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\Materia{Álgebra II}
\Cuatrimestre{Segundo Cuatrimestre --- 2015}
\Practica{8}
\Titulo{Producto tensorial y localización de módulos}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Abreviaturas
\newcommand\CC{\mathbb{C}}
\newcommand\RR{\mathbb{R}}
\newcommand\QQ{\mathbb{Q}}
\newcommand\ZZ{\mathbb{Z}}
\newcommand\NN{\mathbb{N}}
\newcommand\FF{\mathbb{F}}
\newcommand\HH{\mathbb{H}}
\newcommand\GG{\mathbb{G}}
\newcommand\II{\mathbb{I}}

\newcommand\Grp{\mathrm{Grp}}
\newcommand\op{\mathrm{op}}
\newcommand\id{\mathsf{id}}
\newcommand\Id{\mathsf{Id}}
\newcommand\Z{\mathsf{Z}}
\newcommand\N{\mathsf{N}}
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\renewcommand\O{\mathcal{O}}
\renewcommand\S[1]{[\![#1]\!]}
\newcommand\ot{\otimes}
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\newcommand\absx[1]{\left\lvert#1\right\rvert}
\newcommand\gen[1]{\left\langle#1\right\rangle}
\newcommand\gens[1]{\langle#1\rangle}
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\newcommand\notdivides{\nmid}
\renewcommand\emptyset{\varnothing}
\def\dash---{\thinspace---\hskip.16667em\relax}
\newcommand\p{\mathfrak{p}}
\newcommand\q{\mathfrak{q}}
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\renewcommand\a{\mathfrak{a}}
\renewcommand\k{\Bbbk}


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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% proclaiming things
\theoremseparator{.}
\newtheorem*{Definicion}{Definición}
\theoremindent\parindent
\newtheorem*{Teorema}{Teorema}
\newtheorem*{Proposicion}{Proposición}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\hyphenation{o-pe-ra-do-res su-ge-ren-cia a-be-lia-nos e-xis-te}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}

\maketitle
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{Productos tensoriales}
\begin{ejercicios}
%%%%%%%%%%
\item Muestre que $\QQ\ot_\ZZ\QQ\cong\QQ$.
\begin{Solucion}
Consideremos el producto $\mu: \QQ \times \QQ \to \QQ$. Esta función es bilineal y 
balanceada, con lo cual induce $\mu: \QQ \ot_\ZZ \QQ \to \QQ$ dada por $(p/q) \ot (r/s) 
\mapsto pr/qs$. Evidentemente $\mu$ es sobreyectiva. Por otro lado 
\[
  p/q \ot r/s = pr/q \ot 1/s = (pr/qs)s \ot 1/s = pr/qs \ot 1.
\]
Luego, si $\mu(\sum_i p_i/q_i \ot r_i/s_i) = \sum_i p_ir_i/q_is_i = 0$, entonces 
\[
  \sum_i \frac{p_i}{q_i} \ot \frac{r_i}{s_i}  = \left( \sum_i \frac{p_ir_i}{q_is_i} 
  \right) \ot 1 = 0 \ot 1 = 0.
\]
\end{Solucion}

\item Sean $\k$ un cuerpo y $V$ y $W$ dos $\k$-espacios vectoriales. 
\begin{ejitems}
\item	Hallar una base de $V \ot_\k W$ en función de bases de $V$ y $W$. Concluir que si
	$V$ y $W$ son de dimensión finita, también lo es su producto tensorial.
\item Dados $w \in W$ y $f \in V^*$ definimos $\psi_{w,f}: V \to W$ por la fórmula
	$\psi_{w,f}(v) = f(v)w$. Probar que existe una transformación lineal $\psi: W \ot V^*
	\to \Hom_\k(V,W)$ tal que $\psi(w \ot f) = \psi_{w,f}$ para todo tensor elemental $w\ot
	f \in W \ot V^*$.
\item Encontrar condiciones necesarias y suficientes para que $\psi$ sea inyectiva o
	sobreyectiva.
\end{ejitems}

