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\hyphenation{siguiente}

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\newcommand\A{\mathcal{A}}
\newcommand\B{\mathcal{B}}
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\DeclarePairedDelimiter\abs{\lvert}{\rvert}
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\DeclarePairedDelimiter\ip{\langle}{\rangle}
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	\genfrac{\llbracket}{\rrbracket}{0pt}{}{#1}{#2}
}


\Materia{Geometría Diferencial}
\Cuatrimestre{Primer Cuatrimestre --- 2015}
\Practica{1}
\Titulo{Variedades y funciones diferenciables I}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\maketitle

\begin{ejercicios}
\item Decida si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justifíquese su
	respuesta. Piénsela de nuevo. Busque variantes que le harían cambiar su respuesta.
	Pregúntele al compañero de al lado qué opina.
	\begin{ejitems}
	\item La función $f: \RR \to \RR$ dada por $f(t) = t^2$ define un atlas $\{(\RR, f)\}$.

	\item Idem, pero ahora con $f(t) = t^{n}$ donde $n \in \ZZ$.

	\item Si $\alpha: (a,b) \to \RR^3$ parametriza una curva contenida en $\{y = 0\}$,
		entonces su superficie de revolución es una variedad de dimensión $2$.

	\item Si $M, N \subset \RR^d$ son variedades, entonces $M \cup N$ es variedad.

	\item Si $M, N \subset \RR^d$ son variedades y $M \cap N = \emptyset$ entonces $M \cup
		N$ es una variedad.

	\item Si al cono $\{a \in \RR^{d+1} \mid a_1^2 + \cdots + a_d^2 = a_{d+1}^2 \}$ le
		sacamos el orígen entonces resulta una variedad de dimensión $d$, y si no, no.
	\end{ejitems}



%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $V$ un espacio vectorial real de dimensión $d \geq 1$ y sea $\B = \{v_1, \ldots,
	v_d\}$ una base de $V$. Sea $\phi:\RR^n\to V$ la función $\phi(t_1, \dots, 
	t_d) = \sum_{i=1}^n t_i v_i$.
\begin{ejitems}

\item Mostrar que hay una única topología sobre $V$ que hace que $\phi$ sea un
	homeomorfismo, y esa topología no depende de la base $\B$ elegida.

\item Mostrar que la estructura diferenciable determinada sobre $V$ por el atlas
	$\{(V, \phi^{-1})\}$ no depende de la base $\B$ elegida.
\end{ejitems}
%%%%%%%%%%%%%%%

\item Consideramos en $S^d = \{a \in \RR^{d+1} \mid \norm a = 1\}$ los puntos $\n = (0,
	\ldots, 0, 1)$ y $\s = (0, \ldots, 0, -1)$. 
	\begin{ejitems}
	\item	Dado $a \in S^d \setminus\{\n\}$, se define la proyección estereográfica de $a$
		desde $\n$ como el único punto $(x_1, \ldots, x_d) \in \RR^d$ tal que $(x_1, \ldots,
		x_d, 0)$ es colineal con $a$ y $\n$; la proyección estereográfica respecto de $\s$
		se define de forma análoga. Probar que las proyecciones estereográficas forman un
		atlas $\C^\infty$ de $S^d$.

	\item Para cada $i = 1, \ldots, d+1$ llamamamos $U_i^+ = \{a \in S^d \mid a_i > 0\}$, y
		$U_i^- = \{a \in S^d \mid a_i < 0\}$, y llamamos $\tau_i: \RR^{d+1} \to \RR^d$
		a las funciones $\tau_i(x_1, \ldots, x_{d+1}) = (x_1, \ldots, \widehat{x_i}, 
		\ldots, x_{d+1})$. Probar que 
		\[
			\A = \{(U_i^+, \tau_i), (U_i^-, \tau_i) \mid 1 \leq i \leq	d+1\}
		\] 
		es un atlas $\C^\infty$ de $S^d$.

	\item Probar que las estructuras diferenciables determinadas por ambos atlas son
		iguales.
	\end{ejitems}
%%%%%%%%%%%%%%%
\item Probar las siguientes afirmaciones.
	
\begin{ejitems}
\item Si $M$ es una variedad de dimensión $m$ y $U \subseteq M$ es un abierto no vacío,
	entonces $U$ tiene una estructura natural de variedad diferenciable de dimensión~$m$.
	Con respecto a esta estructura, la inclusión $U \hookrightarrow M$ es una función
	diferenciable.

