%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Generalities %%%%%%%%%%%%%%%%%%5
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% esto tiene que estar, en este orden...
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Specific notation %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

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%\Materia{Geometría Diferencial}
%\Cuatrimestre{Primer Cuatrimestre --- 2015}
%\Titulo{Segundo Parcial}

\begin{document}
\begin{center}%
	 {\LARGE\scshape Geometría Diferencial \par}%
 \vspace{1em}%
    {\Large Segundo parcial -- 1er Cuartimestre, 2015 \par}%
\vspace{1em}%
\hrule
\vskip 1.5em%
\parindent0pt%
\baselineskip1.25\baselineskip
\textsc{Apellido y nombre: }\dotfill
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\vskip 1.5em
  \hrule
\end{center}

\pagestyle{empty}
%%%%Check ignition and may God's Love be with you!%%%%
\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Calcular la cohomología de de Rham de la banda de Moebius abierta. 
\item Probar que $\PP^2$ se puede escribir como $U \cup V$, con $U$ difeomorfo a una bola
	abierta,	$V$ a una banda de Moebius, y $U \cap V$ homotópicamente equivalente a $S^1$.
	Utilizar este cubrimiento para calcular $H^\bullet_{dR}(\PP^2)$ (se puede utilizar que
	la cohomología es invariante por homotopía).
\end{enumerate}

\item Sea $M$ una variedad diferenciable. Decimos que $X \subset M$ es de medida nula si
	para cada carta $(U, \phi)$ el conjunto $\phi(X \cap U)$ tiene medida nula en $\phi(U)
	\subset \RR^n$.
\begin{enumerate}
\item Si $N$ es una subvariedad regular de dimensión estrictamente menor que $M$ entonces
	$N$ tiene medida nula.
\item Si además $M$ es compacta y orientable, y $N$ es cerrada, entonces $\int_M \omega =
	\int_{M \setminus N} \omega$ para toda $n$-forma $\omega$.
\end{enumerate}

\item Sea $M$ una variedad diferenciable. Definimos $\Omega_c^k(M) \subset \Omega^k(M)$
	como el subespacio de $k$-formas con soporte compacto. 
\begin{enumerate}
\item Probar que $\dd(\Omega^k_c(M)) \subset \Omega^{k+1}_c(M)$. Concluir que
	$(\Omega^k_c(M), \dd)$ es un complejo. Por definición, la \emph{cohomología con
	soportes compactos} de $M$, notada por $H^k_c(M)$, es el $k$-ésimo grupo de cohomología
	de este complejo.
\item Calcular $H_c^\bullet(\RR^n)$ para $n = 2, 3$.
\item Probar que $H^n_c(\RR^n) \neq 0$ para todo $n \geq 1$.
\item Probar que si $f: M \to N$ es una función diferenciable propia, es decir que la
	preimagen de cualquier compacto es compacta, entonces $f^*(\Omega^k_c(N)) \subset
	\Omega^k_c(M)$. ¿Es necesaria la hipótesis de propiedad?
\end{enumerate}
\end{enumerate}



\newpage

\section{El teorema de Sard.}
\label{sard}
Recordemos que dada una función diferenciable $f: M \to N$, un punto regular $p \in M$ es
un punto donde el rango de $df$ es igual a la dimensión de $N$; un valor regular es un
punto $q \in N$ tal que $f^{-1}(q)$ consiste de puntos regulares. El teorema de Sard
en su versión más general afirma que casi todo valor es regular, en particular toda
función diferenciable tiene un valor regular.

Vamos a probar la siguiente versión debil del teorema de Sard.
\begin{Theorem*}
Sean $M, N$ dos variedades de dimensión $n$ y sea $f: M \to N$ una función
diferenciable. Si $X = \{p \in M \mid \mathsf{rg}~ f < n\}$, entonces $f(X)$ tiene
medida nula.
\end{Theorem*}

\subsection*{Demostración}
Fijemos una función como en el enunciado del teorema.
\paragraph 
Probar que el resultado se deduce del caso particular $M \subset \RR^n$ un abierto,
	y $N = \RR^n$.