%%%%%%%%%%
\item  Sean $A$ y $B$ anillos, $M$ un $A$-módulo a derecha, $N$ un $A$-$B$-bimódulo y $P$
un $B$-módulo a izquierda. Muestre que
\begin{ejitems}
\item $M \ot_A N$ es un $B$-módulo a derecha;
\item $M \ot_A N$ es un $\End_A(M)$-$\End_A(N)$-bimódulo;
\item existe un isomorfismo natural
\[
  M\ot_A(N\ot_BP)\cong(M\ot_AN)\ot_BP.
\]
\end{ejitems}

\item Sea $N$ un $A$-módulo a izquierda y sea $\{M_i\}_{i \in I}$ una familia de
	$A$-módulos a derecha. Probar que existe un isomorfismo natural
\[
	\Bigg( \bigoplus_{i \in I} M_i  \Bigg) \ot N
		\cong \bigoplus_{i \in I} M_i \ot N.
\]


%%%%%%%%%%
\item Sean $A$ un anillo, $\a\subset A$ un ideal bilátero y $M$ un $A$-módulo a 
izquierda. Muestre que existe un isomorfismo $A/\a \ot_A M \cong M/\a M$.


%%%%%%%%%%
\item Sean $A$ un anillo, $M$ un $A$-módulo a derecha y $\{M_i\}_{i \in I}$ una familia de
	submódulos de $M$ tal que $M = \sum_{i\in I} M_i$. Probar que si $N$ es un $A$-módulo
	a izquierda tal que $M_i \ot_A N = 0$ para todo $i\in I$ entonces $M \ot_A N = 0$.

%%%%%%%%%%
\item\header{Producto tensorial de álgebras} Sea $\k$ un cuerpo y sean $A$ y $B$
dos $\k$-álgebras. Muestre que existe una única estructura de $\k$-álgebra sobre $A\ot_\k
B$ tal que el producto de tensores elementales está dado por
\[
  a\ot b\cdot a'\ot b'=(aa')\ot (bb').
\]

%%%%%%%%%%
\item Sean $\k$ un cuerpo, $A$ una $\k$-álgebra y $n$, $m\in \NN$. Probar que existen
isomorfismos de álgebras
  \begin{gather*}
  A[X]\cong \k[X]\ot_\k A,\\
  M_n(A)\cong M_n(\k)\ot_\k A,\\
\shortintertext{y}
  M_{nm}(A)\cong M_n(A)\ot_\k M_m(A).
  \end{gather*}

\section{Módulos playos}

%%%%%%%%%%
\item Probar que todo sumando directo de un módulo playo es playo.

%%%%%%%%%%
\item Sean $A$ un anillo conmutativo y $M$ y $N$ $A$-módulos playos. Probar que $M\ot_A N$
es un $A$-módulo playo.

\item*
Sea 
\[
  0 \to M' \to M \to M'' \to 0
\]
una sucesión exacta de $A$-módulos a izquierda con $M''$ playo. Probar que para todo
$A$-módulo a derecha $N$ la sucesión 
\[
  0 \to N \ot_A M' \to N \ot_A M \to N \ot_A M'' \to 0
\]
es exacta. 

\item Sea $A$ un anillo. El objetivo de este ejercicio es probar el siguiente resultado: 
todo $A$-módulo izquierdo playo y finitamente presentado es proyectivo.
\begin{ejitems}
\item Para cada grupo abeliano $M$ sea $M^* = \Hom_\ZZ(M,\QQ/\ZZ)$. Probar que si $M$ es
	un $A$-módulo a izquierda entonces $M^*$ es un $A$-módulo a derecha, y que todo
	morfismo	de $A$-módulos a izquierda $f: M \to N$ induce un morfismo de $A$-módulos a
	derecha	$f^*: N^* \to M^*$.

\item Probar que $f^*$ es inyectiva si y solo si $f$ es sobreyectiva.

\item Sean $M$ y $N$ dos $A$-módulos. Probar que existe un morfismo de grupos abelianos
	$\sigma(N,M): N^* \ot_A M \to \Hom_A(M,N)^*$ tal que $\sigma(f \ot m)(h) = f(h(m))$
	para todo tensor elemental $f \ot m \in N^* \ot M$.
	
