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\Materia{Geometría Diferencial}
\Cuatrimestre{Primer Cuatrimestre --- 2015}
\Practica{4}
\Titulo{Fibrado tangente y campos}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\maketitle
Como siempre $M$ y $N$ son variedades arbitrarias. Si $p \in M$ entonces $T_pM$ es el
tangente a $M$ en $p$, y $TM$ es el espacio tangente de $M$.

Dada una función diferenciable $f: W \subset \RR^n \to \RR^m$, notamos por $Df$ su
diferencial clásico, es decir que para todo $x \in W$ la función $Df(x)$ es una
transformación lineal de $\RR^n$ en $\RR^m$. Dada una función diferenciable $f: M \to N$,
notamos por $f_*: TM \to TN$ su diferencial, y por $f_{*,p}:T_pM \to T_{f(p)}N$ su
diferencial en el punto $p$.
	
\begin{ejercicios}
\item Probar que para toda variedad diferenciable $M$ se tiene $(\id_M)_{*,p} =
	\id_{T_pM}$, y que dadas $f: M \to N$ y $g: N \to O$, se tiene $(g \circ f)_{*,p} =
	g_{*,f(p)} \circ f_{*,p}$.

\item Probar que $f: M \to N$ es un difeomorfismo en un entorno del punto $m \in M$ si y
	solo si $f_{*,m}$ es un isomorfismo.

\item 
	\begin{ejitems}
	\item Sea $f: \RR^2 \to \RR$ una función diferenciable. Probar que su gráfico es una
		subvariedad de $\RR^3$ y calcular en cada punto el tangente como subespacio del
		tangente de $\RR^3$. Enuncie y demuestre un resultado similar para $f: U \subset
		\RR^n \to \RR^m$.
	\item Sea $f: U \subset \RR^3 \to \RR$ tal que $0$ es un valor regular, i.e. si $f(p) =
		0$ entonces $Df(p) \neq 0$. Probar que para todo $p \in M$ el tangente $T_p M$ se
		identifica de manera natural con el ortogonal a $Df(p)$. ¿Cómo se puede generalizar
		este resultado a	dimensiones superiores?
	\item En cada caso probar que el espacio tangente $T_pM$ se identifica con el conjunto 
		\[
			T=	\{\alpha'(0) \mid \alpha: (-1,1) \to M \mbox{ es una curva diferenciable con }
			\alpha(0) = p\}.
		\]
\end{ejitems}


\item Para cada una de las siguientes subvariedades encontrar una fórmula para el tangente
	en un punto arbitrario.
	\begin{multicols}{2}
	\begin{ejitems}
		\item $S^1$ en $\RR^2$;
		\item $\TT^2$ en $\RR^3$;
		\item $C = \{(x,y,z) \in \RR^3 : x^2 + y^2 = 1\}$ en $\RR^3$;
		\item $S^2$ en $\RR^3$;
		\item $S^n$ en $\RR^{n+1}$;
		\item la imagen de una curva regular.
	\end{ejitems}
	\end{multicols}
\item Probar que para toda subvariedad $M \subset \RR^m$ y toda parametrización $f: W \to
	M$ entorno de $p \in M$, con $f(q) = p$, existe un isomorfismo $\phi(f,p): \im Df(q)
	\to T_pM$ con la siguiente propiedad: 
	\begin{quote}
	Dada una función diferenciable $F: \RR^m \to \RR^n$ tal que $F(M) \subset N$, y
	parametrizaciones $f: W \to M$ y $g: W' \to N$ entorno de $p = f(q)$ y $F(p) = g(q')$
	respectivamente, entonces $DF(p)(\im Df(q)) \subset \im Dg(q')$ y el diagrama
	\begin{align*}
	\xymatrix{
		T_pM \ar[r]^-{F_{*,p}} & T_{F(p)}N\\
		\im Df(q) \ar[r]^-{DF(p)} \ar[u]^-{\phi(f,p)} & \im Dg(q') \ar[u]_-{\phi(g,F(p))} 
	}
	\end{align*}
	conmuta.
\end{quote}

\item Sea $f: M \to N$ una función diferenciable. 
	\begin{ejitems}
		\item Si $f$ es constante en un entorno $U$ de $p$, entonces $f_{*,p} = 0$.
		\item Si $f_{*,p} = 0$ para todo $p$ en un abierto conexo $U$, entonces $f|U$ es
			constante.
	\end{ejitems}

\item Mostrar que hay un isomorfismo natural entre $T_m M \times T_n N$ y $T_{(m,n)}(M
	\times N)$.