\paragraph 
Tomemos $M$ y $N$ como en el ítem anterior. Sea $\eps > 0$. Probar que existe un
	$\delta > 0$ tal que, si $C \subset M$ es un	cubito de lado $\delta$ y centro $x$,
	entonces para todo $y \in C$ se tienen las desigualdades
	\begin{align*}
		|f(x) - f(y)|_\infty &< K\delta, \\
		|f(y) - f(x) - Df(x)(y-x)|_\infty &< \eps \delta,
	\end{align*}
	donde $K \in \RR$. Probar que $f(C)$ está contenido en un paralelepípedo de volumen
	$\eps K^{n-1}\delta^{n}$.

\paragraph
Sea $A$ un cubo cerrado de lado $l$ contenido en $M$. Probar que $|f(A)| = 0$.
\emph{Sugerencia:} dividir $A$ en $D^n$ cubitos de lado $l/D$ y acotar la medida de la
imagen de cada cubito usando las desigualdades anteriores.

\paragraph 
Deducir de lo anterior el resultado buscado.

\begin{Corollary}
	Toda función $f: M \to N$ entre variedades de la misma dimensión tiene un valor regular.
\end{Corollary}

\subsection*{Aplicación: grado de una función diferenciable}
En toda esta subsección, $M, N$ son variedades diferenciables compactas, conexas y
orientables de la misma dimensión, y $f: M \to N$ es una función diferenciable.

\paragraph
Para toda variedad conexa y orientada de dimensión $n$, la integración da un isomorfismo
$H^n_{c}(M) \cong \RR$; asumiremos este hecho sin demostración. Probar que si
$f$ es propia (es decir, si la preimagen de todo conjunto compacto es compacta), se tiene
un diagrama conmutativo
\begin{align*}
\xymatrix{
	H^n_{c}(N) \ar[r]^-{f^*} \ar[d]_-\int 
		& H^n_{c}(M) \ar[d]^-\int \\
	\RR \ar[r]^-{l_r} 
		& \RR
}
\end{align*}
donde $r \in \RR$ y $l_r$ es la función dada por multiplicar por $r$. 
Llamamos a $r$ el \emph{grado} de la función $f$.

\paragraph
Probar que si $f$ es un difeomorfismo entonces $\deg f = \pm 1$, y el signo depende de si
$f$ preserva o invierte la orientación.

\paragraph
Si $f$ no es sobreyectiva, entonces $\deg f = 0$.

\paragraph
Sea $q \in N$ un valor regular de $f$. Llamamos $f^{-1}(q)^+$ a los puntos de $f^{-1}(q)$
donde $f$ tiene Jacobiano positivo, y $f^{-1}(q)^-$ a los puntos donde $f$ tiene Jacobiano
negativo. Probar que $\deg f = \# f^{-1}(q)^+ - \# f^{-1}(q)^-$. En particular, $\deg f
\in \ZZ$.

\paragraph
Tomamos $M = N = \CC \cong \RR^2$ con la orientación antihoraria. Probar que si $f$ está
dada por un polinomio complejo entonces es propia, y que para todo valor regular
$f^{-1}(q) = f^{-1}(q)^+$. Deducir el teorema fundamental del álgebra (notar que en este
caso particular el hecho de que $H^2_c(\CC) \cong \RR$ se deduce del ejercicio
\ref{poincare}).

\newpage
\section{El teorema de Stokes}
\label{stokes}

\subsection*{Integración sobre cadenas}
Sea $M$ una variedad diferenciable. Un \emph{$n$-cubo singular} en $M$ es una función
diferenciable $c: [0,1]^{n} \to M$. Recrodar que esto quiere decir que $c$ se extiende de
manera diferenciable a un entorno abierto de $[0,1]^n$. Notar que un $0$-cubo singular en
$M$ es una función $\{\ast\}\to M$ o, equivalentemente, un punto de $M$. Una
\emph{$n$-cadena} es una combinación lineal formal de $n$-cubos singulares.