\item Probar que si $M$ es	finitamente presentado entonces $\sigma(M,N)$ es un isomorfismo.

\begin{Indicacion} Probar primero que $\sigma(A^n, N)$ es un isomorfismo para cada $n \in
	\NN$ y aplicar este resultado a una presentación finita de $M$.
\end{Indicacion}

\item Sea $M$ un $A$-módulo playo y sea $f: N \to O$ un morfismo sobreyectivo de 
$A$-módulos a izquierda. Probar que conmuta el diagrama
\begin{align*}
\xymatrix{
	O^* \ot_A M \ar[r] \ar[d]_-{\sigma(O,M)}
	& N^* \ot_A M \ar[d]^-{\sigma(N,M)} \\
  \Hom_A(M,O)^* \ar[r]^-{(f_*)^*} & \Hom_A(M, N)^*.
}
\end{align*}
Concluir que $f_*: \Hom_A(M,N) \to \Hom_A(M,O)$ es un epimorfismo y por lo tanto $M$ es 
proyectivo.
\end{ejitems}

\item Probar que un $A$-módulo a izquierda $M$ es playo si y solo si el $A$-módulo a
	derecha $M^*$ es inyectivo.

\item Un anillo se dice \emph{regular von Neumann} si para todo $a\in A$ existe $x\in A$ 
tal que $axa = a$. El objetivo de este ejercicio es probar el siguiente resultado, 
demostrado independientemente por Auslander y Hagata: un anillo $A$ es regular von 
Neumann si y solo si todo $A$-módulo, a izquierda o a derecha, es playo. Por este motivo
estos anillos también suelen llamarse \emph{absolutamente playos}.
\begin{ejitems}
\item 
\label{playo-ideal}
Sea $A$ un anillo y $M$ un $A$-módulo a izquierda. Probar que $M$ es playo si y solo si
para todo ideal a derecha finitamente generado $I \subset A$ la aplicación
\[
  a \ot m \in I \ot_A M \mapsto am \in I M
 \]
es un isomorfismo de grupos abelianos. 
\begin{Indicacion} 
Para probar que $M$ es playo primero pruebe que la hipótesis vale aún si el ideal $I$ no
es finitamente generado y a continuación pruebe que $M^*$ es inyectivo.
\end{Indicacion}

\item Supongamos que para todo ideal a derecha finitamente generado $I \subset A$ el
$A$-módulo a derecha $A/I$ es playo. Probar que todo $A$-módulo a izquierda es playo.

\item Sean $I, J \subset A$ ideales a derecha tales que $A = I \oplus J$. Probar que 
existen idempotentes $e, f \in A$ tales que $I = eA, J = fA$ y $ef = fe = 0$.

%%%%%%%%%%
\item Sea $A$ un anillo. Muestre que las siguientes afirmaciones son equivalentes:
\begin{enumerate}[label=(\roman*)]
\item todo $A$-módulo a izquierda es playo;
\item todo $A$-módulo a derecha es playo;
\item para todo ideal a izquierda finitamente generado $I$ el módulo $A/I$ es proyectivo;
\item para todo ideal a derecha finitamente generado $I$ el módulo $A/I$ es proyectivo;
\item todo ideal a izquierda finitamente generado está generado por un idempotente;
\item todo ideal a derecha finitamente generado está generado por un idempotente;
\item $A$ es regular von Neumann.
\end{enumerate}
\end{ejitems}
\footnotesize
Von Neumann identificó los anillos que llevan su nombre en un articulo sobre el álgebra 
de operadores de un espacio vectorial con producto interno de dimensión infinita. El 
artículo fue publicado en 1936, veinte años antes de que Serre definiera la noción de 
platitud.

\normalsize

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\section{Localización de módulos}
En esta sección $A$ es un anillo y $S\subset A$ es un subconjunto central
multiplicativamente cerrado. El morfismo natural $A \to A_S$ nos permite ver a
cualquier $A_S$-módulo como un $A$-módulo, ver ejercicio \textbf{8} de la
práctica \textbf{6}, ítem \emph{(b)}.


