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\Materia{Geometría Diferencial}
\Cuatrimestre{Primer Cuatrimestre --- 2015}
\Practica{2}
\Titulo{Variedades y funciones diferenciables II}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\maketitle
En toda la guía $M, N$ son variedades diferenciables.
\begin{ejercicios}

	
	\section{Funciones diferenciables}
\item Sea $M$ una variedad, y $(U,\phi), (V, \psi)$ cartas. Pruebe que para toda función
	$f: M \to \RR$ y todo punto $p \in U \cap V$ vale la fórmula
	\begin{align*}
		\frac{\partial f}{\partial \psi_i}(p) &= \sum_{j = 1}^n \frac{\partial f}{\partial
	\phi_j}(p) \frac{\partial \phi_j}{\partial \psi_i}(p).
	\end{align*}

\item Sea $\phi: \RR^2 \to \RR^2$ la carta dada por $\phi(x,y) = (x,x+y)$. Para una
	función diferenciable $f: \RR^2 \to \RR$ calcule $\frac{\partial f}{\partial
	\phi_1}(x,y)$ directamente, y después usando el ejercicio anterior. Notar que
	$\frac{\partial}{\partial \phi_1} \neq \frac{\partial}{\partial x}$ a pesar de que
	$\phi_1(x) = x$.

\item Parametrizamos $\RR^2 \setminus \{(x,0) \mid x \leq 0\}$ con coordenadas polares
	$(r, \theta) \mapsto r(\cos \theta, \sin \theta)$. Encontrar la expresión del
	Laplaciano $\frac{\partial^2 }{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2}$ en
	términos de las coordenadas polares.

\item El rango de una función diferenciable $f: M \to N$ en el punto $p \in M$ es por
	definición el rango de la diferencial de $\psi \circ f \circ \phi^{-1}$, donde $\phi$ y
	$\psi$ son cartas alrededor de $p$ y $f(p)$, respectivamente. Probar que el rango no
	depende de las cartas elegidas.

\item Supongamos que $\dim M = \dim N = r$. Si $f: M \to N$ es diferenciable y de rango
	constante $r$ entonces $f(M)$ es un abierto de $N$. Si además $f$ es biyectiva, es un
	difeomorfismo.


\section{Subvariedades en $\RR^n$}
Una subvariedad de $\RR^n$ de dimensión $k$ es un conjunto $M \subset \RR^n$ con la
topología de subespacio con la siguiente propiedad: para todo punto $p \in M$
existen un entorno abierto $U$ de $p$, un abierto $V$ de $\RR^n$ y un difeomorfismo $h: U
\to V$ tal que $h(U \cap M) = V \cap (\RR^k \times \{0\})$. Un par $(U, h)$ como el
indicado se llama una \emph{carta de $U$ adaptada a $M$} .

\item Sea $M \subset \RR^n$ una subvariedad de dimensión $k$, sea $\pi: \RR^n \to \RR^k$
	la proyección en las primeras $k$ coordenadas, y sea $\A(M) = \{(U,
	\pi \circ h) \mid (U,h) \mbox{ es una carta adaptada}\}$. Probar que $\A(M)$ es un
	atlas $\C^\infty$, y que por lo tanto $M$ es una variedad diferenciable.

\item Una parametrización de rango $k$ es una función diferenciable $f: W \subset
	\RR^k \to \RR^n$ de rango $k$ que es homeomorfa con su imagen. 
	\begin{ejitems}	
	\item Probar que $M \subset \RR^n$ es una subvariedad si y solo si para todo punto $x
		\in M$ existen $U$ un entorno abierto de $x$ y $f: W \to \RR^n$ una parametrización
		de rango $k$ tal que $f(W) = U \cap M$.
	
	\item Si $f: W \to \RR^n$ es una parametrización de un abierto de $M$ entonces $(f(W),
		f^{-1})$ es una carta de $M$.
	\end{ejitems}

\item Sea $W \subset \RR^n$ abierto y $f: W \to \RR^m$ una función diferenciable tal que
	para todo punto $x$ tal que $f(x) = 0$ el rango de $Df(x)$ es $m$. Probar que
	$f^{-1}(0)$ es una subvariedad de dimensión $n-m$.

\item Identificamos el espacio de matrices de $n \times n$ con $\RR^{n^2}$. Sea $\psi:
	M_n(\RR) \to M_n(\RR)$ la función dada por $A \mapsto A A^T$, y sea $\O_n(\RR) =
	\psi^{-1}(\Id) \subset \GL_n(\RR)$ el conjunto de las matrices ortogonales.
	\begin{ejitems}
		\item Calcular el rango de $\psi$ en $\Id$.
		\item Dada $A \in \O_n(\RR)$ se define $R_A: M_n(\RR) \to M_n(\RR)$ por $B \mapsto
			BA$. Probar que $R_A$ es un difeomorfismo.
		\item Probar que $\psi \circ R_A = \psi$. Concluir que el rango de $\psi$ es
			constante sobre $\O_n(\RR)$, y por lo tanto $\O_n(\RR)$ es una subvariedad de
			$M_n(\RR)$.
		\item Probar que $\O_n(\RR)$ es compacto. ¿Es conexo?
	\end{ejitems}

\item \textbf{Embeddings.} Un	\emph{embedding} de $M$ en $\RR^n$ es una función $i: M \to
	\RR^n$, homemorfismo con su imagen y de rango $\dim M$ en todo punto. Probar que si
	$i:M \to \RR^n$ es un embedding entonces $i(M)$ es una subvariedad de $\RR^n$
	difeomorfa a $M$. 
	