Notamos por $I^n:[0,1]^n \to \RR^n$ la inclusión, que es un $n$-cubo singular de $\RR^n$.
Dado $i\in\{1,\dots,n\}$ definimos dos $(n-1)$-cubos singulares en $[0,1]^n$:
\begin{align*}
I_{(i,0)}^{n}(x_{1},\dots,x_{n-1}) & =(x_{1},\dots,x_{i-1},0,x_{i},\dots,x_{n-1}),\\
I_{(i,1)}^{n}(x_{1},\dots,x_{n-1}) & =(x_{1},\dots,x_{i-1},1,x_{i},\dots,x_{n-1}).
\end{align*}
La función $I_{(i,0)}^{n}$, resp. $I_{(i,1)}^{n}$, se denomina la $(i,0)$-cara, resp.
$(i,1)$-cara, de $I^{n}$. El \emph{borde} de $I^{n}$ se define entonces como
\[
\partial I^{n}=\sum_{i=1}^{n}(-1)^{i}\left(I_{(i,0)}^{n}-I_{(i,1)}^{n}\right).
\]

En general, si $c$ es un $n$-cubo singular, se define la $(i,\alpha)$-cara de $c$ como
\[
c_{(i,\alpha)}=c\circ I_{(i,\alpha)}^{n},\quad\alpha\in\{0,1\},
\]
y luego el borde $\partial c$ de $c$ como
\[
\partial c=\sum_{i=1}^{n}(-1)^{i}\left(c_{(i,0)}-c_{(i,1)}\right).
\]

El borde de una $n-$cadena $c=\sum_{i}a_{i}c_{i}$ se define como
\[
\partial c=\sum_{i}a_{i}\partial c_{i}
\]

\paragraph
Sea $c$ una $n$-cadena en $A$. Demuestre que $\partial(\partial c)=0$.

\subsection*{El teorema de Stokes para cadenas}
Vamos a demostrar una versión del \emph{teorema de Stokes}, que afirma que si $M$ es una
variedad diferenciable de dimensión $k$, $\omega$ es una $(k-1)$-forma en $M$ y $c$ es una
$k$-cadena en $M$ entonces
\[
	\int_{c} d\omega = \int_{\partial c}\omega.
\]

Sea $\omega$ una $k$-forma en $M$ y sea $c$ un $k$-cubo singular en $M$. Se define la
integral de $\omega$ sobre $c$ como
\[
	\int_{c}\omega=\int_{[0,1]^{k}}c^{*}\omega.
\]
En el caso $k=0$ se define $\int_{c}\omega=\omega(c(0))$. 

\paragraph
Probar que si $c: [0,1]^k \to \RR^n$ es un cubo singular inyectivo con Jacobiano positivo
y $\omega = f \dd x_1 \wedge \cdots \wedge \dd x_n$, entonces $\int_c \omega =
\int_{c([0,1]^k)} f$. Deduzca que si $p: [0,1]^k \to [0,1]^k$ es un difeomorfismo con
Jacobiano positivo entonces $\int_c \omega = \int_{c \circ p} \omega$.


En general, si
$c=\sum_{i}a_{i}c_{i}$ es una $k$-cadena, definimos
\[
	\int_{c}\omega=\sum_{i}a_{i}\int_{c_{i}}\omega.
\]

\paragraph
Demuestre el teorema de Stokes en el caso en que $c=I^{k}$ y $\omega=f \dd
x_{1}\wedge\cdots\wedge \dd x_{i-1}\wedge \dd x_{i+1}\wedge\cdots\wedge \dd x_{k}$.

\paragraph
Demuestre que si $c$ es un $k$-cubo singular arbitrario entonces
\[
	\int_{\partial c}\omega=\int_{\partial I^{k}}c^{*}\omega
\]
y luego el teorema de Stokes vale también en este caso. 

\paragraph
Demuestre que si $c=\sum_{i}a_{i}c_{i}$ es una $k$-cadena entonces
\[
	\int_{c}d\omega=\int_{\partial c}\omega.
\]

\subsection*{El teorema de Stokes para variedades con borde}
En esta subsección $M$ es una variedad orientada con borde de dimensión $n$.
Decimos que la fórmula de Stokes vale para una $n-1$-forma $\omega$ si vale la desigualdad
\[
	\int_M \dd \omega = \int_{\partial M} \omega
\]

\paragraph
Sean $c_1, c_2: [0,1]^n \to M$ dos $n$-cubos singulares que preservan la orientación, y
sea $\omega$ una $n$-forma sobre $M$ tal que $\supp \omega \subset c_1([0,1]^n) \cap
c_2([0,1]^n)$. Entonces
\[
	\int_{c_1} \omega = \int_{c_2} \omega.
\]

\paragraph
Sea $K \subset M$ compacto. Probar que existe un cubrimiento de $K$ por finitos abiertos
de forma que cada uno esté contenido en la imagen de un $n$-cubo singular. Dada una
$n$-forma con soporte compacto $\omega$, elegimos un tal cubrimiento $\mathcal U$, con
$n$-cubos orientados $c_U$ para cada $U \in \mathcal U$ y una partición de la unidad
$\{\rho_U\}_{U \in \mathcal U}$ asociada, y definimos
\[
	\int_M \omega = \sum_{U \in \mathcal U} \int_{c_U} \rho_U \omega.
\]
Probar que este número es finito e independiente del cubrimiento elegido.