%%%%%%%%%%
\item\header{Localización de módulos} Sea $M$ un $A$-módulo. Probar las siguientes 
afirmaciones.
\begin{ejitems}
\item Existen un $A_S$-módulo $M_S$ y un morfismo de $A$-módulos
  $j_M: M \to M_S$ con la siguiente propiedad: dado un $A_S$-módulo $N$ y un
  morfismo de $A$-módulos $f: M \to N$, existe un único morfismo de
  $A_S$-módulos $\tilde f:M_S \to N$ tal que conmuta el diagrama
  \begin{align*}
  \xymatrix{
    M \ar[d]_-{j_M} \ar[r]^-f & N \\
    M_S \ar[ur]_-{\tilde f}
  }
  \end{align*}
\item El par $(M_S, j_M)$ está determinado a menos de un único isomorfismo.
\item El módulo $M_S$ es isomorfo a $A_S \ot_A M$ como $A_S$-módulo.
\item Si $M$ es un $A$-módulo tal que para todo $s\in S$ la
  aplicación $m \in M \mapsto sm \in M$ es biyectiva, $j_M:M\to M_S$
  es un isomorfismo.
\item Si $f:M\to N$ es un morfismo de $A$-módulos, existe un
  único morfismo $f_S:M_S\to N_S$ tal que conmuta el siguiente diagrama:
  \[\xymatrix{
  M \ar[r]^{f} \ar[d]_-{j_M} 
    & N \ar[d]^-{j_N}
    \\
  M_S \ar[r]^-{f_S} 
    & N_S.
  }\]
\end{ejitems}

%%%%%%%%%%
\item Sea $M$ un $A$-módulo a izquierda finitamente generado. Probar que $M_S=0$
  si y solo si existe $s\in S$ tal que $sM=0$. ¿Qué ocurre si $M$ no es
  finitamente generado?
%%%%%%%%%%
\item\header{Exactitud de la localización} Probar que para toda sucesión exacta
  corta de $A$-módulos 
  \[\xymatrix{
  0 \ar[r]
    & M' \ar[r]^-f
    & M \ar[r]^g
    & M'' \ar[r]
    & 0,
  }\]
el diagrama obtenido al localizar en $S$ 
  \[\xymatrix{
  0 \ar[r]
    & M'_S \ar[r]^-{f_S}
    & M_S \ar[r]^{g_S}
    & M''_S \ar[r]
    & 0
  }\]
es una sucesión exacta corta de $A_S$-módulos. Concluir que $A_S$ es un $A$-módulo playo.

%%%%%%%%%%
\item Sea $M$ un $A$-módulo y sean $P, Q \subset M$ submódulos. Probar que:

\begin{ejitems}
\item $(P+Q)_S = P_S+Q_S$;

\item $(P\cap Q)_S=P_S\cap Q_S$;

\item $(M/P)_S\cong M_S/P_S$.

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%
\item*\header{Propiedades locales} En este ejercicio $A$ es un anillo
  conmutativo, $M$ y $N$ son $A$-módulos a izquierda y $f: M \to N$ es un morfismo de
  módulos. Si $\p$ es un ideal primo y $S = A \setminus \p$, escribimos
  $A_{\p}, M_\p$ y $f_\p$ en lugar de $A_S, M_S$ y $f_S$, respectivamente.

\begin{ejitems}
\item Probar que las siguientes afirmaciones son equivalentes:
\begin{enumerate}[label=(\roman*)]
\item $M=0$;
\item $M_\p=0$ para todo ideal primo $\p \subset A$; 
\item $M_\m=0$ para todo ideal maximal $\m\subset A$.
\end{enumerate}

\item Probar que las siguientes afirmaciones son equivalentes:

\begin{enumerate}[label=(\roman*)]
\item $f$ es inyectiva;
\item $f_\p$ es inyectiva para todo ideal primo $\p\subset A$; 
\item $f_\m$ es inyectiva para todo ideal maximal $\m\subset A$.
\end{enumerate}

