\documentclass[a4paper,oneside,fleqn,10pt]{article}
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\Materia{Álgebra II}
\Cuatrimestre{Segundo Cuatrimestre --- 2015}
\Practica{7}
\Titulo{Módulos II}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Abreviaturas
\newcommand\CC{\mathbb{C}}
\newcommand\RR{\mathbb{R}}
\newcommand\QQ{\mathbb{Q}}
\newcommand\ZZ{\mathbb{Z}}
\newcommand\NN{\mathbb{N}}
\newcommand\FF{\mathbb{F}}
\newcommand\HH{\mathbb{H}}
\newcommand\GG{\mathbb{G}}
\newcommand\II{\mathbb{I}}

\newcommand\Grp{\mathrm{Grp}}
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\renewcommand\O{\mathcal{O}}
\renewcommand\S[1]{[\![#1]\!]}
\newcommand\eps{\varepsilon}
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\newcommand\gen[1]{\left\langle#1\right\rangle}
\newcommand\gens[1]{\langle#1\rangle}
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\newcommand\notdivides{\nmid}
\renewcommand\emptyset{\varnothing}
\def\dash---{\thinspace---\hskip.16667em\relax}
\newcommand\p{\mathfrak{p}}
\newcommand\q{\mathfrak{q}}
\newcommand\m{\mathfrak{m}}
\renewcommand\k{\Bbbk}


\DeclareMathOperator{\GL}{GL}
\DeclareMathOperator{\AGL}{AGL}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% proclaiming things
\theoremseparator{.}
\newtheorem*{Definicion}{Definición}
\theoremindent\parindent
\newtheorem*{Teorema}{Teorema}
\newtheorem*{Proposicion}{Proposición}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}

\maketitle

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\section{Condiciones de cadena}
%%%%%%%%%%
\begin{ejercicios}

\item\header{Anillos de matrices} Sea $n\in\NN$. Probar que un anillo $A$ es
  noetheriano a izquierda, resp. a derecha, si y solo si $M_n(A)$ es
  noetheriano a izquierda, resp. a derecha.

%%%%%%%%%%

\item Probar que un dominio íntegro artiniano es un cuerpo.

%%%%%%%%%%
\item Probar las siguientes afirmaciones.
\begin{ejitems}
\item Un grupo abeliano artiniano es de torsión.
\item Un grupo abeliano es artiniano y noetheriano si y solo si es finito.
\end{ejitems}

%%%%%%%%%%
\item\header{Extensiones finitas de anillos}  Sean $A$ un anillo y $B \subset A$
  un subanillo tal que $A$ es finitamente generado como $B$-módulo a izquierda.
  Probar que si $B$ es noetheriano a izquierda, entonces $A$ es noetheriano a
  izquierda.

%%%%%%%%%%
\item\header{Álgebras de matrices formales} Sean $A$ y $B$ anillos y sea $M$ un
$A$-$B$-bimódulo. Sea $T$ el grupo abeliano $A \oplus M \oplus B$. Dados $a \in
A, m \in M$ y $b \in B$, notamos por $\begin{psmallmatrix} a & m \\ 0 &
b\end{psmallmatrix}$ al elemento $(a,m,b) \in T$.
\begin{ejitems}
\item Probar que la fórmula
\begin{align*}
  \begin{pmatrix} 
    a & m \\ 0 & b
  \end{pmatrix} \cdot
  \begin{pmatrix} 
    a' & m' \\ 0 & b'
  \end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} 
    aa' & am' + mb' \\ 0 & bb'
  \end{pmatrix}
\end{align*}
define un producto asociativo en $T$. Concluir que $(T,+,\cdot)$ es un anillo,
el cual también notamos por $\begin{psmallmatrix} A & M \\ 0 & B
\end{psmallmatrix}$.

\item Probar que $T$ es noetheriano a izquierda, resp. a derecha, si y solo si
  $A$ y $B$ son noetherianos a izquierda, resp. a derecha, y $M$ es finitamente
  generado como $A$-módulo a izquierda, resp. $B$-módulo a  derecha. 