\paragraph
Demos a $\partial M$ la orientación inducida. Sea $c$ un $n$-cubo singular que preserva la
orientación y tal que $\partial M \cap c([0,1]^n) = c_{(n,0)}([0,1]^{n-1})$. Si $\omega$
es una $n-1$ forma cuyo soporte está contenido en el interior de $c([0,1]^n)$, entonces
\[
	\int_{\partial c} \omega = \int_{\partial M} \omega.
\]

\paragraph
Sea $\omega$ una $n-1$ forma sobre $M$ con soporte compacto. Probar que la fórmula de
Stokes vale para $\omega$ si su soporte está contenido en la imagen de un $n$-cubo $c$ tal
que
\begin{enumerate}[(a)]
\item $c([0,1]^n) \cap \partial M = \emptyset$,
\item $c([0,1]^n) \cap \partial M = c_{(1,0)}([0,1]^{n-1})$.
\end{enumerate}
Obervar que el interior de $c([0,1]^n)$ incluye puntos de $\partial M$.

\paragraph
Deducir de los últimos tres ítems que la fórmula de Stokes vale para cualquier $n-1$-forma
de soporte compacto.


\newpage
\section{Los lemas de Poincar\'e}
\label{poincare}

\subsection*{Invariancia por homotopía}

Sea $M$ una variedad con borde. Para cada $r \in [0,1]$ consideramos la función $i_r: M
\to M \times [0,1]$ dada por $m \mapsto (m,r)$. Nuestro objetivo es mostrar que $i_0$ e
$i_1$ inducen la misma función en la cohomología.

\paragraph 
Sean $f,g: M \to N$ dos funciones homotópicas. Suponiendo que nuestro objetivo está
cumplido, demostrar que $f^*, g^*: H^\bullet_{dR}(N) \to H_{dR}^\bullet(M)$ son iguales;
en particular, si $M$ es homotópicamente equivalente a un punto se tiene $H^i_{dR}(M) = 0$
para $i > 0$.

\paragraph
Sea $V$ un espacio vectorial de dimensión finita y $v \in V$ no nulo, de forma que $V = V'
\oplus \langle v \rangle$. Si $p: V \to V'$ es la proyección que corresponde a esta
descomposición, tenemos una función pull-back $p^*: \Alt^k(V') \to \Alt^k(V)$ para todo $k
\geq 0$. Probar que $\Alt^k(V) = p^*(\Alt^k(V')) \oplus \{\dd v \wedge p^*(\eta) \mid \eta
\in \Alt^{k-1}(V')\}$.

\paragraph
Probar que $T_{(p,r)}(M \times [0,1]) \cong T_pM \oplus T_r[0,1]$. Deducir que toda
$k$-forma $\omega$ sobre $M \times [0,1]$ se escribe forma única como $\omega' + \dd t
\wedge \eta$, donde $\omega'$ es una $k$-forma, $\eta$ es una $k-1$-forma, y ambas se
anulan si alguno de sus argumentos está en $\langle \frac{\partial}{\partial t}\rangle$.

\paragraph
Definimos un operador $I: \Omega^k(M \times [0,1]) \to \Omega^{k-1}(M)$, que a cada forma
$\omega = \omega' + \dd t \wedge \eta$ le asigna la forma $I(\omega)$ tal que
\[
	I(w)|_p(v_1, \ldots, v_{k-1}) = \int_0^1 \eta|_{(p,t)}(i_{t *}(v_1), \ldots,
	i_{t*}(v_{k-1})) \dd t
\]
\begin{enumerate}[(a)]
\item Si $\omega = \omega'$ entonces $I(\omega) = 0$, e $I(\dd \omega) = i_1^*(\omega) -
	i_0^*(\omega)$.