\item Probar que las siguientes afirmaciones son equivalentes:

\begin{enumerate}[label=(\roman*)]
\item $f$ es sobreyectiva;
\item $f_\p$ es sobreyectiva para todo ideal primo $\p\subset A$; 
\item $f_\m$ es sobreyectiva para todo ideal maximal $\m\subset A$.
\end{enumerate}

\item Sea 
  \begin{equation}\label{eq:ms}
  \xymatrix{
  0 \ar[r] & M' \ar[r]^-f & M \ar[r]^-g & M'' \ar[r] & 0
  }
  \end{equation}
una sucesión de $A$-módulos tal que $g \circ f=0$. Probar que las siguientes afirmaciones
son equivalentes:
\begin{enumerate}[label=(\roman*)]
\item La sucesión~\eqref{eq:ms} es exacta.
\item Para cada ideal primo $\p\subset A$, la sucesión
  \[
  \xymatrix{
  0 \ar[r] & M'_\p \ar[r]^-{f_\p} & M_\p \ar[r]^-{g_\p} & M''_\p \ar[r] & 0
  }
  \]
obtenida de~\eqref{eq:ms} localizando en~$\p$ es exacta.
\item Para cada ideal maximal $\m \subset A$, la sucesión
  \[
  \xymatrix{
  0 \ar[r] & M'_\m \ar[r]^-{f_\m} & M_\m \ar[r]^-{g_\m} & M''_\m \ar[r] & 0
  }
  \]
obtenida de~\eqref{eq:ms} localizando en~$\m$ es exacta.
\end{enumerate}
\end{ejitems}

%%%%%%%%%%
\item*\header{Soporte de un módulo} Sea $A$ un anillo conmutativo. Si $M$ es un
$A$-módulo, el \emph{soporte de $M$} es el conjunto $\supp M=\{\p\in\Spec
A:M_\p\neq0\}$.
\begin{ejitems}
\item Muestre que si $M$ es finitamente generado entonces
  \[
  \supp M = \{\p\in\Spec A: \ann M \subset \p \}.
  \]
\item Sea $f \in \CC[X]$. Calcular el soporte de $\CC[X]/(f)$ como
  $\CC[X]$-módulo.
\item Calcular el soporte del $\ZZ$-módulo $\ZZ_n$ para todo $n \in \NN$.
\end{ejitems}
%%%%%%%%%%
\item Sea $M$ un $A$-módulo a izquierda. Probar las siguientes afirmaciones.
\begin{ejitems}
\item Si $M$ es libre entonces $M_S$ es libre como $A_S$-módulo.
\item Si $M$ es proyectivo entonces $M_S$ es proyectivo como $A_S$-módulo.
\item Si $M$ es finitamente generado entonces $M_S$ es finitamente generado
como $A_S$-módulo.
\end{ejitems}
%%%%%%%%%%
\item\header{Criterio local de platitud} Sea $A$ un anillo conmutativo
Las siguientes afirmaciones son equivalentes:
\begin{enumerate}[label=(\roman*)]
\item $M$ es playo;
\item para cada $\p\in\Spec A$, el $A_\p$-módulo $M_\p$ es playo;
\item para cada ideal maximal $\m\subset A$, el $A_\m$-módulo $M_\m$ es playo.
\end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Probar que si $A$ es un anillo conmutativo absolutamente playo y $S\subset A$ es un
subconjunto multiplicativamente cerrado entonces $A_S$ es absolutamente playo.