\item Probar que $T = \begin{psmallmatrix} \ZZ & \QQ \\ 0 & \QQ
\end{psmallmatrix}$ no es isomorfo a su anillo opuesto.
\end{ejitems}

%%%%%%%%%%
\item\header{Polinomios de Laurent} Sea $\k$ un cuerpo y sea $A=\k[X,X^{-1}]$ el
anillo de polinomios de Laurent con coeficientes en $\k$. Muestre que $A$ es
noetheriano.

%%%%%%%%%%
\item*\header{Extensiones de Ore} Sea $A$ un anillo y sea $\sigma:A\to A$ un 
  morfismo de anillos. Sea $B$ el $A$-módulo libre con base $\{X^i \mid i \in
  \NN_0\}$. Probar las siguientes afirmaciones.
\begin{ejitems}
\item Existe exactamente una estructura de anillo sobre $B$ tal que
\begin{enumerate}
  \item La función $a \in A \mapsto aX^0 \in B$ es un morfismo de anillos,
  \item $X X^i = X^{i+1}$ para todo $i \in \NN_0$, y
  \item $Xa=\sigma(a)X$ para todo $a\in A$.
\end{enumerate}
Notamos por $A[X;\sigma]$ al anillo correspondiente.

\item Si $\sigma$ es inyectivo y $A$ es un dominio, entonces $A[X;\sigma]$ es un
  dominio.

\item Si $\sigma$ es inyectivo y $A$ es un anillo de división, entonces
  $A[X;\sigma]$ es un dominio de ideales principales.

\item Si $\sigma$ es automorfismo y $A$ es noetheriano a izquierda, resp. derecha, 
entonces $A[X;\sigma]$ es noetheriano a izquierda, resp. derecha.

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%
\item\header{Extensiones de Ore II} Sean $A, B$ y $\sigma$ como en el ejercicio
  anterior. Una \emph{$\sigma$-derivación} de $A$ es un morfismo aditivo
  $\delta:A\to A$ que satisface
  \[
  \delta(ab)=\delta(a)\sigma(b)+a\delta(b), 
  \qquad\mbox{para todos }a,\,b\in A.
  \]
Si $\sigma=\id_A$, decimos simplemente que $\delta$ es una \emph{derivación}
de~$A$.

Probar las siguientes afirmaciones
\begin{ejitems}
\item Existe exactamente una estructura de anillo sobre $B$ tal que
\begin{enumerate}
  \item La función $a \in A \mapsto aX^0 \in B$ es un morfismo de anillos,
  \item $X X^i = X^{i+1}$ para todo $i \in \NN_0$, y
  \item $Xa=\sigma(a)X + \delta(a)$ para todo $a\in A$.
\end{enumerate}
Notamos por $A[X;\sigma,\delta]$ al anillo correspondiente.

\item Si $\sigma$ es inyectivo y $A$ es un dominio, entonces
  $A[X;\sigma,\delta]$ es un dominio.

\item Si $\sigma$ es inyectivo y $A$ es un anillo de división, entonces
  $A[X;\sigma,\delta]$ es un dominio de ideales principales.

\item Si $\sigma$ es automorfismo y $A$ es noetheriano a izquierda, resp. derecha,
  entonces $A[X;\sigma,\delta]$ es noetheriano a izquierda, resp. derecha.
\end{ejitems}

%%%%%%%%%%
\item\header{El álgebra de Weyl como extensión de Ore} Sean $A=\k[X]$, $\sigma=\id_A$ y
  $\delta=\frac{\partial}{\partial X}$.
\begin{ejitems}

\item Muestre que $\delta$ es una derivación de $A$.