\item Probar que la inclusión es un embedding para las siguientes variedades, y concluir
	que son subvariedades diferenciables:
	\begin{ejitems}
		\item $S^n \subset \RR^{n+1}$;
		\item $\underbrace{S^1 \times S^1 \times \ldots \times S^1}_{n \mbox{ veces}} \subset
			\RR^{2n}$;
		\item la superficie de revolución generada por cualquier curva contenida en el
			semiplano $\{x > 0, y = 0\}$.
	\end{ejitems}
	
\item El toro bidimensional $\TT^2$ es la superficie de revolución generada por un círculo
	contenido en el semiplano $\{x > 0, y = 0\}$ de radio $1$ centrado en $(2,0,0)$. Probar
	que $\TT^2$ con su estructura de subvariedad de $\RR^3$ es difeomorfo a $S^1 \times
	S^1$.

\item Elija una fuente sans serif y decida qué letras son subvariedades diferenciables de
	$\RR^2$.

\item\textbf{Inmersiones.} Una inmersión de $M$ en $\RR^n$ es una función $i: M \to \RR^n$
	de rango $\dim M$ en todo punto. Pruebe que las siguientes funciones son inmersiones de
	$\RR$ en $\RR^2$, pero no son embeddings.
	\begin{ejitems}
	\item La inclusión en $\RR^2$ del gráfico de $f: \RR \to \RR^2$ dada por $f(x) = x^3$.
	\item La inclusión en $\RR^2$ del gráfico de $g: \RR \to \RR^2$, dada por
			$g(x) = 
			\begin{cases} 
				e^{-x^{-2}} & x>0 \\
				0	& x = 0 \\
				-e^{-x^{-2}} & x < 0
			\end{cases}$.
	\item $h: \RR \to \RR^2$ dada por $h(x) = (g(x), |g(x)|)$.
	\end{ejitems}

\item Sea $r \in \RR$ y sea $f_r: \RR \to \RR^2$ dada por 
	\begin{align*}
		f_r(t) &= ((2+\cos t ) \cos(rt), (2+\cos t) \sin (rt), \sin t).
	\end{align*}
	\begin{ejitems}
		\item Para todo $r \in \RR$ la función $f_r$ es una inmersión.
			¿Para qué valores de $r$ es inyectiva?	
		\item La imagen de $f_r$ es cerrada si y solo si $r \in \QQ$. ¿Es una
			subvariedad de $\RR^2$?
		\item Si $r \notin \QQ$ entonces la imagen de $f_r$ es densa en $\TT^2$.
	\end{ejitems}

\item Sea $\alpha: (0,2\pi) \to \RR^2$ la parametrización de la lemniscata $\alpha(t) = (2
	\sin (t), \sin(2 t))$. 
	\begin{ejitems}
	\item Probar que $\alpha$ es una inmersión inyectiva. ¿Es un embedding?
	\item Sea $\C$ la imagen de $\alpha$ con la topología inducida por $\alpha^{-1}$.
		Probar que $\{(\C, \alpha^{-1})\}$ es un atlas diferenciable.
	\item Probar que la función $\beta: (-\pi, \pi) \to \C$ dada por $\beta(t) = (2
		\sin (t), \sin(2 t))$ no es continua.
	\end{ejitems}

\item Sea $i: M \to \RR^n$ una inmersión. 
	\begin{ejitems}
	\item Probar que si $f: N \to M$ es $\C^\infty$ e $i \circ f$ es continua, entonces es
		$\C^\infty$. Encontrar un ejemplo en que $i \circ f$ no sea continua.
	\item Si $i$ es un embedding entonces $i \circ f$ es continua si y solo si $f$ lo es.
		En particular $f$ es $\C^\infty$ si y solo si $i \circ f$ es $\C^\infty$.
	\end{ejitems}

\item \textbf{Superficie de Steiner.} Sea $f: \PP^2 \to \RR^3$ la función $f([x:y:z]) =
	\frac{(yz, xz, xy)}{\norm{(x, y, z)}^2}$. Probar que su rango es $2$ salvo en seis
	puntos, es decir, es casi una	inmersión de $\PP^2$ en $\RR^3$. Para los interesados,
	existe una inmersión de $\PP^2$ en $\RR^3$, llamada la superficie de Boy.


\end{ejercicios}
\end{document}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