\item Si $n \geq 1$, entonces el conjunto $\GL(n,\RR)\subset M_n(\RR)$ de las matrices
	inversibles es una variedad diferenciable de dimensión $n^2$ de manera natural.
\end{ejitems}
%%%%%%%%%%%%%%%
\item ¿Es posible construir un altas de $S^2$ con una sola carta?
%%%%%%%%%%%%%%%
%\item Muestre que el conjunto de vectores normales unitarios a una curva regular
%	en $\RR^3$ tiene una estructura natural de variedad diferenciable.
%%%%%%%%%%%%%%%
\item Construya explícitamente un atlas sobre los siguientes espacios topológicos y
	determine sus dimensiones:
\begin{ejitems}
\item el cilindro $Z=\{(x,y,z) \in \RR^3 \mid x^2+y^2=1\}$;

\item la cinta de M\"obius;

\item el plano proyectivo $\mathbb P^2(\RR)$;

\item el espacio proyectivo $\mathbb P^n(\RR)$;

\item el toro $T^n=\underbrace{S^1\times\cdots\times S^1}_{\text{$n$ factores}}$.
\end{ejitems}
%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $V$ un espacio vectorial real de dimensión $3$ con producto interno. Sea $M
	\subset V \times V$ el conjunto de pares de vectores $(v,w)$ tal que $\ip{v,w} = 0$.
	Probar que $M$ es una variedad y calcular su dimensión.
%%%%%%%%%%%%%%%
\item Muestre que los siguientes espacios son variedades diferenciables y determine sus
	dimensiones.
\begin{ejitems}

\item $\GL(n,\CC) \subset M_n(\CC)$, el conjunto de las matrices $n \times n$ complejas
	inversibles;

\item $\SL(n,\RR) \subset M_n(\RR)$, el conjunto de las matrices $n \times n$ reales de
	determinante $1$;

\item $\SL(n,\CC) \subset M_n(\CC)$, el conjunto de las matrices $n \times n$ complejas de
	determinante $1$;

\item $\O(n,\RR) \subseteq M_n(\RR)$, el conjunto de las matrices $n \times n$ reales que
	son ortogonales;

\item $\U(n,\RR)\subseteq M_n(\CC)$, el conjunto de las matrices $n\times n$ complejas que
	son unitarias.
\end{ejitems}
%%%%%%%%%%%%%%%
\item La \emph{lemniscata} es la curva $\C$ parametrizada por $\alpha: \RR
	\to \RR^2$ con $\alpha(t) = (2 \sin(t), \sin(2t))$. Llamamos $\alpha_r$ a la
	restricción de $\alpha$ al intervalo $(r, r + 2 \pi)$.
	\begin{ejitems}
		\item ¿Para qué $r$'s resulta $\alpha_r$ una parametrización de la lemniscata?

		\item Probar que $\{(\C, \alpha_{-\pi})\}$ y $\{(\C, \alpha_0)\}$ son atlas
			$\C^\infty$ sobre $\C$. ¿Definen la misma estructura diferenciable?

		\item Pruebe que las dos estructuras definidas sobre la lemniscata son difeomorfas.
	\end{ejitems}
\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[width=0.4\textwidth]{lems-a.pdf}
\includegraphics[width=0.4\textwidth]{lems-b.pdf}
  \caption{Las dos estructuras diferenciables de la lemniscata}
\end{figure}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $\phi: \RR \to \RR$ dada por $\phi(t) = t^3$.
\begin{ejitems}

\item Los conjuntos $\A = \{(\RR, \id)\}$ y $\A' = \{(\RR, \phi)\}$ son dos
	atlas sobre $\RR$ que no son compatibles, de manera que los atlas maximales que los
	contienen son distintos y determinan variedades diferenciables $\RR$ y $\RR_\phi$
	distintas.

\item Probar que las variedades diferenciables $\RR$ y $\RR_\phi$ son difeomorfas.
\end{ejitems}
%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sean $M$ y $N$ variedades de dimensiones~$m$ y~$n$, respectivamente. Probar las
	siguientes afirmaciones.
\begin{ejitems}
\item El espacio producto $M \times N$ tiene una estructura natural de variedad
	diferenciable de dimensión~$m+n$, y las proyecciones $p_1: M \times N \to M$ y $p_2: M
	\times N \to N$ son funciones diferenciables.