\item Muestre que el álgebra de Weyl es isomorfa a $A[X;\sigma,\delta]$, en
  particular es noetheriana.
\end{ejitems}


\section{Módulos libres, proyectivos e inyectivos}

\item Probar que $\QQ$ no es un $\ZZ$-módulo libre. ¿Es proyectivo?
%%%%%%%%%%
\item Para cada $A$-módulo a izquierda $M$, sea $M^*=\Hom_A(M,A)$ con la
estructura de $A$-módulo a derecha inducida por la estructura de $A$-módulo a
derecha de $A$. Muestre que $M$ es proyectivo y finitamente generado si y solo
si $M^*$ lo es.

%%%%%%%%%%
\item*\header{Bases duales} Sea $A$ un anillo y $P$ un $A$-módulo a izquierda.
Una \emph{base dual} para $P$ es una familia $\{(x_i, f_i)\}_{i\in I}$ donde $(x_i, f_i) 
\in P \times P^*$ para cada $i \in I$, que cumple las siguientes condiciones:
\begin{enumerate}[label=(\roman*)]
\item para todo $x\in P$ el conjunto $\{i\in I:f_i(x)\neq0\}$ es finito, y
\item para todo $x\in P$ vale la igualdad $x=\sum_{i\in I}f_i(x)x_i$.
\end{enumerate}
Notar (i) implica que la suma en (ii) tiene sentido.
\begin{ejitems}
\item Muestre que un $A$-módulo $P$ es proyectivo si y solo si posee una base dual.
\item Muestre que un $A$ módulo $P$ es proyectivo y finitamente generado si y solo si
posee una base dual finita.
\end{ejitems}

%%%%%%%%%%
\item\header{Resoluciones proyectivas} Sea $A$ un anillo. Probar las siguientes
	afirmaciones.
\begin{ejitems}
\item Para cada $A$-módulo $M$ existe un diagrama
  \[\xymatrix@C-10pt{
  \cdots \ar[r]
    & P_{p+1} \ar[r]^{d^p}
    & P_{p} \ar[r]
    & \cdots \ar[r]
    & P_1 \ar[r]^{d^0}
    & P_0 \ar[r]^{\epsilon}
    & M \ar[r]
    & 0
  }\]
de $A$-módulos y morfismos de $A$-módulos que es exacto, y en el que para cada
$p \in \NN_0$ el módulo $P_p$ es proyectivo. El morfismo $\epsilon$ se llama
\emph{aumentación}, y el diagrama obtenido al reemplzar $\epsilon$ por $0$ es llamado 
una \emph{resolución proyectiva} de $M$.

\item Los $A$-módulos $P_p$ pueden elegirse libres para todo $p \in \NN_0$.

\item Si $A$ es noetheriano a izquierda y $M$ es finitamente generado, entonces
los $A$-módulos $P_p$ pueden elegirse finitamente generados para todo $p \in
\NN_0$.

\item Si $f:M\to N$ es un morfismo de $A$-módulos y 
  \begin{gather*}
  \xymatrix@C-10pt{
  \cdots \ar[r]
    & P_p \ar[r]
    & P_{p-1} \ar[r]
    & \cdots \ar[r]
    & P_1 \ar[r]
    & P_0 \ar[r]
    & 0
  } \\
\shortintertext{y}
  \xymatrix@C-10pt{
  \cdots \ar[r]
    & Q_p \ar[r]
    & Q_{p-1} \ar[r]
    & \cdots \ar[r]
    & Q_1 \ar[r]
    & Q_0 \ar[r]
    & 0
  } 
  \end{gather*}
son resoluciones proyectivas de $M$ y $N$, respectivamente, entonces existen
morfismos $f_p:P_p\to Q_p$ para cada $p\geq0$ que hacen conmutar el siguiente
diagrama:
  \[
  \xymatrix@C-10pt{
  \cdots \ar[r]
    & P_p \ar[r] \ar[d]^-{f_p}
    & P_{p-1} \ar[r] \ar[d]^-{f_{p-1}}
    & \cdots \ar[r] 
    & P_1 \ar[r] \ar[d]^-{f_1}
    & P_0 \ar[r] \ar[d]^-{f_0}
    & M \ar[r] \ar[d]^-{f}
    & 0
    \\
  \cdots \ar[r]
    & Q_p \ar[r]
    & Q_{p-1} \ar[r]
    & \cdots \ar[r]
    & Q_1 \ar[r]
    & Q_0 \ar[r]
    & N \ar[r]
    & 0
  } 
  \]

