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\Materia{Álgebra II}
\Cuatrimestre{Segundo Cuatrimestre --- 2015}
\Practica{5}
\Titulo{Propiedades universales}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Abreviaturas
\newcommand\CC{\mathbb{C}}
\newcommand\RR{\mathbb{R}}
\newcommand\QQ{\mathbb{Q}}
\newcommand\ZZ{\mathbb{Z}}
\newcommand\NN{\mathbb{N}}
\newcommand\FF{\mathbb{F}}
\newcommand\HH{\mathbb{H}}
\newcommand\GG{\mathbb{G}}
\newcommand\II{\mathbb{I}}

\newcommand\Grp{\mathrm{Grp}}
\newcommand\op{\mathrm{op}}
\newcommand\id{\mathsf{id}}
\newcommand\Id{\mathsf{Id}}
\newcommand\Z{\mathsf{Z}}
\newcommand\N{\mathsf{N}}
\newcommand\C{\mathsf{C}}
\renewcommand\O{\mathcal{O}}
\renewcommand\S[1]{[\![#1]\!]}
\newcommand\eps{\varepsilon}
\newcommand\abs[1]{\lvert#1\rvert}
\newcommand\absx[1]{\left\lvert#1\right\rvert}
\newcommand\gen[1]{\left\langle#1\right\rangle}
\newcommand\gens[1]{\langle#1\rangle}
\newcommand\divides{\mid}
\newcommand\notdivides{\nmid}
\renewcommand\emptyset{\varnothing}
\def\dash---{\thinspace---\hskip.16667em\relax}
\newcommand\p{\mathfrak{p}}
\newcommand\q{\mathfrak{q}}
\newcommand\m{\mathfrak{m}}
\renewcommand\k{\Bbbk}

\DeclareMathOperator{\GL}{GL}
\DeclareMathOperator{\AGL}{AGL}
\DeclareMathOperator{\SL}{SL}
\DeclareMathOperator{\End}{End}
\DeclareMathOperator{\Aut}{Aut}
\DeclareMathOperator{\Inn}{Inn}
\DeclareMathOperator{\Out}{Out}
\DeclareMathOperator{\im}{im}
\DeclareMathOperator{\Spec}{Spec\;}
\DeclareMathOperator{\nil}{nil}
\DeclareMathOperator{\cl}{cl}
\DeclareMathOperator{\charact}{char}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% proclaiming things
\theoremseparator{.}
\newtheorem*{Definicion}{Definición}
\theoremindent\parindent
\newtheorem*{Teorema}{Teorema}
\newtheorem*{Proposicion}{Proposición}

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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}

\maketitle

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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\noindent En toda esta práctica $\k$ es un cuerpo.
\begin{ejercicios}
\item Probar que la $\k$-álgebra libre sobre el conjunto $\{\ast\}$ es isomorfa
	a $\k[X]$.
\begin{Indicacion}
	Pruebe que el álgebra de polinomios tiene la propiedad universal deseada.
\end{Indicacion}

\item Sean $X, Y, Z$ conjuntos y sean $f: X \to Y$ y $g: Y \to Z$ funciones.
	Probar las siguientes afirmaciones:
\begin{ejitems}
	\item $f$ induce un morfismo de álgebras $f_*: \k\langle X \rangle \to 
		\k \langle Y \rangle$;
	\item $(\id_X)_*$ es la identidad del álgebra $\k \langle X
		\rangle$;
	\item $(g \circ f)_* = g_* \circ f_*$.
\end{ejitems}

\item Sean $A$ y $B$ anillos. Fijamos un elemento $a \in \Z(A)$ y definimos
	$\tilde A = A[X]/(aX - 1)$. Probar que el morfismo $A \to
	\tilde A$ tiene la siguiente propiedad universal: para todo morfismo de
	anillos $\phi: A \to B$ tal que $\phi(a) \in B^\times$, existe un único
	morfismo $\tilde \phi: \tilde A \to B$ tal que conmuta el diagrama
	\begin{align*}
		\xymatrix{
			A \ar[r]^-\phi \ar[d] & B \\
			\tilde A \ar@{.>}[ur]_-{\tilde \phi}
		}
	\end{align*}

\item Sea $A$ un anillo. Se define $[A,A]$ como el ideal bilátero generado por
	$\{ ab -ba \mid a,b \in	A \}$. 
\begin{ejitems}
	\item	Sea $B$ un anillo conmutativo. Probar que todo morfismo $\tilde \phi: A
		\to B$ induce un morfismo $\tilde \phi: A/[A,A] \to B$.
	\item Sea $\Gamma$ un conjunto finito y sea $A = \k \langle \Gamma \rangle$.
		Probar que el álgebra $A/[A,A]$ es isomorfa a un álgebra de polinomios en
		$\# \Gamma$ variables.
\end{ejitems}

\item* Sean $g,h \in \k[X]$ y sea $f = gh$.
\begin{ejitems}
	\item Probar que existe un morfismo $\k[X]/(f) \to \k[X]/(g) \times \k[X]
		/(h)$.

	\item Encontrar el núcleo del morfismo anterior cuando $\k = \RR$ y $\k =
		\CC$.