\item Si $P$ es una variedad y $f: P \to M$ y $g: P \to N$ son funciones diferenciables,
	existe una única función diferenciable $h: P \to M \times N$ tal que $p_1 \circ h = f$
	y $p_2 \circ h = g$.

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Si $M$ es una variedad, las funciones $\id: M \to M$ y $\Delta: M \to  M\times M$
	dada por $\Delta(x) = (x,x)$ son diferenciables.

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Las funciones 
\begin{align*}
	\mu: \GL(n,\RR) \times \GL(n,\RR) &\to \GL(n,\RR)
	& \iota: \GL(n,\RR) &\to \GL(n,\RR)\\
	(A,B) &\mapsto AB 
		& A &\mapsto A^{-1}
 \end{align*}
son diferenciables. Como $(\GL(n,\RR),\mu,\iota)$ es un grupo, esto nos
dice que $\GL(n,\RR)$ es un \emph{grupo de Lie}.

\item Sea $M$ una variedad de dimensión $1$.
	\begin{ejitems}
	\item Si $M$ es conexa y sin borde, $M \cong S^1$ o $M \cong \RR$.
	\item Si $M$ es compacta y con borde, entonces $M \cong S^1$ o $M \cong [0,1]$.
	\end{ejitems}
\subsubsection*{No variedades}

Por definición una variedad (topológica) es un espacio topológico Hausdorff, localmente
Euclídeo y con una base numerable de abiertos. En esta sección vemos ejemplos de cómo
pueden fallar estas tres propiedades. ¡Busque más ejemplos por su cuenta!

%%%%%%%%%%%%%%%
\item \textbf{La recta con un punto doble.} Sea $S = \RR^\times \sqcup \{A, B\}$.
	Sea $\B \subset \mathcal P (S)$ la familia formada por todos los intervalos abiertos
	contenidos en $\RR^\times$, y por todos los conjuntos de la forma $((r,s)\cap
	\RR^\times)	\cup \{A\}$ y $((r,s) \cap \RR^\times)\cup \{B\}$, con $r < 0 < s$. Probar
	que:
	\begin{ejitems}
		\item $\B$ es base de una topología sobre $S$;
		\item $S$ admite un atlas $\C^\infty$;
		\item $S$ es localmente euclídeo y tiene una base numerable, pero no es Hausdorff.
	\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%
\item \textbf{La recta extendida.}
	Consideramos en $\RR \times \RR$ el siguiente orden: $(a,b) < (c,d)$ si y solo si $a
	< c$ o $a = c$ y $b < d$. Probar que $\RR \times \RR$ con la topología inducida por
	este orden es localmente euclídeo y Hausdorff, pero no admite una base numerable de
	abiertos.

%%%%%%%%%%%%%%%
\item \textbf{La bola con un pelito.} 
	Demuestre que esta suculenta y esférica cereza con la topología de subespacio de
	$\RR^3$ no es una variedad diferenciable, ni siquiera topológica.
\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[width=0.6\textwidth]{cereza.eps}
  \caption{Cereza}
\end{figure}

\item \textbf{El nudo de ahorcado.} Sea $V$ el conjunto dado por $S^1 \cup \{(0,y) \mid 1
	\leq y < 2\} \subset \RR^2$ y consideremos las cartas $\phi, \psi: V \to \RR$ dadas por
	\begin{align*}
		\phi(0,y) 
			&= 1-y \ \ (1 < y < 2);
			&\phi(\sin(2 \pi s), \cos(2\pi s)) 
			&= s \ \  (0 \leq s < 1); \\
		\psi(0,y) 
			&= 1-y \ \ (1 < y < 2);
			&\psi(\sin(2 \pi s), \cos(2\pi s)) 
			&= 1-s \ \  (0 \leq s < 1).
	\end{align*}
	Probar que $\{(V, \phi)\}$ y $\{(V, \psi)\}$ son cartas $\C^\infty$ de $V$, pero que
	ninguna respeta la topología de subespacio de $V$. ¿Son equivalentes entre sí? ¿y
	difeomorfas?
\end{ejercicios}
\end{document}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