\section{Fibrado tangente}
\item Notamos por $TM$ la unión disjunta de $\{p\} \times T_pM$ con $p \in M$.
\begin{ejitems}
\item Sea
	\[
		\A = \bigg\{\bigg(\bigsqcup_{p \in U} \{p\} \times T_pM, \phi \times \phi_* \bigg) \mid
		(U,\phi) \mbox{ es una carta de $M$}\bigg\}.
	\]
		Probar que $\A$ induce una estructura de variedad diferenciable sobre $TM$. ¿Cuál es su
		dimensión?
	\item Probar que la proyección natural $\pi: TM \to M$ es una función diferenciable de
		rango constante. En particular $\{p\} \times T_pM \subset M$ es una subvariedad de
		$M$.
	\item Sea $f: M \to N$ una función diferenciable. Probar que $f_*: TM \to TN$ es
		diferenciable.
\end{ejitems}

\smallskip
\noindent
Dado un elemento $v \in TM$ con $\pi(v) = p$, notamos por $v_p$ al elemento de $T_pM$ tal
que $v = (p, v_p)$. Por definición $v_p$ es una derivación de $\C^\infty(M)_p$.

\item Sea $i:M \hookrightarrow \RR^n$ un embedding, e identifiquemos $T_pM$ con
		la imagen de $i_{*,p}$; en particular podemos dotar a $T_pM$ de un producto interno.
		Probar que $\{v \in TM \mid ||v_p|| = 1\}$ es una subvariedad de $TM$ de dimensión
		$2 \dim M - 1$.

\item Mostrar que hay un difeomorfismo natural entre $TM \times TN$ y $T(M \times N)$.

\section{Campos}	
Si $U \subset M$ es un abierto, notamos por $\C^\infty(U)$ al conjunto de las funciones
$\C^\infty$ que salen de $U$ y toman valores en $\RR$, y por $\X(U)$ los campos definidos
sobre $U$.

\item Sea $U$ un abierto de $M$.
\begin{ejitems}
\item Probar que $C^\infty(U)$ es una $\RR$-álgebra y que $\X(U)$ es un
	$\C^\infty(U)$-módulo.
\item Probar que para todo punto $p \in M$ existe un entorno $U$ que contiene a $p$ tal
	que $\X(U)$ es un $\C^{\infty}(U)$-módulo libre. ¿Cuál es el rango de este
	módulo?
\item Probar que $\X(S^2)$ no es un $\C^\infty(S^2)$-módulo libre.
\end{ejitems}

\item Dada $X: M \to TM$ una sección de $\pi$, no necesariamente diferenciable, y $f \in
	\C^\infty(M)$, definimos la función $X(f): M \to \RR $ como $X(f)(p) = X_p(f)$. Probar
	las siguientes afirmaciones:
	\begin{ejitems}
	\item La sección $X$ es diferenciable si y solo si para toda $f \in \C^\infty(M)$ se
		tiene $X(f) \in \C^\infty(M)$.
	\item Si $X$ es diferenciable, la función $X: \C^\infty(M) \to \C^\infty(M)$ es una
		derivación, es decir que es una transformación lineal y cumple que $X(fg) = X(f)g + 
		f X(g)$. Recíprocamente, toda derivación $D$ de $\C^\infty(M)$ es define un campo
		sobre $M$, lo que justifica el abuso de notación.
	\item Dados dos campos $X, Y$, la función $X \circ Y$ no es necesariamente una
		derivación, pero $[X,Y] = X \circ Y - Y \circ X$ sí lo es.
	\item Dados $X, Y, Z \in \X(U)$, estos cumplen la \emph{identidad de
			Jacobi}
			\[
				[X,[Y,Z]] + [Y,[Z,X]] + [Z,[X,Y]] = 0.
			\]
	\end{ejitems}


\item Sea $X^1, \ldots, X^n$ una familia de campos sobre $M$ tales que $\{X^i_p \mid 1
	\leq i \leq n\}$ es linealmente independiente. Probar que existe un entorno $U$ de $p$
	tal que $\{X^i_q \mid 1 \leq i \leq n\}$ es linealmente independiente para todo $q \in
	U$.