	\item Sea $f = \prod_{i=1}^n (X - z_i)^{r_i} \in \CC[X]$. Probar que
		$\CC[X]/(f) \cong \prod_{i = 1}^n \CC[X]/(X - z_i)^{r_i}$.
\end{ejitems}

\section{Localización}
\noindent
En esta sección los anillos son conmutativos.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sean $A$ un anillo y $S\subset A$ un subconjunto multiplicativamente
	cerrado de $A$.
\begin{ejitems}
	\item Si $S \subset A^\times$ entonces $A_S\cong A$.
	\item Si $0\in S$ entonces $A_S\cong0$.
\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sean $A$ un anillo, $S\subset A$ un subconjunto multiplicativamente cerrado
e $I\subset A$ un ideal. Sea $\bar S$ la imagen de $S$ por la aplicación
canónica $A\to A/I$. Probar que $(A/I)_{\bar S}\cong A_S/IA_S$.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sean $A$ un anillo, $S, T\subset A$ subconjuntos multiplicativamente
cerrados de $A$ y $T'$ la imagen de $T$ por la aplicación canónica $A\to
A_S$. Probar que $U=\{st:s\in S,\,t\in T\}$ es un conjunto multiplicativamente
cerrado en $A$ y que $(A_S)_{T'}\cong A_U$.


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sean $A$ un anillo y $S \subset A$ un subconjunto multiplicativamente
	cerrado.
	
\begin{ejitems}
\item Supongamos que $A$ es un dominio de integridad. Muestre que la aplicación
	canónica $A\to A_S$ es inyectiva.

\item Encuentre condiciones necesarias y suficientes para que la aplicación canónica
$A\to A_S$ sea inyectiva.
\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sean $A$ un anillo y $\p\in\Spec A$. Muestre que $S=A\setminus\p$ es un
conjunto multiplicativamente cerrado. En general, escribimos $A_\p$ en lugar de
$A_{A\setminus\p}$.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $X$ un espacio métrico y sea $A=C(X)$ el anillo de las
	funciones reales continuas sobre~$X$. Probar que para cada $x_0\in X$ el
	conjunto $S(x_0) = \{f\in A:f(x_0)\neq 0\}$ es multiplicativamente cerrado. ¿Es
	inyectiva la aplicación canónica $A\to A_S$?

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item* Sean $A=C(\RR)$, $U = (0,1)$ y $S=\{f \in A: f \mbox{ no se anula en el intervalo }
	(0,1)\}$.
\begin{ejitems}
\item Pruebe que $S$ es multiplicativamente cerrado en $A$.
\item Sea $r:C(\RR)\to C(U)$ la restricción de funciones. Muestre que existe un
	único morfismo $\bar r:C(\RR)_S\to C(U)$ tal que conmuta el diagrama
  \[\xymatrix{
    C(\RR)\ar[r]^-r \ar[d]_-{\mathrm{can}}
      & C(U)
      \\
    C(\RR)_S \ar@{.>}[ur]_-{\bar r}
  }\]
\item Muestre que $\bar r$ es un isomorfismo.
\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sean $A$ un anillo, $S\subset A$ un subconjunto multiplicativamente cerrado
y $f:A\to A_S$ la aplicación canónica.
\begin{ejitems}
\item Muestre que si $I\subset A_S$ es un ideal, entonces $f^{-1}(I)$ es un
ideal de $A$. De esta forma se obtiene una aplicación $f^*:\Id(A_S)\to\Id(A)$ del
conjunto de ideales de $A_S$ al conjunto de ideales de $A$.
\item Muestre que $f^*$
preserva inclusiones e intersecciones y que es inyectiva.
\item Si $J\subset A$ es un ideal, entonces $J$ está en la imagen de $f^*$ sii
$J=f^{-1}(JA_S)$ sii ningún elemento de $S$ es un divisor de cero en $A/J$.
\item Muestre que $f^*(\Spec A_S)\subset\Spec A$ de manera que, por
restricción, obtenemos una inyección $f^*:\Spec A_S\to\Spec A$. La imagen de
esta aplicación es exactamente
  \(
  \{\p\in\Spec A:\p\cap S=\emptyset\}
  \).
\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sean $A$ un anillo y $S\subset A$ un subconjunto multiplicativamente
cerrado.
\begin{ejitems}
\item Si $I\subset A$ es un ideal maximal entre los que no intersecan a $S$,
entonces $I$ es primo.
\item Describa el nilradical de $A_S$.
\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $p\in\NN$ un número primo y $\p=(p)$ el ideal primo de $\ZZ$
correspondiente. Muestre que si $I\subset \ZZ_\p$ es un ideal no nulo, entonces
existe $r\in\NN_0$ tal que $I=p^r\ZZ_p$.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $A$ un anillo y $T\subset A$ un subconjunto. Sea $\Gamma =
	\{\gamma_t:t\in T\}$ un conjunto de variables indexadas por $T$ y sea
	$A[\Gamma]$ el anillo de polinomios con variables en $\Gamma$. Sea $S \subset
	A$ el menor subconjunto multiplicativamente cerrado de $A$ que contiene a
	$T$. Muestre que existe un isomorfismo
  \[
  A_S \cong A[\Gamma]/\gen{t\gamma_t-1 \mid t\in T}.
  \]

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $A$ un anillo. Muestre que $S\subset A$ es un subconjunto
multiplicativamente cerrado maximal sii $A\setminus S$ es un ideal primo
minimal.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sean $A$ un anillo y $S\subset A$ un subconjunto multiplicativamente
cerrado. Decimos que $S$ es \emph{saturado} si $ ab\in S$ si y solo si $a\in
S$ y $b\in S$. Muestre que $S$ es saturado sii $A\setminus S$ es unión de
ideales primos.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $A$ un anillo. Describa el subconjunto $S\subset A$
multiplicativamente cerrado maximal tal que $A\to A_S$ es inyectivo.

\end{ejercicios}
\end{document}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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