejitems}
¿Qué ocurre en otros puntos de $G$?

\item Sabemos que existe un isomorfismo de álgebras de Lie $\psi: M_n(\RR)
	\to \Lie(\GL(n,\RR))$. Escribir los campos $\psi(E_{i,j})$ en términos de los campos
	$\{\frac{\partial}{\partial x_{i,j}} \mid 1 \leq i,j \leq n\}$, donde $(x_{i,j})_{1
	\leq i,j \leq n}$ es la carta canónica de $\GL(n,\RR)$.

\item Sea $G = S^1 \times \RR^+$, y sean $(\theta, x)$ coordenadas locales. Probar que el
	campo $\frac{\partial}{\partial \theta} + x \frac{\partial}{\partial x}$ es
	$G$-invariante a izquierda.

\item Sea $G$ un grupo de Lie, y $H \subset G$ un subgrupo.
	\begin{ejitems}
	\item La clausura de $H$ también es un subgrupo de $G$.
	\item Si $H$ es una subvariedad regular de $G$, entonces $H$ es cerrado.
	\end{ejitems}

\item Sean $G, H$ grupos de Lie, $\phi: G \to H$ un morfismo de grupos de Lie, y sean $\g,
	\h$ sus álgebras de Lie respectivas. Probar que el siguiente diagrama conmuta
	\begin{align*}
	\xymatrix{
		G \ar[r]^-{\phi} & H \\
		\g \ar[u]^-{\exp} \ar[r]^-{\phi_{*,e}} & \h \ar[u]_-\exp
	}
	\end{align*}

\item Sea $r \in \RR$, sea $t_r: \RR \to \RR^2$ la función $\lambda \mapsto \lambda(1,r)$
	y sea $i_r$ la composición de $t_r$ con la proyección $\pi: \RR^2 \to \TT^2$. Probar
	que $i_r$ es una inmersión y un morfismo de grupos. ¿En qué caso es $i_r(\RR)$ un
	subgrupo de Lie de $\TT^2$? ¿y un subgrupo \emph{cerrado}?

\section{Acciones de grupos de Lie}
\item Sea $G$ un grupo de Lie actuando sobre una variedad diferenciable $M$. Dado $x \in
	M$ notamos por $G_x$ el grupo de isotropía de $x$.
	\begin{ejitems}
	\item El grupo $G_x$ es cerrado.
	\item Si $G$ actúa transitivamente e $y \in M$ entonces $G_x$ y $G_y$ son conjugados.
	\end{ejitems}

\item Probar que $\OO(n+1, \RR)$ actúa sobre $S^{n}$ transitivamente, y encontrar los
	grupos de isotropía.

\end{ejercicios}
\end{document}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