\item Sea $v \in T_p M$. Probar que hay un campo diferenciable $X: M \to TM$ tal que $X_p
	= v$.

\item Una variedad se dice \emph{paralelizable} si existen campos $X^1, \ldots, X^n$ tales
	que para todo $p \in M$ el conjunto $\{X^i_p \mid 1 \leq i \leq n\}$ forma una base de
	$T_pM$. Probar las siguientes afirmaciones:
\begin{ejitems}
	\item $M$ es paralelizable si y solo si existe un difeomorfismo $TM \to M \times
		\RR^n$ que respeta las fibras.
	\item Las siguientes variedades son paralelizables: $S^1$, $S^3$, $S^7$, $\TT^n$.
	\item La banda de Moebius no es paralelizable.
\end{ejitems}

\section{Fibrados vectoriales}
Sea $V$ un espacio vectorial y $M$ una variedad. Un \emph{fibrado vectorial} de fibra
$V$ es una función diferenciable $\pi: E \to M$ con las siguientes propiedades:
\begin{ejitems}
	\item Para todo $m \in M$ la fibra $\pi^{-1}(m)$ tiene una estructura de espacio
		vectorial.
	\item Para todo $m \in M$ existen un entorno $U$ y un	difeomorfismo $\phi_U:
		\pi^{-1}(U) \to U \times V$ de forma que el siguiente diagrama conmuta
		\begin{align*}
			\xymatrix{
			\pi^{-1}(U) \ar[rr]^-{\phi_U} \ar[dr]_-\pi &{} & U \times V \ar[dl]^-{\pi_1}\\
				{} & M & {}
			}
		\end{align*}
	\item Para todo $m, \phi$ y $U$ como en el ítem anterior, la restricción $\phi_U:
		\pi^{-1}(m) \to \{m\} \times V$ es un isomorfismo de espacios vectoriales.
\end{ejitems}
El espacio $E$ es el \emph{espacio total} del fibrado, $M$ es la \emph{base}, $p$ la
\emph{proyección}, y $U$ es un \emph{abierto trivializante}. Dados dos abiertos
trivializantes $U$ y $V$, la función $\phi_V \circ \phi_U^{-1}$ es llamada \emph{función
de transición}.

\item En cada caso probar que $\pi: E \to M$ es un fibrado encontrando un cubrimiento por
	abiertos trivializantes, calcular la dimensión de las fibras y encontrar las funciones
	de transición.
	\begin{ejitems}
		\item $M$ una variedad cualquiera, $E = TM$ el fibrado tangente, $\pi$ la proyección
			natural.
		\item Tomamos $V$ un espacio vectorial cualquiera, $E = M \times V$, y $\pi: M
			\times V \to M$ la proyección trivial.
		\item Definimos en $\RR^2$ la siguiente relación: $(x,y) \sim (z,w)$ si y solo si
			$x-z \in \ZZ$ e $y = (-1)^{x-z} w$. Tomamos $E = \RR^2/ \sim$ como espacio
			total, $M = \RR \times	\{0\} / \sim$ como base, y $\pi: E \to M$ la función
			inducida por la proyección en la primer coordenada. Llamamos a este fibrado el
			\emph{fibrado de Moebius}, adivinen por qué.
		\item Definimos el espacio total como
			\[
				E = \{(L,x) \mid x \in L\} \subset \PP^n \times \RR^{n+1}.
			\]
			Tomamos $M = \PP^n$ y $\pi: E \to M$ la restricción a $E$ de la proyección
			canónica. Este es el \emph{fibrado tautológico}.
	\end{ejitems}

\item Un fibrado $\pi: E \to M$ se dice \emph{trivial} si se puede tomar a la base como
	abierto trivializante, es decir, reemplazar $U$ por $M$ en el diagrama de la definición
	de	fibrado.
\begin{ejitems}
\item Probar que la sección nula $s: M \to E$, dada por $s(m) = 0_{\pi^{-1}(m)}$, es una
	sección diferenciable de $\pi$.

\item Sea $\pi: E \to M$ un fibrado de linea, es decir que sus fibras tienen dimensión $1$.
	Probar que si $\pi$ es trivial entonces $E \setminus s(M)$ es disconexo.

\item Probar que si $\pi: E \to S^1$ es el fibrado de Moebius definido en el ejercicio
	anterior entonces $E \setminus s(S^1)$ es conexo.
\end{ejitems}
\end{ejercicios}
\end{document}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