\item Si $\omega = \dd t \wedge \eta$ entonces $i_0^*(\omega) = i_1^*(\omega) = 0$, e
	$I(\dd \omega) = \dd I (\omega)$.
\end{enumerate}
Observar que en ambos casos $i^*_1(\omega) - i^*_0(\omega) = I(\dd \omega) + \dd
I(\omega)$.

\paragraph
Deducir del ítem anterior que si $\dd \omega = 0$, entonces $i^*_0(\omega)$ e
$i^*_1(\omega)$ son dos formas cerradas y su diferencia es una forma exacta; en
particular, representan la misma clase en la cohomología y nuestro objetivo está cumplido.

\subsection*{Cohomología con soportes compactos}
Recordemos la definición
\[
	\Omega_c^k(M) = \{\omega \in \Omega^k(M) \mid \supp \omega \mbox{ es compacto}\}.
\]
Por el ejercicio 3 del parcial, $(\Omega^\bullet_c(M), \dd)$ es un complejo y su
cohomología es por definición la cohomología con soporte compacto de $M$, notada por
$H^\bullet_c(M)$. Vamos a usar un argumento parecido al de la subsección anterior para
probar que existen isomorfismos $H^{k+1}_c(M \times \RR) \cong H^{k}_c(M)$

Sea $\pi: M \times \RR \to M$ la función proyección.

\paragraph 
Probar que toda $k$-forma con soporte compacto sobre $M \times \RR$ es combinación lineal
de 
\begin{enumerate}[(I)]
	\item una $k$-forma $f\cdot \pi^*(\phi)$, donde $\phi$ es una $k$-forma sobre $M$ y
	\item una $k$-forma $f\cdot \pi^*(\eta) \wedge \dd t$, donde $\eta$ es una
		$k-1$-forma de $M$,
\end{enumerate}
donde en ambos casos $f: M \times \RR \to \RR$ tiene soporte compacto.

\paragraph
Definimos un operador de \emph{integración por fibras} $\Fib: \Omega^{k+1}_c(M \times \RR)
\to \Omega^{k}_c(M)$ por
\begin{enumerate}[(I)]
	\item $f \cdot \pi^*(\phi) \mapsto 0$;
	\item $f \cdot \pi^*(\eta) \wedge \dd t \mapsto \left(\int_{-\infty}^\infty f(x,t) \dd
		t\right) \eta$.
\end{enumerate}
Probar que $\Fib$ está bien definido y que $\Fib \circ \dd = \dd \circ \Fib$. Concluir que
induce una función en la cohomología.

\paragraph
Sea $e = e(t) \dd t$ una $1$-forma con soporte compacto tal que $\int_{- \infty}^\infty
e(t) \dd t = 1$. Definimos $e_*: \Omega^{k-1}(M) \to \Omega^k(M \times \RR)$ por $\phi
\mapsto \pi*(\phi) \wedge e$. Probar que $e_* \circ \dd = \dd \circ e_*$, y que $\Fib
\circ e_* = \Id$.

\paragraph
Sea $A(t) = \int_{-\infty}^t e$. Definimos $K: \Omega^{k+1}_c(M \times \RR) \to
\Omega^k_c(M \times \RR)$ como
\begin{enumerate}[(I)]
\item $f \cdot \pi^*(\phi) \mapsto 0$
\item $f \cdot \pi^*(\eta) \wedge \dd t \mapsto (\int_{-\infty}^t f(x,t) \dd t -
	A(t)\int_{-\infty}^\infty f(x,t) \dd t) \pi^*(\eta)$.
\end{enumerate}
Probar que $\Id - e_* \circ \Fib = \pm (K \circ \dd - \dd \circ K)$, y deducir que $e_*
\circ \Fib$ induce el morfismo identidad en la cohomología. Concluir que $H^{i+1}_c(M
\times \RR) \cong H^i_c(M)$.

\paragraph
Probar el \emph{lema de Poincaré} para formas con soporte compacto
\begin{align*}
	H^\bullet_c(\RR^n) &\cong
		\begin{cases}
			0 & \bullet \neq n\\
			\RR & \bullet = n.
		\end{cases}
\end{align*}
Notar que el isomorfismo está dado por la integración.
\end{document}