\section{Productos de torsión}
\item Dados $M$ y $N$ grupos abelianos definimos
  \[
  G(M,N)=\{(m,k,n)\in M\times\ZZ\times N \mid km=0, kn=0\}.
  \]
Sea $L(M,N)$ el $\ZZ$-módulo libre generado por $G(M,N)$ y sea $R(M,N)$ el
subgrupo de $L(M,N)$ generado por los elementos
  \begin{align*}
  &(m+m',k,n)-(m,k,n)-(m',k,n),
    && \text{si $km=km'=0$ y $kn=0$;} 
    \\
  &(m,k,n+n')-(m,k,n)-(m,k,n'),
    && \text{si $km=0$ y $kn=kn'=0$;}
    \\
  &(m,kk',n)-(mk,k',n),
    && \text{si $kk'm=0$ y $k'n=0$;}
    \\
  &(m,kk',n)-(m,k,k'n),
    && \text{si $km=0$ y $kk'n=0$.}
  \end{align*}
Definimos $M\odot N=L(M,N)/R(M,N)$. Probar las siguientes afirmaciones.
\begin{ejitems}
\item Existe un isomorfismo $M\odot N\cong N\odot M$.

\item Si $M$ o $N$ es libre de torsión entonces $M\odot N = 0$.

\item Dados $f:M\to M'$ y $g:N\to N'$ morfismos de grupos abelianos, es
posible construir un morfismo de grupos abelianos $f\odot g:M\odot N\to M'\odot
N'$ de manera que se cumplan las siguientes condiciones:
\begin{enumerate}[label=(\roman*)]
\item Si $f':M'\to M''$ y $g':N'\to N''$ son morfismos de grupos abelianos entonces 
  \[
  (f'\odot g')\circ(f\odot g)=(f'\circ f)\odot(g'\circ g).
  \]
\item Si $f':M\to M'$ y $g':N\to N'$ son morfismos de grupos abelianos entonces 
  \begin{gather*}
  (f+f')\odot g=f\odot g+f'\odot g
\shortintertext{y}
  f\odot(g+g')=f\odot g+f\odot g'.
  \end{gather*}
\item $\id_M\odot\id_N=\id_{M\odot N}$.
\end{enumerate}

\item Si $f:M\to M'$ y $g:N\to N'$ son isomorfismos, entonces 
$f\odot g:M\odot N\to M'\odot N'$ es un isomorfismo.

\item Si $M$, $M'$, $N$ y $N'$ son grupos abelianos, entonces existen isomorfismos
naturales 
  \begin{gather*}
  (M\oplus M')\odot N\cong (M\odot N)\oplus(M'\odot N)
\shortintertext{y}
  M\odot(N\oplus N')\cong (M\odot N)\oplus (M\odot N').
  \end{gather*}

\item Si 
  \[\xymatrix{
  0 \ar[r]
    & M' \ar[r]^-f
    & M \ar[r]^-g
    & M'' \ar[r]
    & 0
  }\]
es una sucesión exacta entonces existe un morfismo de grupos
$\partial: M'' \odot N \to M' \ot N$ tal que 
  \begin{multline*}
  \xymatrix@C+5pt{
    0 \ar[r]
      & M'\odot N \ar[r]^-{f\odot\id_N}
      & M\odot N \ar[r]^-{g\odot\id_N}
      & M''\odot N \ar[r]^-\partial
      & {}
    } \\
  \xymatrix@C+5pt{
    {} \ar[r]
      & M'\ot N \ar[r]^-{f\ot\id_N}
      & M\ot N \ar[r]^-{g\ot\id_N}
      & M''\ot N \ar[r]
      & 0
    }
  \end{multline*}
resulta exacta.

\item Calcular $M\odot\ZZ_n$ para todo $n \in \NN$.

\item Sea $T(M)\subset M$ el subgrupo de los elementos de torsión. Muestre que existe un 
	isomorfismo $M\odot(\QQ/\ZZ)\cong T(M)$.

\item Sean $p$ un número primo y $S=\{p^i:i\in\NN_0\}$. Se trata de un conjunto
multiplicativamente cerrado en $\ZZ$, así que podemos considerar la localización
$\ZZ_S$. Describir el grupo $M\odot\ZZ_S$.

\item Supongamos que para cualesquiera $m\in M$ y $n\in N$ de orden finito, dichos órdenes
	son copirmos. Probar que $M \odot N = 0$.

\item Probar que si $M$ y $N$ son grupos abelianos finitos entonces $M \ot N \cong
M \odot N$.
\end{ejitems}
\end{ejercicios}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\end{document}