\item Encuentre resoluciones proyectivas para 
\begin{enumerate}[label=(\roman*)]
\item un $A$-módulo proyectivo;
\item el $\ZZ$-módulo $\ZZ_n$ para cada $n\in\ZZ$;
\item el $\k[X]$-módulo $S = \k[X]/(X)$.
\end{enumerate}
\end{ejitems}


%%%%%%%%%%

\item Probar que el grupo abeliano $\ZZ^\NN$ no es un $\ZZ$-módulo libre.
\begin{Indicacion}
Sea $M\subset\ZZ^\NN$ el subgrupo de todos los elementos
$x=(x_i)_{i\in\NN}\in\ZZ^\NN$ tales que para todo $n\in\NN$, el conjunto $\{i
\in \NN : 2^n \nmid x_i\}$ es finito. Probar que si $\ZZ^\NN$ es libre entonces
$M$ es libre de rango no numerable, y analizar el grupo abeliano $M/2M$.
\end{Indicacion}

%%%%%%%%%
\item
\begin{ejitems}
\item Probar que $\ZZ$ no es un $\ZZ$-módulo inyectivo, pero $\QQ$ y $\QQ/\ZZ$ sí lo son.
\item Dar condiciones necesarias y suficientes para que un $\ZZ$-módulo sea inyectivo.
\end{ejitems}
%%%%%%%%%%
\item Sea $A$ un dominio de integridad y sea $K$ su cuerpo de fracciones.
\begin{ejitems}
\item Probar que $K$ es un $A$-módulo inyectivo.
\item Probar que todo $K$-módulo es un $A$-módulo inyectivo.
\end{ejitems}
%%%%%%%%%%
\item Sea $G$ un grupo finito y $\k$ un cuerpo tal que $\abs{G}$ es inversible en
$\k$. Mostrar que todo $\k[G]$-módulo es proyectivo e inyectivo. ¿Es cierto que
todo $\k[G]$-módulo es libre?
%%%%%%%%%%
\item Probar que si $A$ es un anillo de división entonces todo $A$-módulo es
	inyectivo y proyectivo.
%%%%%%%%%%
\item* Sea $\alpha \in \CC$. Decimos que $\alpha$ es un \emph{entero algebraico}
	si el ideal
\[
  I(\alpha) = \{f \in \ZZ[X] \mid f(\alpha) = 0\}
\] 
está generado por un polinomio mónico no nulo. 
\begin{ejitems}
\item Probar que las siguientes afirmaciones son equivalentes.
\begin{ejitems}
\item El número $\alpha$ es un entero algebraico.
\item El anillo $\ZZ[\alpha] \subset \CC$ es libre y finitamente generado como
	$\ZZ$-módulo.
\item Existe un subanillo $R \subset \CC$, libre y finitamente generado como 
  $\ZZ$-módulo, tal que $\alpha \in R$.
\item Existe un $\ZZ$-submódulo $A \subset \CC$ libre y finitamente generado
	tal que $\alpha A	\subset A$.
\end{ejitems}
\begin{Indicacion}
Para probar $(iv) \Rightarrow (i)$, fije una base de $A$ y estudie la matriz en dicha 
base de la transformación $\ZZ$-lineal dada por multiplicar por $\alpha$.
\end{Indicacion}

\item Usar el ítem anterior para probar que la suma y el producto de dos enteros
	algebraicos es un entero algebraico, y concluir que los enteros algebraicos
	forman un subanillo de $\CC$.
\end{ejitems}


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\end{ejercicios}
\end{document}
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